高中数学 2.3 等比数列 第4课时练习 新人教B版必修5

第二章2.3第4课时一、选择题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为()12eq\f(1,2)1abcA．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]由题意知a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(5,16)，c＝eq\f(3,16)，故a＋b＋c＝1.2．若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}是()A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，但也是等比数列D．既不是等差数列，又不是等比数列[答案]B[解析]Sn＝n2，Sn－1＝(n－1)2(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝1满足上式，∴an＝2n－1(n∈N*)∴an＋1－an＝2(常数)∴{an}是等差数列，但不是等比数列，故应选B．3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6 B．7C．8 D．9[答案]A[解析]设等差数列的公差为d，由由a4＋a6＝－6得2a5＝－6，∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2，∴Sn＝－11n＋eq\f(nn－1,2)×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时Sn取最小值，故选A．4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝()A．7 B．8C．15 D．16[答案]C[解析]设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，又∵a1＝1，∴q2－4q＋4＝0，q＝2.∴S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝15.5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13 B．35C．49 D．63[答案]C[解析]∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝49.6．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5()A．成等差数列 B．成等比数列C．倒数成等差数列 D．不确定[答案]B[解析]由题意，得2a2＝a1＋a3，aeq\o\al(2,3)＝a2·a4， ①eq\f(2,a4)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a5). ②∴a2＝eq\f(a1＋a3,2)，代入①得，a4＝eq\f(2a\o\al(2,3),a1＋a3) ③③代入②得，eq\f(a1＋a3,a\o\al(2,3))＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a5)，∴eq\f(a1,a\o\al(2,3))＋eq\f(1,a3)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a5)，∴aeq\o\al(2,3)＝a1a5.二、填空题7．(·天津理，11)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．[答案]－eq\f(1,2)[解析]本题考查等差数列等比数列综合应用，由条件：S1＝a1，S2＝a1＋a2＝a1＋a1＋d＝2a1－1，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝4a1＋6d＝4a1－6，∴(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，即4aeq\o\al(2,1)＋1－4a1＝4aeq\o\al(2,1)－6a1，∴a1＝－eq\f(1,2).8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.[答案]24[解析]设等差数列的首项为a1，公差为d，则a2＋a4＋a9＝3a1＋12d，又S9＝72，∴S9＝9a1＋eq\f(1,2)×9×8×d＝9a1＋36d＝72，∴a1＋4d＝8，∴a2＋a4＋a9＝3(a1＋4d)＝24.三、解答题9．(～学年度贵州遵义四中高二期中测试)已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2.[解析](1)设公差为d，由题意，得aeq\o\al(2,11)＝a1·a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，又a1＝25，解得d＝－2或d＝0(舍去)．∴an＝a1＋(n－1)d＝25＋(－2)×(n－1)＝27－2n.(2)由(1)知a3n－2＝31－6n，∴数列a1，a4，a7，a10，…，是首项为25，公差为－6的等差数列．令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝eq\f(n25＋31－6n,2)＝－3n2＋28n.一、选择题1．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝eq\f(n,90)·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A．5月、6月 B．6月、7月C．7月、8月 D．8月、9月[答案]C[解析]设第n个月份的需求量超过1.5万件．则Sn－Sn－1＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)－eq\f(n－1,90)[21(n－1)－(n－1)2－5]＞1.5，化简整理，得n2－15n＋54＜0，即6＜n＜9.∴应选C．2．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2 D．(n－1)2[答案]C[解析]由已知，得an＝2n，log2a2n－1＝2n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.3．等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于()A．eq\f(6,5) B．eq\f(5,6)C．20 D．110[答案]B[解析]由题意知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100，S偶＝a2·a4·…·a2n＝120，∴eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(a3·a5·…·a2n＋1,a2·a4·…·a2n)·a1＝a1·qn＝an＋1，∴an＋1＝eq\f(100,120)＝eq\f(5,6).4．已知数列{an}的首项a1＝2，且an＝4an－1＋1(n≥2)，则a4为()A．148 B．149C．150 D．151[答案]B[解析]∵a1＝2，an＝4an－1＋1(n≥2)，∴a2＝4a1＋1＝4×2＋1＝9，a3＝4a2＋1＝4×9＋1＝37，a4＝4a3＋1＝4×37＋1＝149.二、填空题5．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)的值__________．[答案]2[解析]b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c，∴eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2ab＋4b2＋2bc,a＋bb＋c)＝eq\f(2ba＋2b＋c,ba＋2b＋c)＝2.6．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910……按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．[答案]eq\f(n2－n＋6,2)[解析]前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即eq\f(n2－n,2)个，因此第n行从左向右的第3个数是全体正整数中第eq\f(n2－n,2)＋3个，即为eq\f(n2－n＋6,2).三、解答题7．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.[解析](1)设公比为q(q>0)，∵a1＝2，a3＝a2＋4，∴a1q2－a1q－4＝0，即q2－q－2＝0，解得q＝2，∴an＝2n.(2)由已知得bn＝2n－1，∴an＋bn＝2n＋(2n－1)，∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝eq\f(21－2n,1－2)＋eq\f([1＋2n－1]n,2)＝2n＋1－2＋n2.8．(～学年度安徽宿州市泗县双语中学高二期末测试)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝eq\f(an,2n－1).证明：数列{bn}是等差数列．(2)求数列{an}的前n项和．[解析](1)∵an＋1＝2an＋2n，∴eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(an,2n－1)＋1，即bn＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1.故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知bn＝n，∴an＝n·2n－1.Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝eq\f(1－2n,1－2)－n·2n＝2n－1－n·2n，∴Sn＝(n－1)2n＋1.9．已知数列{an}的首项a1＝eq\f(2,3)，an＋1＝eq\f(2an,an＋1)，n＝1,2，….(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是等比数列；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,an)))的前n项和Sn.[解析](1)∵an＋1＝eq\f(2an,an＋1)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋1,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)·eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))，又a1＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,a1)－1＝eq\f(1,2)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是以eq\f(1,2)为首项，eq\f(1,2)为公比的等比数列．(2)由(1)知eq\f(1,an)－1＝eq\f(1,2)·eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1,2n)，即eq\f(1,an)＝eq\f(1,2n)＋1，∴eq\f(n,an)＝eq\f(n,2n)＋n.设Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n)， ①则eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－1,2n)＋eq\f(n,2n＋1)， ②①－②得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)