中考各省压轴之函数类问题（11考点35题）（老师版）

中考各省压轴之函数类问题（11考点35题）

一．反比例函数综合题（共2小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数于点D，连接AD，若BD＝2CD，求△ABD的面积；（3）在（2）的条件下，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接EA．点F是反比例函数的图象上一点，连接FA，若∠AED+∠FAO＝90°，求点F的坐标．【答案】（1）A（0，2），B（，3）；（2）S△ABD＝1；（3）点F的坐标为（1，）或（3，）．【解答】解：（1）∵在y＝2x+2中，当x＝0时，y＝2，∴A（0，2），联立方程组，解得：，（舍去），∴B（，3）；（2）如图，过点B作BG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，设BC交y轴于点K，∵∠BGC＝∠DHC＝90°，∴BG∥DH，∴△BCG∽△DCH，∴＝＝＝，∴DH＝BG＝×3＝1，当y＝1时，1＝，解得：x＝，∴D（，1），∴GH＝﹣＝1，∵BG∥DH，∴＝＝，∴CH＝，∴OC＝OH+CH＝+＝2，∴C（2，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4，当x＝0时，y＝4，∴K（0，4），∴AK＝4﹣2＝2，∴S△ABD＝S△ADK﹣S△ABK＝×2×﹣×2×＝1；（3）过点D作HG∥x轴，作EH⊥HG于H，BG⊥HG于G，连接AE，如图，由旋转得：BD＝DE，∠BDE＝90°，∴∠BDG+∠EDH＝90°，∠BDG+∠DBG＝90°，∴∠EDH＝∠DBG，∵∠H＝∠G，∴△BDG≌△DEH（AAS），∴DH＝BG＝2，EH＝DG＝1，∴E（，2），∴AE∥x轴，∵∠AED+∠FAO＝90°，∠AED+∠DEH＝90°，∴∠FAO＝∠DEH，∴tan∠FAO＝tan∠DEH＝＝2，设直线AF交x轴于Q，∴OQ＝4，∴直线AF的解析式为y＝﹣x+2，∴﹣x+2＝，解得：x1＝1，x2＝3，∴点F的坐标为（1，）或（3，）．2．已知一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）若A点的横坐标为，求b的值；（2）如图，若AB＝2AC，求A、B两点的坐标；（3）在（2）的条件下，将一直角三角板的直角顶点P放在反比例函数图象的AB段上滑动，直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB分别交于Q、R两点，设点P的横坐标为x0，QR的长为L．问：是否存在点P，使L的长为，存在请求出符合条件的P的坐标，不存在请说明理由．【答案】（1）b的值为；（2）A（2，3），B（6，1）；（3）存在点P（3，2）或（4，），使L的长为．【解答】解：（1）当x＝时，y＝＝4，∴A（，4），把A（，4）代入y＝﹣x+b，得4＝﹣×+b，解得：b＝，故b的值为；（2）设A（m，），B（n，），且m＞0，n＞0，如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，则AE＝m，BF＝n，CE＝b﹣，CF＝b﹣，∵y＝﹣x+b，当y＝0时，0＝﹣x+b，解得：x＝2b，当x＝0时，y＝b，∴C（0，b），D（2b，0），本号资料全部来源于微*信公众号：数学第#六感∴OC＝b，OD＝2b，∴tan∠CDO＝＝＝，∵AE⊥y轴，BF⊥y轴，x轴⊥y轴，∴AE∥BF∥x轴，∴∠CAE＝∠CBF＝∠CDO，∴tan∠CAE＝tan∠CBF＝tan∠CDO＝，∴＝tan∠CAE＝，＝tan∠CBF＝，∴AE＝2CE，BF＝2CF，∴，解得：（m﹣n）（mn﹣12）＝0，∵m≠n，∴mn＝12，∵AB＝2AC，∴＝，∵AE∥BF，∴△ACE∽△BCF，∴＝＝，∴＝，∴n＝3m，代入mn＝12得：3m2＝12，∵m＞0，n＞0，∴m＝2，n＝6，∴A（2，3），B（6，1）；（3）存在点P，使L的长为．理由如下：把A（2，3）代入y＝﹣x+b，得3＝﹣×2+b，解得：b＝4，∴y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝8，∴C（0，4），D（8，0），在RtCDO中，CD＝＝4，∵直角三角板的直角边始终与坐标轴平行，∴∠QRP＝∠CBF，∠QPR＝∠COD＝90°，∴△QPR∽△COB，∴＝，设P（x0，）（2≤x0≤6），则Q（x0，﹣x0+4），∴PQ＝﹣x0+4﹣，∴＝，∴﹣x0+4﹣＝，解得：x0＝3或4，∴P（3，2）或（4，）；故存在点P（3，2）或（4，），使L的长为．二．二次函数的应用（共1小题）3．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，将点O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：a＝﹣，故函数的表达式为：y＝﹣（x﹣8）2+8，即y＝﹣x2+2x（0≤x≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行；（3）设点B（m，0），则点A（m，﹣m2+2m），由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝8，则BC＝2（8﹣m）＝16﹣2m＝AD，则AB＝﹣m2+2m，则设：w＝AB+AD+DC＝2m+2AB＝﹣m2+2m+16，∵﹣＜0，故w有最大值，当m＝4时，w的最大值为20，故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．三．二次函数综合题（共12小题）4．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE；【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D．①求点C的坐标；②求直线AC的解析式；【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出点M的横坐标．【答案】（1）证明见解答；（2）①C（﹣4，1）；②y＝x+3；（3）抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝，点M的横坐标为﹣或﹣．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，本号资料*全部来源于*：数学∴∠A＝∠EBD，在△ACB和△BDE中，，∴△ACB≌△BDE（AAS）；（2）解：①∵一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，∴A（0，3），B（﹣1，0），∴OA＝3，OB＝1，过点C作CG⊥x轴于点G，如图，则∠BGC＝90°＝∠AOB，∴∠CBG+∠BCG＝90°，本号资料全部来源于：*#数学∵线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，∴BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBG＝90°，∴∠BCG＝∠ABO，∴△BCG≌△ABO（AAS），∴BG＝OA＝3，CG＝OB＝1，∴OG＝OB+BG＝1+3＝4，∴C（﹣4，1）；②设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3；（3）解：抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝．∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），当点M在x轴上方时，如图，过点Q作QL∥BM，过点B作BF⊥BQ，交BL与于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，则∠BOQ＝∠QBF＝∠BGF＝90°，∠BQF＝∠MBQ，∴∠OBG+∠OQB＝90°，∠OBG+∠FBG＝90°，∴∠OQB＝∠FBG，∴△OBG∽△GFB，∴＝＝，∵tan∠BQF＝＝，∴＝＝，∴FG＝，BG＝，∴F（，﹣），设直线FQ的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线FQ的解析式为y＝﹣x﹣1，∵BM∥QF，∴设直线BM的解析式为y＝﹣x+d，把B（4，0）代入，得﹣+d＝0，解得：d＝，∴直线BM的解析式为y＝﹣x+，联立得，解得：，（舍去），∴M（﹣，）；当点M在x轴下方时，如图，过点Q作QE⊥BQ，交BM于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，则∠QFE＝∠BOQ＝∠BQF＝90°，∵tan∠MBQ＝，∴＝tan∠MBQ＝，∴EQ＝BQ＝，∵∠OBQ+∠BQO＝90°，∠BQO+∠EQF＝90°，∴∠OBQ＝∠EQF，∴△QEF∽△BQO，∴＝＝，即＝＝，∴EF＝，QF＝，∴OF＝OQ+QF＝1+＝，∴E（，﹣）；设直线BM的解析式为y＝m′x+n′，则，解得：，∴直线BM的解析式为y＝x﹣，联立，得，解得：（舍去），，∴M（﹣，﹣）；综上所述，抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝，点M的横坐标为﹣或﹣．5．如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E．（1）如图2，若抛物线经过原点O．①求该抛物线的函数表达式；②求的值．（2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由．【答案】（1）①y＝﹣x2+3x；②的值为．（2）∠CPE与∠BAO能相等，点P的横坐标为6或﹣或或﹣．【解答】解：（1）①∵抛物线经过原点O（0，0）、C（2，0），∴对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝×1+＝，∴抛物线的顶点P（1，），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+，把C（2，0）代入，得a+＝0，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣x2+3x，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x；②∵直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，∴A（﹣2，0），B（0，），设直线OP的解析式为y＝kx，把P（1，）代入，得：k＝，∴直线OP的解析式为y＝x，如图，过点B作BF∥x轴交OP于点F，则点F的纵坐标与点B的纵坐标相同，∴＝x，解得：x＝，∴F（，），∴BF＝，∵BF∥OC，∴△BEF∽△CEO，∴＝＝＝，∴的值为．（2）设点P的横坐标为t，①如图2﹣1，当t＞2，存在∠CPE＝∠BAO，设∠CPE＝∠BAO＝α，∠APC＝β，则∠APD＝α+β，∵∠PCD＝∠PAO+∠APC＝α+β，∵PC＝PD，∴∠PDC＝∠PCD＝∠APD，∴AP＝AD＝2t，过点P作PF⊥x轴于点F，则AF＝t+2，在Rt△APF中，cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝6．②如图2﹣2中，当0＜t≤2时，存在∠CPE＝∠BAO．过点P作PF⊥x轴于点F，同法cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝．③如图2﹣3中，当﹣2＜t≤0时，存在∠CPE＝∠BAO＝α，∵PC＝PD，∴∠CPE＝α，∴∠BAO﹣∠PDC＝α，∴∠APD＝∠PDA，∴AD＝AP＝﹣2t，同法cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝﹣．④当t≤﹣2时，同法cos∠BAO＝＝，＝，∴t＝﹣综上所述．点P的横坐标为6或﹣或或﹣．6．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣8，顶点坐标为（﹣1，﹣9）；（2）S△PAC的最大值为8，点P（﹣2，﹣8）；（3）证明见解答．【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣8，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）；（2）解：∵抛物线y＝x2+2x﹣8与y轴交于点C，∴C（0，﹣8），设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，如图，则F（t，﹣2t﹣8），∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t，∴S△PAC＝S△PAF+S△PCF＝PF•（t+4）+PF•（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，∵﹣2＜0，∴当t＝﹣2时，S△PAC的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣8）；（3）证明：∵直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，∴x2+2x﹣8＝kx+k﹣，整理得：x2+（2﹣k）x+﹣k＝0，∴xM+xN＝k﹣2，xMxN＝﹣k，∵yM＝kxM+k﹣，yN＝kxN+k﹣，∴yM﹣yN＝k（xM﹣xN），∴MN2＝（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2＝（1+k2）（xM﹣xN）2＝（1+k2）[（xM+xN）2﹣4xMxN]＝（1+k2）[（k﹣2）2﹣4（﹣k）]＝（1+k2）2，∵设MN的中点为O′，∴O′（，k2﹣），过点O′作O′E⊥直线l2：y＝﹣，垂足为E，如图，∴E（，﹣），∴O′E＝k2﹣﹣（﹣）＝（1+k2），∴O′E＝MN，∴以MN为直径的⊙O′一定经过点E，∴∠MEN＝90°，∴在直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．7．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式：y＝﹣x2+x+2，直线BC：y＝﹣x+2．（2）m＝1或m＝或m＝2．（3）P（），Q（0，）或P（），Q（0，）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），本号资料全部来源于#微信公#众号：数学将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，∴a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．设直线BC的表达式为y＝kx+t，将B（2，0），C（0，2）代入得，，解得，∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），∴点M的坐标为（m，﹣m+2），∴OC＝2∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，当△OCM为等腰三角形时，①若CM＝OM，则CM2＝OM2，即2m2＝2m2﹣4m+4，解得m＝1；②若CM＝OC，则CM2＝OC2，即2m2＝4，解得或m＝﹣（舍去）；③若OM＝OC，则OM2＝OC2，即2m2﹣4m+4＝4，解得m＝2或m＝0（舍去）．综上，m＝1或m＝或m＝2．（3）∵点P与点C相对应，∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，①若点P在点B的左侧，则，当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，直线OP的表达式为y＝x，∴﹣m2+m+2＝m，解得或m＝﹣（舍去），∴，即OP＝2，∴，即，解得OQ＝，∴，当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，，∴，即，解得m＝1±（舍去）．当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，PQ＝，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2，∴，即，解得m＝，（负值舍去），∴P（），Q（0.）．②若点P在点B的右侧，则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，直线OP的表达式为y＝﹣x，∴﹣m2+m+2＝﹣m，解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），∴，∴，即，解得OQ＝1，∴，当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，∴，即，解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），∴，综上，P（），Q（0，）或P（），Q（0，）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．8．探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣﹣2﹣﹣1﹣012…y…﹣0m020﹣…其中，m＝2.根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；（2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2；图象见解答，该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；（2）所有满足条件的点F的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）或（﹣1﹣，﹣）或（1+，﹣）；（3）PM+PN＝为定值．【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2，本号资料全部来源于微信*公众#号：数学∴m＝2，函数图象如图所示：由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小；故答案为：2；（2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x，当x≥0时，y＝﹣2x2+4x，∵A（2，0），B（﹣2，0），∴AB＝4，∵S△FAB＝3，∴×4|yF|＝3，∴yF＝±，当yF＝时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x＝，解得：x＝﹣或﹣，若x≥0，则﹣2x2+4x＝，解得：x＝或，∴F（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）；当yF＝﹣时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x＝﹣，本号资**料全部来源于：数学解得：x＝﹣1﹣或x＝﹣1+（舍去），#本号资料全部#来源于：数学若x≥0，则﹣2x2+4x＝﹣，解得：x＝1﹣（舍去）或x＝1+，∴F（﹣1+，﹣）或（﹣1﹣，﹣）或（1﹣，﹣）或（1+，﹣）；综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）或（﹣1﹣，﹣）或（1+，﹣）；（3）PM与PN的和是定值；如图2，连接直线PQ，∵抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点，∴O（0，0），A（2，0），∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，∴抛物线y＝﹣2x2+4x的顶点为（1，2），∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（1，2）的对称点，故点P的坐标为（1，4），由点P、O的坐标得，直线OP的表达式为y＝4x①，同理可得，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②，设直线l的表达式为y＝tx+n，联立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，∵直线l与抛物线只有一个公共点，故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n＝（t﹣4）2，故直线l的表达式为y＝tx+（t﹣4）2③，联立①③并解得xM＝﹣（t﹣4），同理可得，xN＝﹣（t﹣12），∵射线PO、PA关于直线PQ：x＝1对称，则∠APQ＝∠OPQ，设∠APQ＝∠OPQ＝α，则sin∠APQ＝sin∠OPQ＝＝＝＝sinα，∴PM+PN＝+＝（xN﹣xM）＝为定值．9．如图1，抛物线y＝ax2+x+c经过点（3，1），与y轴交于点B（0，5），点E为第一象限内抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式．（2）直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线EF⊥x轴，交AD于点F，连接BE，当BE＝DF时，求点E的横坐标．（3）如图2，点N为x轴正半轴上一点，OE与BN交于点M，若OE＝BN，tan∠BME＝，求点E的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把（3，1）和（0，5）代入到解析式中可得：，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）直线y＝x﹣4中，令y＝0可得A（6，0），直线y＝x﹣4中，令x＝0，可得D（0，﹣4），①分别过E、F向y轴作垂线，垂足为G、H，根据题意可得EG＝FH，如图：∵EG⊥y轴，FH⊥y轴，∴△BEG和△DFH为直角三角形，在Rt△BEG和Rt△DFH中：，∴Rt△BEG≌Rt△DFH（HL），∴BG＝DH，设E（），则F（），∴G（），H（），从而BG＝，DH＝，则有，解得t＝0（舍去）或，②如图：同理可得﹣t2+t+5﹣5＝t﹣4﹣（﹣4），本号资料全部来源于：数*学第*六感解得t＝0（舍去）或t＝1，故E点的横坐标为：或1；（3）将OE平移到NP，连接EP，则四边形ONPE为平行四边形，tan∠BNP＝tan∠BME＝，过P作PQ⊥BN于Q，过Q作QR⊥y轴于R，过P作PS⊥RQ交延长线于S，延长PE交y轴于T，如图：设BN＝OE＝NP＝5m，则PQ＝3m，QN＝4m，BQ＝m，∵RQ∥x轴，∴△BRQ∽△BON，∴，∴，RO＝4，EP＝NO＝5RQ＝5n，设RQ＝n，∵PQ⊥BM，PS⊥RS，BR⊥RS，∴∠BRQ＝∠QSP＝∠BQP＝90°，∴∠BQR+∠PQS＝90°，∠BQR+∠QBR＝90°，∴∠PQS＝∠QBR，∴△BRQ∽△QSP，∴，∴PS＝3n，QS＝3，则RS＝3+n，∴xE＝TE＝TP﹣EP＝RS﹣EP＝3+n﹣5n＝3﹣4n，yE＝TO＝TR+RO＝PS+RO＝3n+4，∴E（3﹣4n，3n+4），代入抛物线解析式中有：3n+4＝，解得：或，当时，E（）；当时，E（）．10．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，①为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．【答案】（1）①；（2）b＝5或﹣3；（3）n的值为1或﹣﹣1或．【解答】解：（1）∵函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），函数y＝x2﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），函数y＝x2﹣x与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，0），∴函数y＝x2﹣1为函数y＝x﹣1的轴点函数，函数y＝x2﹣x不是函数y＝x﹣1的轴点函数，#本号资*料全部来源于：数学故答案为：①；（2）令y＝0，得x+c＝0，解得：x＝﹣c，∴A（﹣c，0），令x＝0，得y＝c，∴函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与y轴交于点（0，c），∵其轴点函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0，∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1，∴y＝ax2+（ac+1）x+c，设B（x′，0），则x′（﹣c）＝，∴x′＝﹣，∴B（﹣，0），∴OB＝||，OA＝c，∵OB＝OA，∴||＝c，∴ac＝±4，∴b＝5或﹣3；（3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），∵四边形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t，∴D（t，2t），E（﹣2t，2t），当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），如图，∴，∴n2﹣n＝0，且n≠0，∴n＝1；当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），如图，∴，消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，解得：n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1，∵函数y＝mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧，∴n与m同号，即n＜0，∴n＝﹣﹣1；当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），如图，∴，∴n＝，综上所述，n的值为1或﹣﹣1或．11．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B．（1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y≥时x的取值范围；（2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；本号资料全部来源于：数学第六#感（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），F（1，﹣1），且m＜n，求正整数m，n的值．【答案】（1）抛物线解析式为y＝，x的取值范围是：0≤x≤6；（2）C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；（3）m＝2，n＝7或m＝3，n＝4．【解答】解：（1）∵A，抛物线的对称轴为x＝3．∴c＝，，解得：b＝3，∴抛物线解析式为y＝，当y＝时，＝，解得：x1＝0，x2＝6，∴x的取值范围是：0≤x≤6；（2）连接AB，在对称轴上截取BD＝AB，由已知可得：OA＝，OB＝3，在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，∴∠PAB＝180°﹣∠OAB＝120°，∵△BCP是等边三角形，∴∠BCP＝60°，∴∠PAB+∠BCP＝180°，∴A、B、C、P四点共圆，∴∠BAC＝∠BPC＝60°，∵BD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴点D在AC上，BD＝AB＝，∴D（3，），设AD的解析式为y＝kx+b，则有：，解得：，∴AC的解析式为：y＝，由＝，得：x1＝0，x2＝，当x＝时，y＝，∴C（，），设P（0，y），则有：，解得：y＝，∴P（0，）；当C与A重合时，∵∠OAB＝60°，∴点P与点A关于x轴对称，符合题意，此时，P（0，），C（0，）；∴C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）；（3）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），∴设抛物线解析式为y＝，将点F（1，﹣1）代入y＝中，得，整理得：（m﹣1）（n﹣1）＝6，∵m＜n，且m，n为正整数，∴1＜m＜n，∴m﹣1，n﹣1为正整数，且m﹣1＜n﹣1，∴当m﹣1＝1，n﹣1＝6时，解得：m＝2，n＝7；当m﹣1＝2，n﹣1＝3时，解得：m＝3，n＝4．∴m＝2，n＝7或m＝3，n＝4．12．在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的顶点．（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P．①求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标；②t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值；③当k＝2时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S＝EF，求S的最大值．（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为Q．当直线l同时经过点Q和（1）中抛物线的顶点P时，设直线l与抛物线的另一个交点为B，与y轴的交点为A．若|QB﹣QA|≥1，直接写出k的取值范围．【答案】（1）①y＝x2+x，顶点P的坐标为（﹣，﹣）；②t的值为﹣3或1；③S的最大值为；（2）k≤﹣或k≥．【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，∴2m2﹣m＝0，解得：m＝0或，∵m≠0，∴m＝，①抛物线的解析式为y＝x2+x，∵y＝x2+x＝（x+）2﹣，∴顶点P的坐标为（﹣，﹣）；②当t+1＜﹣，即t＜﹣时，y随x增大而减小，由题意得：（t+1）2+t+1＝2，解得：t1＝﹣3，t2＝0（舍去），∴t的值为﹣3，当﹣≤t≤﹣时，则若t≤x≤t+1时，y的最小值为﹣，不符合题意，当t＞﹣时，y随x增大而增大，由题意得：t2+t＝2，解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝1，本#号资料全部来源于微*信公众号：数学∴t的值为1，综上所述，t的值为﹣3或1；③由题意得：当k＝2时，y＝2x+b经过点P（﹣，﹣），∴2×（﹣）+b＝﹣，∴b＝，∴y＝2x+，设点E（m，m2+m），且﹣＜m＜，∵EF∥x轴，∴F（m2+m﹣，m2+m），∴S＝EF＝m﹣（m2+m﹣）＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，﹣＜m＜，∴当m＝时，S取得最大值；（2）∵y＝x2+2mx+2m2﹣m＝（x+m）2+m2﹣m，∴Q（﹣m，m2﹣m），∵直线l：y＝kx+b经过点P、Q，∴，解得：，∴直线l的解析式为y＝（﹣m+）x﹣m，令x＝0，得y＝﹣m，∴A（0，﹣m），联立方程得：x2+2mx+2m2﹣m＝（﹣m+）x﹣m，解得：x1＝﹣m，x2＝﹣2m+，当x＝﹣2m+时，y＝（﹣m+）（﹣2m+）﹣m＝2m2﹣2m+，∴B（﹣2m+，2m2﹣2m+），当m＞时，点B在对称轴左侧的抛物线上，点A在y轴的负半轴上，作点A关于点Q的对称点A′，如图，则A′（﹣2m，2m2﹣m），QA＝QA′，∵|QB﹣QA|≥1，∴|QB﹣QA′|≥1，即|A′B|2≥1，∴[（﹣2m+）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m+）﹣（2m2﹣m）]2≥1，化简得：m2﹣m﹣≥0，令m2﹣m﹣＝0，解得：m1＝﹣+（舍去），m2＝+，∴m≥+，∵m＝﹣k+，∴﹣k+≥+，∴k≤﹣；当m＜时，点B在对称轴右侧的抛物线上，点Q在A、B之间，作点A关于点Q的对称点A′，如图，则A′（﹣2m，2m2﹣m），QA＝QA′，∵|QB﹣QA|≥1，∴|QB﹣QA′|≥1，即|A′B|2≥1，∴[（﹣2m+）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m+）﹣（2m2﹣m）]2≥1，化简得：m2﹣m﹣≥0，令m2﹣m﹣＝0，解得：m1＝﹣+，m2＝+（舍去），∴m≤﹣+，∵m＝﹣k+，∴﹣k+≤﹣+，∴k≥；综上所述，k的取值范围为k≤﹣或k≥．13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），对称轴过点B（2，0），直线l过点C（2，﹣2）且垂直于y轴．过点B的直线l1交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当BM：MQ＝3：5时，求点N的坐标；（3）如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线l1下方的抛物线上一动点，连结PQ、PO，其中PO交l1于点E，设△OQE的面积为S1，△PQE的面积为S2，求的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣x；（2）N（6，3）；（3）的最大值为1．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），对称轴过点B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，c＝0，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），代入y＝x2+bx，得4+4b＝0，解得：b＝﹣1，∴该抛物线解析式为y＝x2﹣x；（2）如图1，过点M作MG⊥直线l于点G，∵直线l过点C（2，﹣2）且垂直于y轴，∴∠QGM＝90°，∵B（2，0），C（2，﹣2），∴BC＝2，∠QCB＝90°，∴∠QGM＝∠QCB，∵∠MQG＝∠BQC，∴△QMG∽△QBC，∴＝，∵BM：MQ＝3：5，∴＝，∴＝，∴MG＝，∴点M的纵坐标为﹣，由x2﹣x＝﹣，解得：x1＝1，x2＝3（舍去），∴M（1，﹣），设直线l1的解析式为y＝kx+n，则，解得：，∴直线l1的解析式为y＝x﹣，联立，得，解得：（舍去），，∴N（6，3）；（3）当点Q恰好在y轴上时，Q（0，﹣2），设直线l1的解析式为y＝k′x+n′，则，解得：，∴直线l1的解析式为y＝x﹣2，设P（m，m2﹣m），过点P作PH∥y轴交直线l1于点H，如图2，则H（m，m﹣2），∴PH＝m﹣2﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m﹣2，本号资料全部来#源于：数学第*六感∵PH∥OQ，∴△PEH∽△OEQ，∴＝＝＝﹣m2+m﹣1，∴＝＝＝﹣m2+m﹣1＝﹣（m﹣4）2+1，∵﹣＜0，∴当m＝4时，取得最大值，最大值为1．14．如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）．（1）求抛物线y1所对应的函数解析式；（2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值；（3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）或．【解答】解：（1）由题意得：，解得．抛物线y1所对应的函数解析式为；（2）当x＝﹣1时，，∴D（﹣1，1），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AD的解析式为，如答图1，当M点在x轴上方时，*本号资料全部来源于：数学第#六感∵∠M1CB＝∠DAC，∴DA∥CM1，设直线CM1的解析式为，∵直线经过点C，∴，解得：，∴直线CM1的解析式为，∴，解得：，（舍去），∴，综合以上可得m的值为；（3）∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），∴，即．设，则，∴，①如答图2，当P在Q点上方时，PQ＝1﹣m，QR＝2﹣2m，∵△PQR与△ACD全等，∴当PQ＝DC且QR＝AC时，m＝0，∴，，当PQ＝AC且QR＝DC时，无解；②如答图3，当点P在Q点下方时，本号资料*全部*来源于：数学同理：PQ＝m﹣1，QR＝2m﹣2，m﹣1＝1，∴m＝2，则，．综合可得P点坐标为或．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交点C，连接AC，BC．抛物线的对称轴交x轴于点H，交BC于点F，顶点为M，连接OD交BC于点E．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）若D是直线BC上方抛物线上一动点，连接OD交BC于点E，当的值最大时，求点D的坐标；（3）已知点G是抛物线上的一点，连接CG，若∠GCB＝∠ABC，求点G的坐标．【答案】（1）y＝﹣（x﹣）2+，M的坐标为（，）；（2）D（2，3）；（3）G的坐标为（3，2）或（，﹣）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴顶点M的坐标为（，）；（2）过D点作DH∥y轴，交BC于点H，如图所示：*本号资料全部来源于：数学设D（m，），直线BC的解析式为y＝kx+n，由（1）可知：B（4，0），C（0，2），，解得：，直线BC的解析式为：y＝x+2，∴H（m，），∴DH＝）﹣（）＝，.DH∥y轴，∴△OCE∽△DHE，∴＝＝∵＜0，∴当m＝2时，的值最大，∴D（2，3）．（3）当点G在BC上方时，连接CG，∵∠GCB＝∠ABC，∴CG∥AB，又∵C（0，2），∴yG＝2，∴，解得：x＝0（舍去）或x＝3；本号资料全部来源于微信公#众号：数学当点G在BC下方时，CG交x轴于H，∵∠GCB＝∠ABC，∴CH＝BH，设H（u，0），在Rt△COH中，OH2+OC2＝CH2，∴u2+22＝（4﹣u）2，解得：u＝，∴H（，0）．设直线CG解析式为y＝kx+2，把点H代入得：y＝k+2，解得：k＝，所以直线CG解析式为y＝x+2．∴G点的坐标满足：，解得：（舍去）或，∴G'（，﹣），综上所述，若∠GCB＝∠ABC，点G的坐标为（3，2）或（，﹣）．四．三角形综合题（共1小题）16．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF．（1）求证：△ADF≌△BED；本号资料#全部来源于微信#公众号：数学（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC，∵AD＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS）；（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∴CH＝AC•sin60°＝2，S△ABC＝AB•CH＝4．∵AD的长为x，则AD＝BE＝CF＝x，AF＝4﹣x，本号资料全部来源#于微#信公众号：数学∴FG＝AF•sin60°＝（4﹣x），∴S△ADF＝AD•FG＝x（4﹣x），由（1）可知△ADF≌△BED，同理可证，△BED≌△CFE，∴S△ADF＝S△BDE＝S△CFE＝x（4﹣x），本号#资料全#部来源于：数学∵△DEF的面积为y，∴y＝S△ABC﹣3S△ADF＝4﹣x（4﹣x）＝x2﹣3x+4；（3）由（2）可知：y＝x2﹣3x+4，∵a＝＞0，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴当x≥2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，即当2≤x≤4时，△DEF的面积随AD的增大而增大，当0≤x≤2时，△DEF的面积随AD的增大而减小．五．菱形的性质（共1小题）17．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．【答案】（1）S＝（0＜x＜4），（2）当x＝2时，S有最大值，最大值为2．【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥OC于点G，连接AC，∵顶点A的坐标为（2，2），∴OA＝，OG＝2，AG＝2，∴cos∠AOG＝＝，∴∠AOG＝60°，∵四边形OABC是菱形，∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥OB，AO＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵DE⊥OB，∴DE∥AC，∴∠EDO＝∠ACO＝60°，∴△EOD是等边三角形，∴ED＝OD＝x，∵DF∥OB，∴△CDF∽△COB，∴，∵A（2，2），AO＝4，则B（6，2），∴OB＝，∴＝，∴DF＝（4﹣x），∴S＝＝，∴S＝（0＜x＜4），（2）∵S＝＝（0＜x＜4），∴当x＝2时，S有最大值，最大值为2．六．四边形综合题（共6小题）18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点O是对角线AC的中点，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D匀速运动，连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA﹣AB于点N，连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜4），四边形PQMN的面积为y（cm2）（1）BP的长为（4﹣x）cm，CM的长为xcm．（用含x的代数式表示）（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值．【答案】（1）（4﹣x），x；（2）；（3）s或s．【解答】解：（1）由题意得，AP＝xcm，BQ＝2xcm，本号资料全部来源于：数学第六*感∵AB＝4cm，∴BP＝AB﹣AP＝（4﹣x）cm，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠MCO＝∠PAO，∠CMO＝∠APO，∵点O是对角线AC的中点，∴CO＝AO，在△MCO和△PAO中，，∴△MCO≌△PAO（AAS），∴CM＝AP＝xcm，故答案为：（4﹣x），x；（2）当0＜x≤2时，点Q在边BC上，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠QCO＝∠NAO，∠CQO＝∠ANO，本号资料#全部来源于微信#公众号：数学∵点O是对角线AC的中点，∴CO＝AO，在△QCO和△NAO中，，∴△QCO≌△NAO（AAS），∴CQ＝AN．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝CD＝AD＝4cm，本号资料*全部来#源于：数学∵BQ＝2xcm，∴CQ＝BC﹣BQ＝（4﹣2x）cm，∴AN＝（4﹣2x）cm，∴DM＝CD﹣CM＝（4﹣x）cm，DN＝AD﹣AN＝2xcm，∴，，，，∴y＝S正方形ABCD﹣S△APN﹣S△CMQ﹣S△BPQ﹣S△DMN＝42﹣2（2x﹣x2）﹣2（4x﹣x2）＝16﹣4x+2x2﹣8x+2x2＝4x2﹣12x+16；当2＜x＜4时，点Q在边CD上，如图，同上△MCO≌△PAO，△QCO≌△NAO，∴MO＝PO，QO＝NO，∴四边形PQMN是平行四边形，∵AP＝xcm，AN＝CQ＝（2x﹣4）cm，∴PN＝AP﹣AN＝x﹣（2x﹣4）＝（﹣x+4）cm，∴y＝AD•PN＝4（﹣x+4）＝﹣4x+16；综上，；（3）①当0＜x≤2时，当四边形PQMN是矩形时，PB＝QB，∴4﹣x＝2x，解得；当四边形PQMN是菱形时，PQ＝MQ，∴（4﹣x）2+（2x）2＝x2+（4﹣2x）2，解得x＝0（舍去）；②当2＜x＜4时，当四边形PQMN是矩形时，PB＝CQ，∴4﹣x＝2x﹣4，解得；当四边形PQMN是菱形时，PN＝PQ，∴（﹣x+4）2＝42+[2x﹣4﹣（4﹣x）]2，∵Δ＜0，∴方程无解，舍去；综上，当四边形PQMN是轴对称图形时，x的值是s或s．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8cm，正方形DEFG的边长为3cm，边DE和边AB都在直线l上，点E和点A重合，正方形DEFG以2cm/s速度沿直线l向右运动，当点G在边AC上时，停止运动．设正方形DEFG的运动时间为ts，正方形DEFG与△ABC的重叠部分的面积为S（cm2）．（1）当t＝1s时，S＝2cm2；（2）当点G在边AC上时，t＝3s；（3）求S与t之间的函数解析式．【答案】（1）2；（2）3；（3）S＝2t2或S＝﹣2t2+12t﹣9或S＝﹣4t2+22t﹣．【解答】解：（1）如图，设FE交AC于点M，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，根据平移的性质得，FE⊥AB，∵t＝1s，正方形DEFG以2cm/s速度沿直线l向右运动，∴AE＝2cm，∵FE⊥AB，∠CAB＝45°，∴∠AME＝45°＝∠FAE，∴AE＝ME＝2cm，∴方形DEFG与△ABC的重叠部分的面积为S＝S△AEM＝AE•ME＝×2×2＝2（cm2），故答案为：2；（2）如图，点G在边AC上，根据平移的性质得，GD⊥AB，∵正方形DEFG的边长为3cm，∴GD＝DE＝3cm，∵∠CAB＝45°，∠ADG＝90°，∴∠AGD＝45°＝∠CAB，∴AD＝GD＝3cm，∴AE＝AD+DE＝6cm，∵正方形DEFG以2cm/s速度沿直线l向右运动，正方形DEFG的运动时间为ts，∴t＝＝3，故答案为：3；（3）①如图1，当0＜t≤时，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵四边形DEFG是正方形，∴∠AEM＝90°，∴∠AME＝45°＝∠MAE，∴AE＝HE，∴S＝AE•EM＝×2t×2t＝2t2；②如图2，当＜t≤时，∵∠AMD＝45°，∴∠GMN＝∠AMD＝45°，∵∠G＝90°，∴∠GNM＝45°＝∠GMN，∴MD＝AD＝2t﹣3，∴GM＝GN＝DG﹣MD＝3﹣（2t﹣3）＝6﹣2t，∴S＝S正方形DEFG﹣S△GMN＝32﹣×（6﹣2t）2＝﹣2t2+12t﹣9；③如图3，当＜t≤3时，∵∠KEB＝90°，∠B＝45°，∴∠EKB＝90°﹣45°＝45°＝∠B，∴EK＝EB＝8﹣2t，∴HKF＝∠EKB＝45°，∵∠F＝90°，∴∠FHK＝45°＝∠HKF，∴KF＝HF＝EF﹣EK＝3﹣（8﹣2t）＝2t﹣5，∴S＝S正方形DEFG﹣S△GMN﹣S△HFK＝﹣2t2+12t﹣9﹣×（2t﹣5）2＝﹣4t2+22t﹣，综上，S＝2t2或S＝﹣2t2+12t﹣9或S＝﹣4t2+22t﹣．20．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E为AD中点，动点Q以每秒个单位的速度，从点E出发，在射线ED上运动，同时动点P以每秒1个单位的速度，从点B出发，按B→C→D的方向运动至点D停止，当动点P停止运动时动点Q也停止运动．连接AP、AC、CQ，设点P的运动时间为t秒，△APC的面积为y1，△AQC的面积为y2．（1）求出y1，y2关于t的函数解析式并写出自变量t的取值范围；（2）在图2所示的平面直角坐标系中画出y1，y2的函数图象，并根据图象写出函数y1的一条性质；本号资料全部来源于微信公#众号：数学（3）当y1＝y2时，求t的值．【答案】（1）y1＝，y2＝t+4（0≤t≤8）；（2）画出y1，y2的函数图象如图2所示，当t＝0或t＝8时，y1的最大值为8；（或当0≤t＜4时，y1随t的增大而减小，当4＜t≤8时，y1随t的增大而增大）．（3）t的值为或8．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是边长为4的正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠ADC＝90°，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AB＝2，当点P与点C重合时，则t＝4；当点P与点D重合时，则t＝8，当点P在BC边上，即0≤t＜4时，如图1（1），∵AB⊥PC，PC＝4﹣t，∴y1＝S△APC＝×4（4﹣t）＝﹣2t+8；当点P在CD边上，即4＜t≤8时，如图1（2），∵AD⊥PC，PC＝t﹣4，∴y1＝S△APC＝×4（t﹣4）＝2t﹣8；∵CD⊥AQ，AQ＝AE+EQ＝t+2，∴y2＝S△AQC＝×4（t+2）＝t+4，∵当动点P停止运动时动点Q也停止运动，∴在点Q的运动过程中，t的取值范围是0≤t≤8，综上所述，y1＝，y2＝t+4（0≤t≤8）．（2）函数y1＝，当t＝0时，y＝8；当t＝8时，y＝8；若x＝4，则y＝0，画出函数y1的图象如图2所示；函数y2＝t+4，当t＝0时，y＝4；当t＝8时，y＝8，画出函数y2的图象如图2所示，由函数函数y1的图象可知，当t＝0或t＝8时，y1的最大值为8．（3）当0≤t＜4时，由y1＝y2得﹣2t+8＝t+4，解得t＝；当4＜t≤8时，由y1＝y2得2t﹣8＝t+4，解得t＝8，综上所述，t的值为或8．注：（1）的答案不唯一，如当0≤t＜4时，y1随t的增大而减小，当4＜t≤8时，y1随t的增大而增大．21．如图①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，联结BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．本号资料全部来源*于：#数学（1）求∠ADC的度数；（2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；（3）设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）∠ADC＝120°，（2）AP＝2或5；（3）y＝x2+x﹣3，定义域为1≤x≤6．【解答】解：（1）如图①，过点D作DH⊥BC于点H，则∠DHB＝∠DHC＝90°，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°，∴∠A＝∠ABC＝∠DHB＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AD＝BH＝6，DH＝AB＝，∠ADH＝90°，∴CH＝BC﹣BH＝7﹣6＝1，∴tan∠CDH＝＝＝，∴∠CDH＝30°，∴∠ADC＝∠ADH+∠CDH＝90°+30°＝120°；（2）设AP＝x，则PD＝6﹣x，在图①Rt△CDH中，CD＝＝＝2，如图②∵∠BPC＝∠D＝120°，AD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB，∴△DPC∽△PCB，∴＝＝，∴＝＝，∴PC＝，BP＝，在RtABP中，AB2+AP2＝BP2，∴（）2+x2＝（）2，整理得：x3﹣6x2+3x+10＝0，∴（x﹣2）（x﹣5）（x+1）＝0，∴x1＝2，x2＝5，x3＝﹣1（舍去），本号资料全部来源于微信公众*号：数学∴AP＝2或5；（3）如图③，在AD上取点G，连接AG，使∠ABG＝30°，则∠AGB＝60°，∴∠BGP＝120°，∴∠BGP＝∠BPF＝∠ADC＝120°，∵∠BPG+∠PBG＝∠BPG+∠DPF＝60°，∴∠PBG＝∠DPF，∴△BPG∽△PFD，∴＝，即＝，∴y＝x2+x﹣3，根据题意，0≤x≤6，y≥0，当x2+x﹣3＝0时，解得：x＝1或x＝6，∵＜0，∴当y≥0时，1≤x≤6，故y关于x的函数解析式为y＝x2+x﹣3，定义域为1≤x≤6．22．问题提出：（1）如图1，在正方形ABCD中，E为正方形CB边上一点，过AE的中点F作MNꓕAE交DC于M，交AB于N，则AE与MN的数量关系为AE＝MN．问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为CD边上的点，且CE＝2，连接BE，过BE的中点F作MNꓕBE交AD于M，交CB于N，求BN的长度．问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠ABC＝60°，AB＝AD＝8，E为CD边上一点，连接BE，过BE的中点F作MNꓕBE交CB于N，交AD于M，设CE的长为x，四边形AMNB的面积为y，求y关于x的函数解析式，并说明当AE为何值时，四边形AMNB的面积最小，最小值是多少？【答案】（1）AE＝MN；（2）；（3）y与x的函数关系式为：y＝，AE为2时，四边形AMNB面积最小为14．【解答】（1）解：AE＝MN，过点M作MG⊥AB于G，交AE于点H，∴∠MGN＝90°，∵MN⊥AE，∴∠MFH＝90°，∵∠HMF+∠MHF＝90°，∠HAG+∠AHG＝90°，∠AHG＝∠MHF，∴∠HAG＝∠HMF，在△MGN和△ABE中，，∴△MGN≌△ABE（ASA），∴AE＝MN，故答案为：AE＝MN；（2）解：连接EN，∵点F是线段BE的中点，MN⊥BE，∴MN是BE的垂直平分线，∴BN＝EN，设BN＝EN＝a，则CN＝8﹣a，在Rt△CEN中，由勾股定理得，EN2＝CN2+CE2，即a2＝（8﹣a）2+22，解得：a＝，∴BN＝；（3）解：连接AE，过点A作AR⊥BC于R，过点F作PQ⊥AD于P，交BC于点Q，∴PQ∥CD，∴四边形CDPQ是矩形，∵∠ABC＝60°，∴BR＝cos∠ABC•AB＝＝4，AR＝sin∠ABC•AB＝，∴BC＝BR+CR＝4+8＝12，∵PQ∥CD，且点F是BE的中点，∴点Q是BC的中点，∴BQ＝CQ＝PD＝6，∴FQ＝CE＝x，∵∠CBE＝∠QBF，∠BCE＝∠BQF，∴△BCE∽△BQF，∴∠BNF＝∠BEC，∵∠FQN＝∠BCE＝90°，∴△BCE∽△FQN，∴，即，∴QN＝，∵BN＝BQ+QN，∴BN＝6+，∵PF＝PQ﹣FQ，∴PF＝4﹣，∵AD∥BC，∴∠PMF＝∠BNF，∵∠FBN+∠BNF＝90°，∠FBN+∠BEC＝90°，∴∠BNF＝∠BEC，∴∠FMP＝∠BEC，∵∠MPF＝∠BCE＝90°，∴△FPM∽△BCE，∴，∴，∴PM＝，∵AP＝AD﹣PD，∴AP＝8﹣6＝2，∴AM＝AP﹣PM＝2﹣（）＝，∴y＝S四边形AMNB＝＝，当x＝2时，y有最小值为14，∵DE＝CD﹣CE，∴DE＝4﹣x＝4﹣2＝2，此时AE＝，∴y与x的函数关系式为：y＝，AE为2时，四边形AMNB面积最小为14．23．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE．（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；（2）设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y＝，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设EF＝m．∵BC＝14，BD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣6＝8，∵AD＝8，∴AD＝DC＝8，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝AD＝8，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FG＝GH＝EF＝m，∠EHG＝∠FGH＝90°，∴∠AHE＝∠FGC＝90°，∵∠DAC＝∠C＝45°，∴∠AEH＝∠EAH＝45°，∠GFC＝∠C＝45°，∴AH＝EH＝m，CG＝FG＝m，本号资料全部来源于微#信公众号：数学∴3m＝8，∴m＝，∴EF＝．（2）∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥AC，∴∠DEF＝∠DAC，∠DFE＝∠C，∵∠DAC＝∠C，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝x，DA＝DC＝8，∴AE＝CF＝8﹣x，∴EH＝AE＝（8﹣x），EF＝DE＝x，∴y＝＝＝，∴y＝（0＜x＜8）．（3）如图②中，由（2）可知点P在y＝上，设直线MN的解析式为y＝kx+b，把P（a，）代入得到，＝ka+b，∴b＝﹣ka，∴y＝kx+﹣ka，∴N（0，﹣ka），M（a﹣，0），∴ON＝﹣ka，OM＝a﹣∴△MON的面积＝•ON•OM＝×（6﹣a2k﹣）≥•（6+2•）＝6，∴△MON的面积的最小值＝6．解法二：过点P作PR⊥OM于M，PQ⊥ON于Q．设P（a，b），由△NQP∽△NOM，∴＝，设＝＝k，∴MO＝，NQ＝kON，ON＝，∴S△MON＝•OM•ON＝•＝•，∴k＝时，△OMN的面积的最小值为×＝6．七．圆的综合题（共5小题）24．如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）BD是⊙O的切线；理由略；（2）；（3）y＝x，0＜x≤1．【解答】解：（1）BD是⊙O的切线．证明：如图，在△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°．又点A，B，C在⊙O上，∴AB是⊙O的直径．∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∠DBC＝∠CAB，∴∠DBC+∠ABC＝90°．∴∠ABD＝90°．∴BD是⊙O的切线．（2）由题意得，S1＝BC•CD，S2＝BC•AC，S＝AD•BC．∵S1•S＝（S2）2，∴BC•CD•AD•BC＝（BC•AC）2．∴CD•AD＝AC2．∴CD（CD+AC）＝AC2．又∵∠D+∠DBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∠DBC＝∠A，∴∠D＝∠ABC．∴tan∠D＝＝tan∠ABC＝．∴CD＝．又CD（CD+AC）＝AC2，∴+BC2＝AC2．∴BC4+AC2•BC2＝AC4．∴1+（）2＝（）4．由题意，设（tan∠D）2＝m，∴（）2＝m．∴1+m＝m2．∴m＝．∵m＞0，∴m＝．∴（tan∠D）2＝．（3）设∠A＝α，∵∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝∠ABC+∠N＝90°，∴∠A＝∠DBC＝∠N＝α．如图，连接OM．∴在Rt△OFM中，OF＝＝．∴BF＝BO+OF＝1+，AF＝OA﹣OF＝1﹣．∴在Rt△AFE中，EF＝AF•tanα＝（1﹣）•tanα，AE＝＝．在Rt△ABC中，BC＝AB•sinα＝2sinα．（∵r＝1，∴AB＝2．）AC＝AB•cosα＝2cosα．在Rt△BFN中，BN＝＝，FN＝＝．∴y＝FE•FN•＝x2•＝x2•＝x2•＝x2•＝x．即y＝x．∵FM⊥AB，∴FM最大值为F与O重合时，即为1．∴0＜x≤1．综上，y＝x，0＜x≤1．25．在直角坐标系中，矩形OABD的边OA、OC在坐标轴上，B点坐标是（4，2），M、N分别是边OA、OC上的点．将△OMN沿着直线MN翻折，若点O的对应点是O′．（1）①若N与C重合，M是OA的中点，则O′的坐标是（2，2）；②MN∥AC，若翻折后O′在AC上，求MN的解析式．（2）已知M坐标是（3，0），若△MNO′的外接圆与线段BC有公共点，求N的纵坐标n的取值范围．【答案】（1）①（2，2）；②y＝﹣；（2）当≤n≤2时，△MNO′的外接圆与线段BC有公共点．【解答】解：（1）①如图1，∵OM＝ON＝2，∠AOC＝90°，∴∠OCM＝∠OMC＝45°，由折叠知：∠MNO′＝∠OCM＝45°，OCM＝45°，CO′＝CO＝2，∴∠OCO′＝90°，∴点O′在BC上，∴Q′（2，2），故答案为：（2，2）；②如图2，连接OO′，由轴对称的性质可得：OO′⊥MN，OD＝DO′＝，∵MN∥AC，∴OO′⊥AC，△OMN∽△OAC，∴＝，∴ON＝，OM＝，∴N（0，1），M（2，0），设MN的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣；（2）如图3，设MN的中点为I，⊙I切BC于D，连接DI，DI的延长线交OA于E，本号资料全部来源于：数学第六*感∴DI⊥BC，∴∠IDC＝90°，∵四边形ABCO是矩形，∴∠BCO＝∠COE＝90°，∴∠IDC＝∠BCO＝∠COA＝90°，∴四边形DCOE是矩形，⊙I过点O，∴DE＝OC＝2，OE＝EM＝OM＝，∵IM＝IN，∴ON＝2IE，设IE＝x，则DI＝IM＝DE﹣IE＝2﹣x，在Rt△IEM中，由勾股定理得，IE2+EM2＝IM2，∴x2+（）2＝（2﹣x）2，∴x＝，∴IE＝，∴ON＝2IE＝，当≤n≤2时，△MNO′的外接圆与线段BC有公共点．26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．点O是边AB上的一个动点，以O为圆心作半圆，与边AC相切于点D，交线段OB于点E，过点E作EG⊥DE，交射线AC于点G，交射线BC于点F．（1）求证：∠ADE＝∠AEG；（2）设OA＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）BM为半圆O的切线，M为切点，当BM∥DE时，求OA的长．本号资料全部来源于：数学*第六感【答案】（1）见解析；（2）y＝；（3）．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，DE，∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，即∠ADO＝90°，∵OE＝OD，∴∠1＝∠2，∵EG⊥DE，即∠DEG＝90°∴∠AEG＝∠1+90°＝∠2+90°＝∠ADE，即∠ADE＝∠AEG；（2）解：∵∠ODA＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴，∵AC＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，本号资料全部来#源于：数学第六#感∴根据勾股定理，得，∴，，∵∠ADE＝∠AEG，∠EAG＝∠DAG，本号资料全部来#源于微信公*众号：数学∴△ADE∽△AEG，∴∵∴，AG＝2AE，∵OA＝x，CF＝y，在Rt△GED中，，∵，∴，∵CG＞0，∴，解得：，∴，当时，点G在线段AC上，即，则，综上所述，y＝；（3）解：如图所示，连接OM，∵BM为半圆O的切线，M为切点，∴OM⊥BM由（1）可得∠ADE＝∠AEG；又∠ADE＝∠EGD+90°＝∠2+90°，∴∠1＝∠EGD，∵BM∥DE，∴∠1＝∠OBM，∴∠OBM＝∠EGD，由（2）可得，∴，∵，∴，在Rt△BOM中，，∵，解得：．27．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点D（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为10；②若直线n的函数表达式为y＝x+4，求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是6，直接写出直线l的函数解析式．【答案】（1）①D，10；②⊙O关于直线n的“特征数”是FE•FG＝2×3＝6；（2）直线l解析式为y＝﹣x+5或y＝﹣x+．【解答】解：（1）①由已知得：A（1，0），B（0，1），C（﹣1，0），D（0，﹣1），∵E的坐标为（0，4），∴DB＝2，DE＝5，根据定义可知：⊙O关于直线m的“远点”是点D，⊙O关于直线m的“特征数”为DB•DE＝2×5＝10，故答案为：D，10；②过O作直线n的垂线，垂足为G，交⊙O于E、F，设直线n交x轴、y轴于H、K，如图：在y＝x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣，本号资料全部来源于*微*信公众号：数学∴H（﹣，0），K（0，4），∴OH＝，OK＝4，∴HK＝＝，∵2S△HOK＝OH•OK＝HK•OG，∴OG＝＝＝2，∴GF＝OG+OF＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”是FE•FG＝2×3＝6；（2）过N作直线l的垂线，垂足为S，与⊙F的另一个交点为R，如图：设S（m，n），∵点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，本号资料全部来源于微#信公众号：数学∴S、R、F、N共线，∵⊙F关于直线l的“特征数”是6，∴NR•NS＝6，即2•NS＝6，∴NS＝3，∴（m+1）2+n2＝（3）2①，∵M（1，4），N（﹣1，0），∴MN2＝（1+1）2+（4﹣0）2＝20，在Rt△MSN中，SM2＝MN2﹣NS2＝20﹣（3）2＝2，∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝2②，由①②可解得或，∴S（2，3）或（﹣，），当S（2，3）时，设直线l的函数解析式为y＝kx+b，将S（2，3），M（1，4）代入得：，解得，∴直线l解析式为y＝﹣x+5，当S（﹣，）时，设直线l的函数解析式为y＝k'x+b'，将S（﹣，），M（1，4）代入得：，解得∴直线l解析式为y＝﹣x+，综上所述，直线l解析式为y＝﹣x+5或y＝﹣x+．28．射线AM∥射线BN，AB＝18，AB⊥BN，以O为圆心，AB为直径画⊙O，点E是⊙O右半圆上的动点，点D是射线AM上的一动点，线段DE的延长线交射线BN于点C．（1）当OD平分∠AOE时，求证：DC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式，写出自变量的取值范围；（3）当∠AOE＝120°，EC＝6时，求AD的长．【答案】（1）证明见解答；（2）y＝（x＞0）；（3）+．【解答】（1）证明：∵OD平分∠AOE，∴∠AOD＝∠EOD，∵点E在⊙O上，∴OA＝OE，∵OD＝OD，∴△AOD≌△EOD（SAS），∴∠OAD＝∠OED，∵AM∥BN．AB⊥BN，∴AB⊥AM，∴∠OAD＝90°，∴∠OED＝90°，∴OE⊥CD，∵AB是⊙O的直径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：连接OC，如图所示：由（1）知，∠OED＝90°，∴∠OEC＝90°，∵AB⊥BN，∴∠OBC＝90°＝∠OEC，∵OB＝OE，OC＝OC，∴△OBC≌△OEC（SAS），∴∠BOC＝∠EOC，由（1）知，△AOD≌△EOD，∴∠AOD＝∠EOD，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC，∵AB＝18，AD＝x，BC＝y，∴4xy＝182，∴y＝（x＞0）；（3）解：如备