福建省福州市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建省福州市2025届高三上学期第一次质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∣x2−4x−5≤0,B=A.x∣−5≤x≤6 B.x∣−1≤x≤6

C.x∣0≤x≤1 D.x∣0≤x≤52.已知复数z=52−i，则z=A.355 B.95 C.3.以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y=2x上，则(

)A.sinα=−255 B.cosα=4.以y=±3x为渐近线的双曲线可以是(

)A.x23−y2=1 B.x5.如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC=3AD，记AB=m,AD=n，则A.−12m+2n B.126.已知圆x2+y2+4mx−2my+m=0m∈R与A.1 B.0或14 C.0或1 D.7.已知圆锥SO的底面半径为1，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥SO截成上､下两部分，若截得小圆锥的体积为324π，则圆锥SO的侧面积为A.4π B.2π C.2π 8.大气压强p(单位：kPa)与海拔ℎ(单位：m)之间的关系可以由p=p0e−kℎ近似描述，其中p0为标准大气压强，k为常数.已知海拔为5000m,8000m两地的大气压强分别为54kPa,36kP.若测得某地的大气压强为80kPa，则该地的海拔约为(

A.295m B.995m C.2085m D.3025m二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知(1−2x)9=aA.a0=1 B.a1=18

C.10.如图是函数fx=sinωx+φ的部分图象，则(

)A.π是fx的一个周期 B.fπ2=f4π3

C.fπ211.已知函数fx,gx均为定义在R上的非常值函数，且gx为fx的导函数.对∀x,y∈R,fx+yA.f0=0 B.fx为偶函数

C.g三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正三棱柱的底面边长为2，高为3，则其体积为

．13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M在C上，且点M到直线x=−2的距离为6，则MF=14.已知等差数列an的前n项和为Sn,a6=−600，当且仅当n=30时Sn四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)数列an满足a1=2(1)证明数列an(2)求数列an的前n项和Sn16.(本小题12分)已知▵ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2acosC=(1)求角C；(2)若a=4,b=3,D为AB中点，求17.(本小题12分)如图，在四棱锥S−ABCD中，BC⊥平面SAB,AD//BC,SA=BC=1,SB=2，

(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)若AD=12，求平面SCD与平面SAB18.(本小题12分)已知椭圆W:x2a2+(1)求W的方程；(2)直线x−my+1=0m≠0交W于A,B(i)点A关于原点的对称点为C，直线BC的斜率为k，证明：km(ii)若W上存在点P使得AP,PB在AB上的投影向量相等，且▵PAB的重心在y轴上，求直线AB19.(本小题12分)阅读以下材料：①设f′x为函数fx的导函数.若f′x在区间D单调递增；则称fx为区D上的凹函数；若f′x在区间D②平面直角坐标系中的点P称为函数fx的“k切点”，当且仅当过点P恰好能作曲线y=fx的k条切线，其中(1)已知函数fx(i)当a≤0时，讨论f1(ii)当a=0时，点P在y轴右侧且为fx的“3切点”，求点P(2)已知函数gx=xex，点Q在y轴左侧且为gx的“3切点”，写出点Q的集合(参考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.C

9.AD

10.ABD

11.BCD

12.3

13.5

14.24,25

15.(1)证明：因为an+1=3a又因为a1+1=3≠0，所以数列an+1是首项为3，公比为(2)解：由(1)知an+1=3所以Sn

16.(1)因为2acos由正弦定理，得2===因为0<A<π，则sinA≠0，所以cos由于0<C<π，则C=π(2)因为D为AB中点，故CD=所以|===31所以CD的长为31

17.(1)解法一：在△SAB中，因为SA=1,∠SBA=45由正弦定理，得SAsin∠SBA=所以sin∠SAB=1因为0∘<∠SAB<180∘，所以因为BC⊥平面SAB,SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA，又BC∩AB=B，BC,AB⊂平面ABCD所以SA⊥平面ABCD；方法二：证明：设AB=x，在△SAB中，因为SA=1,∠SBA=45由余弦定理，得SA所以1=2+x2−22所以SA2+A因为BC⊥平面SAB,SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA，又BC∩AB=B，BC,AB⊂平面ABCD所以SA⊥平面ABCD；解法三：设AB=x，在△SAB中，因为SA=1,∠SBA=45由余弦定理，得S所以1=2+x2−22所以SA2+A因为BC⊥平面SAB,BC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面SAB；又平面ABCD∩平面SAB=AB,SA⊥AB,SA⊂平面SAB，所以SA⊥平面ABCD；(2)解法一：由(1)知SA⊥平面ABCD，又AB,AD⊂平面ABCD，所以SA⊥AB,SA⊥AD，因为BC⊥平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥AB，因为AD/​/BC，所以AD⊥AB，所以SA,AD,AB两两垂直．以点A为原点，分别以AD,AB,AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则S0,0,1,C1,1,0设平面SCD的法向量为n1则n1⊥SC,n1⊥显然平面SAB的一个法向量n2所以cos所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为6解法二：由(1)知SA⊥平面ABCD，过B作BM//SA，则BM⊥平面ABCD，又AB,BC⊂平面ABCD，所以BM⊥AB,BM⊥BC，因为BC⊥平面SAB，又AB⊂平面SAB，所以BC⊥AB，所以BM,BA,BC两两垂直．以点B为原点，分别以BA,BC,BM所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则S1,0,1,C0,1,0设平面SCD的法向量为n1则n1⊥SC,n1⊥显然平面SAB的一个法向量n2所以cos所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为6解法三：延长CD､BA交于点M，连接SM，则平面SCD∩平面SAB=SM，在▵SBM中，

SB=由余弦定理，得SM所以SM2=(所以SM⊥SB，因为BC⊥平面SAB,SM⊂平面SAB，所以SM⊥BC，又SM⊥SB,SB∩BC=B，所以SM⊥平面SBC，又SC⊂平面SBC，所以SM⊥SC，所以∠BSC为平面SCD与平面SAB的夹角，因为BC⊥平面SAB,SB⊂平面SAB，所以BC⊥SB，因为SB=2,BC=1所以cos∠BSC=所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为6

18.(1)由题意，得ca=所以W的方程为x2(2)依题意可设点A−x1(i)证明：因为点A关于原点的对称点为C，所以C−因为点A,B在W上，所以x124+y因为直线AB:x−my+1=0m≠0的斜率为1m，直线BC所以km=y2−(ii)设弦AB的中点D的坐标为xD点P的坐标为xP,yP,▵PAB由x24+所以Δ=36m2+36因为▵PAB的重心G在y轴上，所以x1所以xP所以xD因为AP,PB在AB上的投影向量相等，所以PA=所以直线PD的方程为y−y所以yP所以点P8又点P在W上，所以83即m又因为m≠0，所以m=±33，所以直线AB

19.(1)因为fx所以f′x令ℎx所以ℎ′x(i)当a=0时，ℎ′x=6x−1，令ℎ′令ℎ′x≤0，解得故fx为区间1,+∞上的凹函数，为区间−∞,1当−14<a<0时，令ℎ′令ℎ′x≤0，解得x≤1或故fx为区间1,−2a+12a上的凹函数，为区间−∞,1当a=−14时，ℎ′x=−3(x−1)当a<−14时，令解得−2a+1令ℎ′x≤0，解得x≥1或故fx为区间−2a+12a,1上的凹函数，为区间综上所述，当a<−14时，fx为区间和1,+∞上的凸函数；当a=−14时，fx当−14<a<0时，fx为区间1,−上的凸函数；当a=0时，fx为区间1,+∞上的凹函数，为区间−∞,1(ii)当a=0时，fx故在点t,ft处的切线方程为y=设Pu,v(u>0)为fx则关于t的方程v=3即关于t的方程v=−