2024-2025学年广西百色市平果县铝城中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西百色市平果县铝城中学高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=lnx−1的零点是(

)A.1 B.e C.(e,0) D.42.“tanα>0”是“α为锐角”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.△ABC的两个顶点为A(−3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为(

)A.x225+y216=1(y≠0) B.y24.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为CC1的中点，E为C1D1的中点，F为B1C1的中点，O为EFA.AO=57AP+17AQ+5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n

B.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

C.若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β

D.若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β6.已知点A(4,4)在抛物线y2=4x上，F是抛物线的焦点，点P为直线x=−1上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为(

)A.8 B.213 C.2+7.在《周易》中，长横“

”表示阳爻，两个短横“

”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23=8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是(

)A.17 B.516 C.9168.已知f(x)=ex−x，g(x)=x−lnx，不等式f(x)>g(ax)，对满足当x>1且ax>1时恒成立，则a的最大值为A.1 B.2 C.e D.e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是(

)A.ab有最大值14 B.a+b有最大值2

C.1a10.下列命题正确的是(

)A.已知变量x，y的线性回归方程y=0.3x−x−，且y−=2.8，则x−=−4

B.数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的75%分位数为11

C.已知随机变量X～B(7,0.5)，P(X=k)最大，则k的取值为3或411.已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x−32)=−f(x)，且f(x+34)为奇函数，f(−1)=−1A.3是函数y=f(x)的一个周期

B.函数y=f(x)的图象关于直线x=34对称

C.函数y=f(x)是偶函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X服从N(1,σ2)，若P(X⩾0)=0.8，则P(1⩽X<2)=13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=22，cosC=33，cosA=114.如图，在三棱锥A−BCD中，AD⊥AB，AB=AD=2，△ACD为等边三角形，三棱锥A−BCD的体积为23，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为

．四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边.在①(2a−c)cosB=bcosC；②3BA⋅BC=2S△ABC；③sinB+sin(B+π3)=3这三个条件中任选一个，作出解答．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=(1+x)lnx+1x．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)求证：f(x)≥x．17.(本小题17分)

如图，沿等腰直角三角形ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A−BCDE．

(1)求证：平面ABC⊥平面ACD；

(2)过CD的中点M的平面α与平面ABC平行，试求平面α与四棱锥A−BCDE各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比．18.(本小题17分)

如图，一块正中间镂空的横杆KL放置在平面直角坐标系xOy的x轴上(横杆上镂空的凹槽与x轴重合，凹槽很窄)，横杆KL的中点与坐标原点O重合.短杆OB的一端用铰链固定在原点处，另一短杆BA与短杆OB在B处用铰链连接.当短杆BA沿A处的栓子在横杆KL上镂空的凹槽内沿x轴左右移动时，M处装有的笔芯在平面直角坐标系xOy上画出点M运动的轨迹C(连接杆OBA可以绕固定点旋转一周，被横杆遮挡的部分忽略不计).已知OB=AB=3，BM=1．

(1)求曲线C的方程．

(2)过点(3,0)作直线l与曲线C交于D，E两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得(QD

参考答案1.B

2.B

3.A

4.B

5.D

6.D

7.B

8.C

9.ABC

10.ACD

11.ACD

12.0.3

13.614.(20−815.解：(1)若选择条件①，

∵由正弦定理得：2sinAcosB−sinCcosB=sinBcosC，

即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA，

又∵A∈(0,π)，可得sinA>0，

∴cosB=12，由B∈(0,π),可得B=π3．

若选择条件②，

∵3BA⋅BC=2S△ABC，

∴3accosB=2⋅12acsinB，

∴sinB=3cosB，

∵B∈(0,π)，tanB=3，可得B=π3．

若选择条件③，

∵sinB+sin(B+π3)=3

∴sinB+12sinB+32cosB=3，

∴16.解：(1)依题意，f′(x)=lnx+1x+1−1x2，

故f′(1)=1，又f(1)=1，

故所求切线方程为y−1=x−1，即y=x．

(2)证明：由f(x)≥x，得(1+x)lnx+1x⩾x，即lnx+1−xx⩾0，

令g(x)=lnx+1x−1，则g′(x)=1x−1x2=x−1x2，17.解：(1)∵AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，

∴AD⊥平面BCDE，

∴AD⊥BC，

又∵CD⊥BC，AD∩CD=D，

∴BC⊥平面ACD，

又∵BC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ACD

(2)∵平面α/​/平面ABC，设平面ACD与平面α的交线为MQ，

∴MQ/​/AC，

又∵M是CD的中点，

∴Q是AD的中点；

同理：设平面BCDE与平面α的交线为MN，

∴MN/​/BC，

又∵M是CD的中点，

∴N为BE的中点；

同理：平面ABE的交线NP/​/AB，P为AE的中点，

连接PQ即为平面α与平面ADE的交线，故平面α与四棱锥A−BCDE各个面的交线所围成多边形是图中的四边形MNPQ，

由于PQ/​/DE，DE//MN，故PQ/​/MN，根据(1)BC⊥AC，由MN/​/BC，MQ//AC，故MQ⊥MN，即四边形MNPQ′是直角梯形．

设CM=a，则MQ=2a,MN=3a,PQ=a,BC=4a,AC=22a，故四边形MNPQ的面积是a+3a2×2a=22a2，三角形ABC18.解：(1)设∠BOA=θ，点M(x,y)，

过点B作OA的垂线，垂足为B1，过点M作BB1的垂线，垂足为N，

则∠BMN=θ，

由题意可得|OB1|=3cosθ，|MN|=cosθ，|BN|=sinθ，|BB1|=3sinθ，

则x=3cosθ+cosθ=4cosθ，y=3sinθ−sinθ=2sinθ，

又sin2θ+cos2θ=1，

消去参数θ可得x216+y24=1，

所以曲线C的方程为x216+y24=1．

(2