2022年四川省广元市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2022年四川省广元市中考数学试卷

一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）

1.若实数。的相反数是-3,则。等于（）

1

A.-3B.0C.D.3

2.如图是某几何体的展开图，该几何体是（

B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

3.下列运算正确是（）

A.x2+x=x3B.(-3x)2=6x2

C.3y2x2y=6x2y2D.(x-2y)(x+2y)=x2-2y2

4.如图，直线。〃6,将三角尺直角顶点放在直线b上，若/1=50。，则/2的度数是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

5.某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相

同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩

的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的

是（）

9600160096001600

A--------=--------B.--------=--------

x-10xx+10x

9600160096001600

C.-------=---------D.-------=--------+10

xx-10XX

6.如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图.下列结论正确的

是（）

C.中位数是11D.方差是8

7.如图，AB是。。的直径，C、。是。。上的两点,若NC48=65。，则NAOC的度数为（）

A.25°B.35°C.45°D.65°

8.如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,NC=90。,以点B为圆心，8C长为半径画弧，与交于点。，再分别

以A、。为圆心，大于g的长为半径画弧，两弧交于点M、N,作直线MN,分别交AC、AB于点后F,则AE

10

A.-B.3C.20D.—

23

9.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、。都在格点处，A8与C。相交于点P,则

cos/APC的值为（）

"B.当C.|D-f

10.二次函数y=Qx2+6x+c(存0)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0),对称轴为直线％=2,下列结论：

7

(1)abc<0；(2)4a+c>2b；(3)3b-2c>0；(4)若点A(-2,yi)、点8(-”)、点C(万，然)在该函

数图象上，则yi<y3<>2；(5)4a+2b>m(am+b)(相为常数).其中正确的结论有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分)

11.分解因式：cz3-4«=.

12.石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，这个数用科学记数法表示为

13.一个袋中装有机个红球，10个黄球，〃个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与

不是黄球的概率相同，那么相与〃的关系是.

14.如图，将。。沿弦折叠，A3恰经过圆心。，若48=2石，则阴影部分的面积为.

O

AB

15.如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点8在第二象限内，反比例函数y=幺的图象经过

龙

△。48的顶点8和边的中点C,如果△0A8的面积为6,那么上的值是

16.如图，直尺48垂直竖立在水平面上，将一个含45。角的直角三角板。£的斜边。“靠在直尺的一边A2上，

使点E与点A重合，DE=12cm.当点D沿ZM方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动.当点。滑

动到点A时，点C运动的路径长为cm.

三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分）

17.计算：2sin60°-|V3-2|+（无-布）°-g+（-g）2

2x—12（x—l）<x+l

18.先化简，再求值：下一—（1-下一），其中x是不等式组I）的整数解.

x+xx2-1[5x+3>2x

19.如图，在四边形A5CZ）中，AB//CD,AC平分ND4B,AB=2CD9E为A5中点，连接CE.

(1)求证：四边形AECD为菱形；

(2)若/。=120。，DC=2,求△ABC的面积.

20.为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和。其它类四类学生活动社团，要求每

人必须参加且只参加一类活动.学校随机抽取八年级(1)班全体学生进行调查，以了解学生参团情况.根据调查

结果绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).请结合统计图中的信息，解决下列问题：

ABCD社团类别

(1)八年级(1)班学生总人数是人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度

数为;

(2)明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；

(3)校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生(男女各2名)中随机选择两名学生担任开幕式主持

人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率.

21.如图，计划在山顶A的正下方沿直线。方向开通穿山隧道EF.在点E处测得山顶A的仰角为45。，在距E

点80m的C处测得山顶A的仰角为30。，从与F点相距10m的。处测得山顶A的仰角为45。，点C、E、F、D在

同一直线上，求隧道£尸的长度.

A

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数>=尤+》的图像与函数y="(尤>0)的图像相交于点B(1,6),并与

"x

x轴交于点4点C是线段AB上一点，△O4C与△Q4B的面积比为2：3

(1)求4和6的值；

(2)若将△OAC绕点。顺时针旋转，使点C的对应点C，落在x轴正半轴上，得到△04。，判断点4是否在函数

y=-(k>0)的图像上，并说明理由.

龙

23.为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，

购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元.

(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？

(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动(文学类图书售价不

变)：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时

的单价销售.社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本.按此优惠，社

区至少要准备多少购书款？

24.在RtaABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。。交AB于点。，点E是边的中点，连结。E.

(1)求证：是。。的切线;

(2)若AZ)=4,BD=9,求。。半径.

25.在以及42。中，AC=BC,将线段CA绕点C旋转a(0。<6(<90。)，得到线段CD,连接A。、BD.

(1)如图1,将线段CA绕点C逆时针旋转a,则NAD8的度数为；

(2)将线段CA绕点C顺时针旋转a时

①在图2中依题意补全图形，并求NAD8的度数；

②若NBCD的平分线CE交3。于点片交DA的延长线于点E,连结8E.用等式表示线段A。、CE、BE之间的

数量关系，并证明.

26.在平面直角坐标系中，直线y=-x-2与x轴交于点A,与y轴交于点8,抛物线丫=⑪2+法+(；Q>o)经过

A,8两点，并与x轴的正半轴交于点C.

(1)求。，6满足关系式及c的值;

(2)当〃=工时，若点尸是抛物线对称轴上的一个动点，求△EAB周长的最小值；

4

(3)当。=1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点。作QOLA8于点。，当。。的值最大时,

求此时点Q的坐标及QD的最大值.

2022年四川省广元市中考数学试卷

一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）

1.若实数。的相反数是-3,则。等于（）

1

A.-3B.OC.-D.3

3

【答案】D

【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.即可求出。的值.

【详解】解：..P的相反数是-3,

o=3.

故选：D.

【点睛】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念.

2.如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

【答案】B

【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项.

【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；

故选B.

【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键.

3.下列运算正确的是（）

A.x2+x—x3B.（-3x）2—6x2

C.3y*2x1y—6x2y2D.（x-2y）（x+2y）—x2-2y2

【答案】C

【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.

【详解】解：A、x2与无不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；

B、（-3尤）2=9/原计算错误，该选项不符合题意；

C、3y・2x2y=6尤2y2正确，该选项符合题意；

D、（x-2y）（尤+2y）=（-4y2原计算错误，该选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数基的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键.

4.如图，直线a〃b,将三角尺直角顶点放在直线b上，若/1=50。，则N2的度数是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】根据题意易得/1+/3=90°,然后根据平行线的性质可求解.

【详解】解：如图，

由题意得：Z3=180°-90°-Zl=40°,

'.'a//b,

.-.Z2=Z3=40o,

故选C.

【点睛】本题主要考查平行线的性质及平角的意义，熟练掌握平行线的性质及平角的意义是解题的关键.

5.某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相

同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩

的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的

是（）

9600160096001600

A.--------=--------B.--------=--------

x-10xx+10X

9600160096001600

C.-------=---------D.-------=--------+10

xx-10xx

【答案】B

【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，利用数量=总

价+单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于无的分式方程.

【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是尤元，则购进N95口罩的单价是（龙+10）元，

16009600

依题意得:

x%+10

故选：B.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

6.如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图.下列结论正确的

A.平均数是6B.众数是7C.中位数是11D.方差是8

【答案】D

【分析】根据题目要求算出平均数、众数、中位数、方差，再作出选择即可.

【详解】解：A、平均数为（5+7+11+3+9）+5=7,故选项错误，不符合题意;

B、众数为5、7、11、3、9,故选项错误，不符合题意；

C、从小到大排列为3,5,7,9,11,中位数是7,故选项错误，不符合题意；

D、方差S2=-[（5-7）2+（7-7）2+（11-7）2+（3-7）2+（9-7）2]=8

5L-

,故选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差的算法，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的算法是解题的

关键.

7.如图，AB是。。的直径，C、。是。。上的两点，若NC48=65。，则NAOC的度数为（）

A.25°B.35°C.45°D.65°

【答案】A

【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定/ACB=90。，然后根据NCAB=65。求得NA8C的度数，利用同弧所

对的圆周角相等确定答案即可.

【详解】解：是直径，

ZACB=90°,

\'ZCAB=65°,

：.ZABC=90°-ZCAB=2.5°,

：.ZADC=ZABC=25°,

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大.

8.如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,NC=90。，以点2为圆心，长为半径画弧，与AB交于点。，再分别

以A、。为圆心，大于34。的长为半径画弧，两弧交于点M、N,作直线MN,分别交AC、A3于点E、F,则AE

510

A.-B.3C.272D.

2T

【答案】A

AC4

【分析】由题意易得MN垂直平分AD,AB=10,贝U有AD=4,AF=2,然后可得cosNA=—=-,

AB5

进而问题可求解.

【详解】解：由题意得：垂直平分AD,BD=BC=6,

：.AF=-AD,ZAFE=90°,

2

：8C=6,AC=8,NC=90。，

-AB=y/AC2+BC2=10-

AC4

.,.AD=4,AF=2,cosZA=------=—,

AB5

AF5

AE=

cosZA2

故选A.

【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角

函数是解题的关键.

9.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、。都在格点处，A2与8相交于点P,则

cos/APC的值为（）

5

【答案】B

【分析】把A8向上平移一个单位到。E,连接CE,则。E〃A8,由勾股定理逆定理可以证明AOCE为直角三角

形，所以cosNAPC=cosNEZX7即可得答案.

【详解】解：把A3向上平移一个单位到连接CE,如图.

则DE//AB,

：.ZAPC=ZEDC.

在△℃£中，有EC=6+干=BDC=J22+42=26,£)E=A/32+42=5-

•••EC2+DC2=5+20=25=DE2，

，ADCE是直角三角形，且"CE=90°,

cosXAPC—cosZEDC—℃=2*.

DE5

故选：B.

【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键.

10.二次函数^=4x2+6%+。(〃/))的部分图象如图所示，图象过点(-1,0),对称轴为直线X=2,下列结论：

7

(1)abc<0；(2)4ci+c>2b；(3)3b-2c>0；(4)若点A(-2,yi)、点8(-；,”)、点C(一，中)在该函

22

数图象上，则丁1〈/〈丁2；(5)4a+2b>m(am+b)(机为常数).其中正确的结论有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】C

【分析】由图象可知a<0,c>。，对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为(—1,0),然后可得

b=^a>0,a-b+c=0,则有c=—5a,进而可判断(1)(2)(3),最后根据函数的性质可进行判断(4)

(5).

【详解】解：由图象及题意得：a<0,c>0,对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点为

(TO)，

b=-4a>O,a-b+c=O,

Q+4(2+c=0,即c=-5a9

abcvO,3Z?—2c=3x(Ta)—2x(—5a)=—2a>0,故(1)(3)正确；

由图象可知当x=-2时，贝ij有4“—2b+cv0,即4a+c<2b,故(2)错误；

:点A(-2,a)、点B(-：,丫2)、点C(一，、3)在该函数图象上，

22

根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，

%>%>%，故(4)错误；

由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+26+c,

，当时，(机为常数)，则有y=卬"+/wi+c,

4a+2b+c>am2+bm+c>即为4a+2b2加(tzm+b),故(5)正确；

综上所述：正确的有(1)(3)(5)共3个；

故选C.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分)

11.分解因式：〃-4々=.

【答案】a(a+2)(a-2)

【分析】根据提公因式及平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：原式=a(/—4)=a(a+2)(a—2)；

故答案为：a(a+2)(a—2).

【点睛】本题主要考查提公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.

12.石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，这个数用科学记数法表示为

【答案】3.4X1O-10

【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl(yn

,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数哥.

【详解】0.00000000034=3,4x1010

故答案为：3.4X1()T°.

【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为。X101其中14时＜10,〃为由原数左边起

第一个不为零的数字前面的0的个数决定.

13.一个袋中装有机个红球，10个黄球，〃个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与

不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是.

【答案】"计"=10.

【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案.

【详解】•.•一个袋中装有机个红球，10个黄球，〃个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，

与"的关系是：〃z+w=10.

故答案为机+"=10.

【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键.

14.如图，将。。沿弦折叠，A8恰经过圆心°，若AB=25则阴影部分的面积为.

【答案】一2〃##三27r

33

【分析】过点。作于点。，交劣弧于点E,由题意易得

OD=DE=-OE=-OB,AD=BD=-AB=^3,则有NOBD=30。，然后根据特殊三角函数值及扇形面积

222

公式可进行求解阴影部分的面积.

【详解】解：过点。作OOLA3于点。，交劣弧A3于点E,如图所示:

由题意可得：OD=DE=LOE=LOB,AD=BD=LAB=6,

222

Z(9BD=30°,

ZDOB=60°,OD=BD-tan30°=1,(95=BD=2,

cos30°

1A

••・弓形AB面积为2xS扇形。BE—2S“B=2X义36(^_2义守6义1=丁-旧，

，阴影部分的面积为5s弓形AB+SOBD

2

故答案为一〃.

3

【点睛】本题主要考查扇形面积、轴对称的性质及三角函数，熟练掌握扇形面积、轴对称的性质及三角函数是解

题的关键.

15.如图，已知在平面直角坐标系中，点A在X轴负半轴上，点3在第二象限内，反比例函数y=七的图象经过

x

△。48的顶点B和边的中点C,如果△OAB的面积为6,那么k的值是

【答案】4

【分析】过8作班，Q4于。，设8（帆〃），根据三角形的面积公式求得。4=—,进而得到点A的坐标，再

n

求得点C的坐标，结合一次函数的解析式得到列出方程求解.

【详解】解：过8作助，。4于。，如下图.

二•点5在反比例函数y=—的图象上,

x

・••设5（帆n）.

•・•.Q45的面积为6,

・・,点。是A3的中点，

.Jmn+12〃]

**12H

v点c在反比例函数y=勺的图象上，

X

mn+12n

-------=mn,

2n2

mn=4,

k=4.

故答案为:4.

【点睛】本题考查了反比例函数系数左几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题

的关键.

16.如图，直尺垂直竖立在水平面上，将一个含45。角的直角三角板CDE的斜边。E靠在直尺的一边A5上，

使点E与点A重合，DE=12cm.当点。沿D4方向滑动时，点E

同时从点A出发沿射线AF方向滑动.当点。滑动到点A时，点C运动的路径长为cm.

【答案】（24-120）

【分析】由题意易得CD=CE=,则当点。沿D4方向下滑时，得到△DCE，，过点C作

C'NLAB于点、N,作于点M,然后可得DCN当ECM,进而可知点。沿ZM方向下滑时，点

C在射线AC上运动，最后问题可求解.

【详解】解：由题意得：ZDEC=45°,DE=12cm,

•••CD=CE=—DE=6y/2cm,

2

如图，当点D沿ZM方向下滑时，得到△DUE,过点C作C'NLAB于点M作。'河，诙于点〃，

ZDAM=90°,

...四边形乂是矩形，

ZNCM=90°,

：.ZD'CN+ZNC'E'=ZNCE'+ZE'C'M=90°,

ZD'C'N=ZE'C'M,

D'C=E'C',ZD'NC'=ZE'MC=90°,

:.D'C'N^,E'CM,

：.C'N=C'M,

•：C'N±AB,CM±AF,

：.AC'平分

即点。沿D4方向下滑时，点C在射线AC上运动，

...当C'DUAB时，此时四边形C'D'AE'是正方形，CC的值最大，最大值为A。—AC=（12—60卜m,

当点。滑动到点A时，点C运动的路径长为2x（12—6后）=（24—12后）cm；

故答案为（24-12日）.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定

理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的

关键.

三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分）

17.计算：2sin60°T石-2|+（兀-y/lQ）0-y/i2+（-；）2.

【答案】3

【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案.

【详解】解：2sin60°-173-2|+（7i-V10）°-A/12+（-2

=A/3-2+^3+1-273+4

=3.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数塞、负整数指数累及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混

合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

18.先化简，再求值：--；（1-下一），其中x是不等式组.的整数解.

x2+xx-1[5x+3>2x

【答案】4-当行2时，原分式的值为J

X/

【分析】由题意先把分式进行化简，求出不等式组整数解，根据分式有意义的条件选出合适的尤值，进而代入

求解即可.

2/x2—1I—X+1、2(%+1)(%-1)_2

【详解】解：原式=----------x

x(x+l)x(x+l)x(x-l)x2

2(x-1)<冗+1

由i可得该不等式组的解集为：-lWx<3,

5%+3>2x

.•.该不等式组的整数解为：-I、0、I、2,

当x=-l,0,I时，分式无意义,

.*.x=2,

2I

把x=2代入得：原式二^7=—.

【点睛】本题主要考查分式的运算及一兀一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0.

19.如图，在四边形A3CD中，AB//CD,AC平分NOAHAB=2CD,E为A8中点，连接CE.

（I）求证：四边形AECD为菱形；

（2）若ND=l20。，DC=2,求△A3C的面积.

【答案】（I）见详解（2）ZVIBC的面积为2百

【分析】（I）由题意易得CD=AE,NDAC=/EAC=NDCA,则有四边形AEC。是平行四边形，然后问题可求证；

（2）由（I）及题意易得NDAE=NCEB=60°,CE=BE,NC4B=30。，则有△BCE是等边三角形，然后可得

△ACB是直角三角形，则AC=2G,BC=2,进而问题可求解.

【小问I详解】

证明：'：AB//CD,AC平分NZMB,

ZDAC=ZEAC,ZEAC=ZDCA,

：.ZDAC=ZDCA,

：.DA=DC,

\'AB=2CD,E为AB中点,

CD=AE=-AB,

2

•?CD//AE,

四边形AECD是平行四边形，

\'DA=DC,

，四边形AEC。是菱形；

【小问2详解】

解：由（1）知：CD//AE,AD//EC,CD—AE-EC=2,

ZZ）=120°,

/.ZDAE=180°-ADC=60°=ZCEB,ZCAB=-ZDAE=30°=ZACE,

2

为AB中点，

AE=BE=CE,

.,.△BCE是等边三角形，

：.ZECB=60°,BC=CE=2,

：.ZACB=ZACE+ZECB=90°,

AC=y/3BC=2G,

SVACB=；AC-BC=2C.

【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、等边三角形的性质及含30。直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质与

判定、等边三角形的性质及含30。直角三角形的性质是解题的关键.

20.为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和。其它类四类学生活动社团，要求每

人必须参加且只参加一类活动.学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况.根据调查

结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）.请结合统计图中的信息，解决下列问题：

人数

（1）八年级（I）班学生总人数是人,补全条形统计图，扇形统计图中区域c所对应的扇形的圆心角的度

数为;

（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；

（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持

人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率.

【答案】（1）40；补全条形统计图见解析；90°；

（2）该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人；

（3）选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是:.

【分析】（1）利用A类人数除以所占百分比可得抽取总人数；根据总数计算出C类的人数，然后再补图；用360。

乘以C类所占的百分比，计算即可得解；

（2）利用样本估计总体的方法计算即可；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生的结果数，然后利用概率公

式求解.

【小问1详解】

解：抽取的学生总数：12+30%=40（人），

C类学生人数：40-12-14-4=10（人），

补全统计图如下：

人数

扇形统计图中c类所在的扇形的圆形角度数是3600x^=90。；

40

故答案为:40；90°；

【小问2详解】

皿12+14,

解：2500x----------=1625(人)，

40

答：该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人;

【小问3详解】

(3)画树状图为：

开始

共有12种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的有8种，

Q7

所以选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是：

212=;3.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果”再从中选出符合事件A

或8的结果数目m然后利用概率公式求事件A或8的概率.也考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.

21.如图，计划在山顶A的正下方沿直线C。方向开通穿山隧道£尸.在点E处测得山顶A

的仰角为45。，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30。，从与厂点相距10m的。处测得山顶A的仰角为

45。，点C、E、F、。在同一直线上，求隧道E尸的长度.

【答案】隧道跖的长度（406+30）米.

【分析】过点A作AGLCD于点G,然后根据题意易得AG=EG=OG,则设AG=EG=OG=x,进而根据三角函数可

得出CG的长，根据线段的和差关系则有％+80=氐，最后问题可求解.

【详解】解：过点A作AG_LC£＞于点G,如图所示：

由题意得：CE=80m,DF=10m,ZAEF=ZADE=45°,ZACE=30°,

AEAD是等腰直角三角形，

：.AG=EG=DG,

设AG=EG=DG=x,

AG

CG==y/3x,

tan30°

x+80=y/3x，

解得：X=40G+40,

/.AG=EG=DG=（40y/3+40）m,

EF=ED-DF=4073+40-10=（40/+30）m；

答：隧道跖的长度（40百+30）米.

【点睛】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键.

k

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=x+b的图像与函数y=—(x>0)的图像相交于点8(1,6),并与

%

(1)求z和Z?的值；

(2)若将△。4。绕点。顺时针旋转，使点。的对应点C落在x轴正半轴上，得到△O4C,判断点4是否在函数

k

y=—(x>o)的图像上，并说明理由.

龙

【答案】⑴b=5,g6

(2)不在，理由见详解

【分析】(1)把点2的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；

(2)由(1)及题意易得点C的坐标，然后根据旋转的性质可知点C，的坐标，则根据等积法可得点4的纵坐标，

进而根据三角函数可得点4的横坐标，最后问题可求解.

【小问1详解】

解：由题意得：

1+b=6

k=6'

b=5,k=6；

【小问2详解】

解：点4不在反比例函数图像上，理由如下：

过点4作轴于点E,过点C作轴于点片如图，

由（1）可知：一次函数解析式为y=x+5,反比例函数解析式为丁=自

X

.•.点4（一5,0）,

•.•△。4（?与4。48的面积比为2：3,且它们都以OA为底，

.•.△OAC与△OAB的面积比即为点C纵坐标与点8纵坐标之比,

2

・••点C的纵坐标为6x-=4,

・,•点。的横坐标为％=4—5=—1,

.•.点C坐标为（—1,4）,

：.CF=4,OF=1,

AOC=A/12+42=#7-tanZCOF=—=4,

Or

由旋转的性质可得：OC=OC'=J万,NA'OC'=ZAOC,

根据等积法可得：AE="=暗'

A!E_5^/17

tanZA'OE~17

，点4不在反比例函数图像上.

【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数

的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键.

23.为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元,

购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元.

（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？

（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不

变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时

的单价销售.社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本.按此优惠，社

区至少要准备多少购书款？

【答案】（1）科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元.

（2）社区至少要准备2700元购书款.

【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列出方程组进行求解；

（2）设社区需要准备W元购书款，购买科技类图书根本，则文学类图书有（100-777）本，由（1）及题意可分当

30W〃z<40时，当40W加W50时及当50<7%《60时，进而问题可分类求解即可.

【小问1详解】

解：设科技类图书的单价为尤元，文学类图书的单价为y元，由题意得：

2x+3y=154fx=38

\,解得：<■

[4x+5y=2821y=26

答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元.

【小问2详解】

解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书机本，则文学类图书有（100-机）本，由（1）可得：

①当30W〃z<40时，则有：w=38m+26（100-m）=12^+2600,

V12>0,

.,.当“2=30时，w有最小值，即为w=360+2600=2960；

②当40W“zW50时，则有：w=（38-m+40^m+26（100—m）=-nr+52m+2600,

V-K0,对称轴为直线加=26,

.,.当40W〃zW50时，w随机的增大而减小，

...当利=50时，w有最小值，即为w=—5（）2+52x50+2600=2700；

③当50<加460时，此时科技类图书的单价为78—50=28（元），则有川=28加+26（100—m）=2根+2600,

V2>0,

当机=51时，w有最小值，即为vv=102+2600=2702；

综上所述：社区至少要准备2700元的购书款.

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，注意

分类讨论.

24.在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。。交A8于点。，点E是边的中点，连结。E.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若4。=4,BD=9,求。。半径.

【答案】(1)见详解(2)历

【分析】(1)连接。OE,由题意易得ZA=ZODA,则有乙4=NCOE=NZ)OE=NOD4,然后可得

△COE会ADOE,进而问题可求证；

⑵连接CD,由题意易得NADC=90°,然后可证△ADCs^cOB,则有。方=，进而可得0)=6,最

后利用勾股定理可求解.

【小问1详解】

证明：连接0。，OE,如图所示：

■:OA-OD,

・•・ZA=ZODA,

・・•点E是边5C的中点，

：・OE〃AB,

:./DOE=NODA,ZA=ZCOE,

：.ZDOE=ZCOEf

•：OD=OC,OE=OE,

:.△C0E9XD0E(SAS),

ZACB=90°,

：.ZODE=ZACB=90°,

.•.OE是。。的切线；

【小问2详解】

解：连接C。，如图所示:

：AC是。。的直径，

ZADC=ZCDB=90°,

：.ZA+ZACD=ZACD+ZDCB=9Q°,

：.ZA=ZDCB,

：.△ADCs△COB,

,CD

一，即CD2=AD.BD,

"ADCD

'：AD=4,BD=9,

•••CD2=36.

/.CD=6,

在RtZ\ADC中，由勾股定理得：AC=《Alf+CD。=2回,

的半径为J