高等量子力学-课件

第一章Hilbert空间§1.1矢量空间

1定义;2正交性和模;3基矢;4子空间

§1.2线性算符

1定义;2厄米、幺正、投影算符;3厄米算符完备组§1.3表象理论

1矢量和算符的矩阵表示;2表象变换;3连续本征值情况;4坐标表象;5动量表象§1.4矢量空间的直和与直积

1直和空间;2直积空间2§1.3表象理论§1.3.1矢量和算符的矩阵表示§1.3.2表象变换§1.3.3连续本征值情况§1.3.4坐标表象§1.3.5动量表象3§1.3.1矢量和算符的矩阵表示

(这里我们首先考虑离散本征值的情况)选定空间一厄米算符完备组K的共同本征矢量{i,i=1,2,…n}(n有限或无限)作为基矢,即

K

i=ki

i则这个表象就用算符完备组K命名,称为K表象.4矢量的表示

利用iii=1任意矢量

，可以按基矢展开

=iii=iii,i=i

式中,i为一复数，而ii称为矢量在基矢i上的投影.一个给定的矢量,由其全部分量{i}完全确定，因而这组分量就可看作是其在K表象中的表示进而，两个矢量的内积为

5算符的表示给定算符A

和关系式=A有jijAiiiAjii,

其中Aji=jAi,上式成为

jiAji

i.

可知算符A由一组数(Aji)表示.6把左矢、右矢和算符写成矩阵形式右矢左矢算符注:前面在Hilbert空间中所述的矢量、算符之间的各种加法、乘法和数乘运算等,现在都可以很方便的用矩阵乘法来代替.7另外,我们知道是一个算符;甚至这个关系也能写成矩阵形式：8§1.3.2表象变换正如在经典力学中可以选取不同的参照系，在量子力学中可以选取不同的参照基矢，即不同的表象.已知一个表象中矢量和算符的矩阵表示，如何求它们在另一表象中表示?9今有K表象{i},L表象{},两组基之间的关系是：

=iii=i

Uii,i=i=U-1i,

其中，Ui=i，U-1i=i.

而且UiU-1j=ij,i

UiUi=.10一、矢量的表象变换矢量:

K表象:i=i；L表象:=.由=iii，知=iU-1ii

或写成矩阵形式：反之i=Ui

上述即为矢量的表象变换.11二、算符的表象变换设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:Aij=iAj,A=A.于是，A=ijiiAjj即A=ijU-1i

AijUj.反之，Aij

=UiAU-1j.12§1.3.3连续本征值情况

当表象基矢是连续分布的,此时仿照离散情况可作适当的推广；设取K表象：Kk=kk,这里k

值连续分布于某区间.相应的完全性关系：13矢量的表示矢量(k)

为矢量在基矢k上的分量,它是k的连续的复函数.内积可以表示为:14算符的表示给定算符A，和关系式=A

有k

kAkdkk,

即(k)

A(k,k)(k)dk.

也即算符A在K表象中是变量k和k的双变量函数A(k,k).15形式上,可以把(k),A(k,k)理解为下标连续改变的矩阵:16§1.3.4坐标表象1基矢以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的表象称为坐标表象,或Schrodinger表象.选取全体Descartes直角坐标为厄米算符完备组,可以证明,其本征值有连续谱,于是正交归一化关系和完备性公式分别为:172态矢量|和坐标算符函数的表示其中,是在|q上的本征值.进而,183动量算符的表示利用原理3,即Heisenberg对易关系有我们知道(x)具有性质:19将与对比则知,若取如下形式可使上述等式恒成立.其中fr(q)是q的任意实函数.20对于任意的fr(q),总可以进行如下的幺正变换:(q)是任意实函数.于是上式成为:进而21因而,只要选择(q)使得就有即(通过适当选择基矢的相因子)譬如:22于是,对于任一依赖于坐标和动量的算符有小结在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作用,对应于以下算符对波函数的作用:234动量本征态24§1.3.5动量表象1基矢以体系的动量本征态为基矢的表象称为动量表象.选取全体动量为厄米算符完备组,可以证明,其本征值有连续谱,于是正交归一化关系和完备性公式分别为:252态矢量|和动量算符函数的表示其中,是在|p上的本征值.263坐标算符的表示类似的,利用Heisenberg对易关系,可以得到坐标算符及其函数的表示:274坐标本征态285两种表象之间波函数的变换29§1.4矢量空间的直和与直积30,矢量空间R1,矢量空间R2,,R=R1R2§1.4.1直和空间31(i)直和空间中的三种运算加法

()+()=(+)(+);

在直和空间中的零矢量是O=O(1)O(2).数乘

a()=(a)(a);内积

(

)()=+;32(ii)算符的直和直和空间中的算符A

L,作用为

(A

L)()=A

L加法

(A

L)+(B

M)=(A+B)(L+M)乘法

(A

L)(B

M)=AB

LM33(iii)直和空间的维数R1中基矢{i},i=1,2,…n1;

R2中基矢{m},m=1,2,…n2;

则直和空间的任意矢量=iiimmm故若取直和空间的基矢为:{iO(2),O(1)

m},i=1,2,…n1，m=1,2,…n2;

则任意矢量都可以写成上述n1+n2个基矢的叠加,故直和空间维数

n=n1+n2.34(iv)直和空间中的矩阵表示取n1=2，n2=3,

基矢分别为{i},i=1,2;{m},m=1,2,3;如前所述,和的矩阵为:其中,i

=i,m=m.于是:35算符A

L的矩阵形式为在R1和R2空间中,算符A和L的矩阵形式为在直和空间中:36§1.4.2直积空间,矢量空间R1,矢量空间R2,,R=R1R2注:直积符号常省去不写:=37(i)直积空间中的三种运算加法

+是一个新的矢量,

一般不能表为双矢量的形式.(加法的单位元是O=O(1)O(2))数乘

a=(a)=(a);内积

()()=;

直积的分配律(+)=+.38(ii)算符的直积算符A

L

定义为

(A

L)()=AL.算符运算有下列关系:(A+B)L=AL+BL;(AL)(BM)=ABLM.注:有时在直积空间中也说算符A或算符L,这时并不是指R1或R2中的算符,A是A

I(2)的简写,L是I(1)L的简写.若在直积空间中写A+L,其意谓A+L=A

I(2)+I(1)L39(iii)直积空间的维数R1,

R2中基矢:{i,i=1,2,…n1};{m,m=1,2,…n2}.=imim(im)=i,m()imEim若在直积空间中取基矢{im,i=1,2,…n1,m=1,2,…n2}则可以叠加出所有的矢量，这些矢量用下标i和m编号：

Eim=im=imEim共有个n1n2,即直积空间的维数:n=n1n2.40(iv)直积空间中的矩阵表示取n1=2,n2=3,则的矩阵形式为41

直积算符A

L的矩阵形式是

(A

L)ij,mn=im

(A

L)jn=AijLmn.42譬如43§1.2基本原理原理1:

描写微观系统状态的数学量是Hilbert空间中的矢量.相差一个复数因子的两个矢量，描写同一状态.Dirac:“量子力学…要求力学系统的态与力学变量,用一种相当奇怪的方式互相联系起来，这种方式从经典观点看来是不可理解的…”44原理2:(1)描写微观系统物理量的是Hilbert空间中的厄米算符；(2)物理量所能取的值，是相应算符的本征值；(3)物理量A在状态中取各值ai

的概率，与态矢量按A的归一化本征矢量{ai}的展开式中ai的系数的复平方成正比.即与下式中ci

的复平方成正比:=iciai,ci=ai,其中，Aai=aiai,aiaj=ij

.45波函数的统计诠释波函数态矢量|在某一方向|q的投影q|，称为态在该方向的波函数,记为:

(q)=q|.如:(r)=r|,(p)=p|.在量子态|上测得|q的概率W(q)正比于波函数的模的平方,W(q)|(q)|2.46期望值既然在一个状态中，物理量A取各值有确定的概率，那么就可求出A在这一状态中的平均值，以表示之.平均值有时也称为期望值.其中应用了47原理3:

微观系统中每个粒子的直角坐标下的位置算符qi(i=1,2,3)，与相应的正则动量算符pi有下列对易关系:(式中=h/2

为Planck常量)而不同粒子间的所有算符均相互对易.其实，同一粒子的不同自由度之间的算符也相互对易.48原理3实际上给出了通常所述的量子条件；存在非对易的物理量对应的算符是量子力学最重要的特征，在上述对易关系中首次出现了Planck常量.运用原理3的基本量子条件，以及[u,v]=-[v,u];[u,c]=0;(c是数)[u1+u2,v]=[u1,v]+[u2,v];[u,v1+v2]=[u,v1]+[u,v2];[u1u2,v]=[u1,v]u2+u1[u2,v];[u,v1v2]=[u,v1]v2+v1[u,v2];即可计算出基本算符函数之间的各对易关系式.49原理4:

微观系统的状态(t)随时间变化的规律是Schrodinger

方程式中H=H(q,p,t)是系统的哈密顿算符.上式称为含时Schrodinger

方程.50原理4规定了在给定外界环境的情况下，微观系统的运动规律.当哈密顿量不明显含有时间时，哈密顿算符即是系统的能量算符，这时Schrodinger

方程可以将时间因子分离出来.令:(t)=f(t),由Schrodinger

方程，得进而式中E

是分离变量常数.51若H具有离散的本征值Ei,用i表示相应的本征矢量,则

Hi=Ei

i,i=1,2,…(定态Schrodinger方程)这时，f(t)可解出为于是，Schrodinger

方程的一个特解为这样的状态称为定态.52含时Schrodinger

方程的解一般可以写成所有定态解的叠加:其中，ci

是叠加系数.53原理5:

描写全同粒子系统的态矢量,对于任意一对粒子的对调,是对称的(对调前后完全相同)或反对称的(对调前后差一个负号).服从前者的粒子称为玻色子,服从后者的粒子称为费米子.原理5指出,对于全同粒子系统,在其Schrodinger

方程的全部数学解中,只有满足对称性或反对称性的解,才能描写系统的状态.54§1.3态叠加原理状态叠加原理实际上已经由上述5条原理所涵盖,但鉴于叠加原理的重要性,本节再作一些说明.一、何为态的叠加?定义:

已知物理系统的两个态|和|,如果存在系统的这样一个态|,使得在它上面的测量,有一定的概率测得|的结果,有一定的概率测得|的结果,除此之外没有其它可能的结果,则称|为|和|的叠加,记为:|=|+|.55二、原理的表述若态|和|是系统的可能态，则它们的叠加态

|=c1|+c2|也是系统的可能态，而且，在不受外界干扰的情况下，它们的这种叠加关系保持不变.56三、推论推论1.一个态与自身叠加，仍是原来的态.c1|+c2|=(c1+c2)|换言之,复数c与量子态|的数乘仍为同一量子态.57推论2.若{ln(n=1,2,…)}是观测量L的所有可能测得值的集合,|ln是测得值为ln

的态,则系统的任一可测L的态|都可以写成:故而,系统所有可能态的集合,对于上面定义的数乘和加法运算,构成一个线性空间.在这个意义上,将量子态|称为态矢量是名符其实的.58四、实验综合的结果电子双缝实验在双缝后的干涉区域,既可测到来自缝1的态|1,又可测到来自缝2的态|2.而电子在此区域的态|是|1和|2的叠加:

|=|1+|2.Stern-Gerlach实验用自旋投影取某一方向的银原子束射入不均匀磁场,设射入前的自旋态为|S,其自旋与磁场方向成一角度.出射束一般分为自旋向上和自旋向下两束,所以自旋态是这两个态的叠加,可以写成:|S=|+|.59§1.4不确定关系在第1节中,已指出了单个物理观测量的算符,在数学上必须满足的条件是:线性、厄米性、在态矢量空间内作用以及本征态组有完备性.在这一节中,我们将要讨论两个观测量的算符之间应满足的条件.60定理对于任意两个物理观测量算符和,在任一态|上同时测量它们,所得结果的均方差满足如下不等式:其中,

61证明:对于任意一个归一化态矢量|,令考虑到:有利用关系式(Schwarz不等式)即可得到定理中的结果.

得证.62Heisenberg不确定关系根据原理3以及上述定理,即可得到所谓的Heisenberg不确定关系:其中,是观测量l的标准偏差.Heisenberg不确定关系表明:系统的正则坐标与其正则共轭动量不可能同时测准,在原则上存在一个测量精度的下限.

在一定的意义下,它可以说是整个量子力学的物理基础.63例:设某时刻t,系统处于态则:继而,可以计算得到:实际上,对于上述波函数,等号成立.因而这种Gauss型波包又称极小波包.64§2.5路径积分已知在位置表象中其中称为传播子(propagator)(R.P.Feynman,1948)根据这里对于小时间间隔如果H显含t,则取其在时间间隔的中点值.又知所以在动量表象中式中的积分为一标准Gaussian

积分故而进而，取N这里式中的求和可以看作积分的Riemann和其中积分沿着路径x=x()进行,被积函数正是经典力学中的LagrangianFunction.而沿着路径积分正是经典作用量故而在角动量的经典定义中代入算符和，则得到角动量算符(1)(2)§3.1轨道角动量及其表示73即(3)§3.1轨道角动量及其表示74首先考虑到各个积的因子都是对易的厄米算符，也是厄米的.这可用如下方法证明：为了考察厄米算符的积在什么条件下也是厄米的，我们将其写成(4)§3.1轨道角动量及其表示75由§3.1轨道角动量及其表示76因为所以总是厄米的；又只当它是零时部分才是厄米的。由于角动量算符各个因子相互对易，故知其为厄米的。§3.1轨道角动量及其表示77另外，直接计算可知角动量分量的对易关系或简略地记为或角动量的平方是它与角动量的所有分量都对易，即(5)(5a)(6)(7)§3.1轨道角动量及其表示78球坐标中的角动量算符由变换及下列式子故而，譬如79§3.1轨道角动量及其表示得到以及其中，表示Laplace算符仅对角变量作用部分。(8)(9)80考虑到相互对易，我们可以得到它们的共同本征矢这里关于的值尚未作出任何假设.首先，由

的算符表示，易知有进而将其代入的表示式中，则得的共同本征函数(10)(11)81从而，我们看到在(10)中和的耦合得到了分离.首先，由(11)容易得解的部分为：其次，方程(12)等价于缔合Legendre

方程，我们将用表示其解,所以所谓的Legendre

方程是指：(12)(13)§3.1轨道角动量及其表示82方程(14)的解为Legendre

多项式Pn(x).缔合Legrendre方程：方程(15)的解是缔合Legendre

多项式(14)(15)§3.1轨道角动量及其表示83实际上，在角动量共同本征方程含部分即(12)中,若令x=

cos我们即可将其化为相应的缔合Legrendre方程.如前所述，到目前为止，我们还未对的取值做任何假设；若单纯从和的微分方程(11)和(12)来考察，则对于参数和的任何取值，这两个方程都有解。§3.1轨道角动量及其表示84因此，对于本征值的限制就只能来自于边界条件了：若我们要求解对于旋转单值—就是说假设Y()=Y()—则m就必须是一个整数了；另外,注意到方程(12)存在两个奇点和，按照有关Legendre方程的标准理论，如果要求解在奇点非奇异(nonsingular)，则参数在这些假设下所生成的解就是众所周知的球谐函数(sphericalharmonics):§3.1轨道角动量及其表示85这里，即为缔合Legendre

多项式。球谐函数组成一正交基：(16)(17)§3.1轨道角动量及其表示86值得指出的是，单值性、非奇异性的假设在经典场论(比如电磁场)中可直接验证，因为场是可观察量；但在量子理论中，态函数

没有这样的直接物理意义，因此这样的经典边界条件不能像经典场论中般验证.单值性要求–A在旋转2时应不变；非奇异性要求–||2因该可积.§3.1轨道角动量及其表示87§3.2角动量及其表示下面的讨论将不仅限于轨道角动量：仿照轨道角动量的对易性质，一般地，假设：这些算符是厄米的：(18)88角动量算符的本征值谱仅从上述方程即可确定.下面我们就来详细的介绍这一确定过程：首先，引进如下几个算符(19)§3.2角动量及其表示89它们与算符J

之间存在如下对易关系(利用(18)式)与轨道角动量相似，设有(21a)(22)这里用表示J2和Jz的共同本征矢量.(20)(21b)(21c)§3.2角动量及其表示90下面确定无量纲量和m，即本征值谱.首先，由又同理知m2.因此，对于固定的值而言，m必定存在极大和极小值。(23)§3.2角动量及其表示91其次，利用(21a)、(21b)得因此，，也是的本征值分别为和的本征矢。然而，如前所述，对于固定的值，m存在极大和极小值，若我们用j,k

表示其极大、极小值，则必有(24a)(24b)(25a)(25b)§3.2角动量及其表示92以J-乘以(25a),故同理，以J+乘以(25b),可见k

=-j.和j,k之关系(26)(27)93因此存在一个相应于的本征矢量集合，其中各本征值间有整数间隔.继而，极大j、极小-j之差既然为整数，故而必定有

j=integer/2.§3.2角动量及其表示94对于确定的j,有2j+1个m值：(28)§3.2角动量及其表示95接下来，我们将采用一个更常用的符号j代替，其中，相应的，本征矢量也以j,m表示.下面具体计算§3.2角动量及其表示96由上知道故而利用得(29)(30)§3.2角动量及其表示97考虑到在基本本征方程中，相因子不定.方便的做法是选择C的相因子为正实数,并确定|j,m和|j,m+1的相对相因子.得到(31)§3.2角动量及其表示98同样的，可以得到现在可以用共同本征矢|j,m来构成J各分量的矩阵元；首先，很明显(32)(33)§3.2角动量及其表示99其次，易证对于jj,J分量的矩阵元必为0.因为故而(34)§3.2角动量及其表示100为了求得Jx,Jy的矩阵元，方便的方法是利用并直接利用(31),(32),譬如矩阵可直接得到为：§3.2角动量及其表示101(35)102由于所以J-对应的矩阵即为(35)之转置矩阵。进而，Jx,Jy的矩阵已容易得到了!§3.2角动量及其表示103第3章角动量§3.3作为旋转变换之生成元的角动量3.3.1

态和算符的变换生成元现代物理学相信自然在一定的时-空对称操作下不变；它们包括：平移、旋转和相对作均匀运动的参考系之间的变换.相应于每一这样的时-空变换，必定有态和算符的变换：AA和.105上述这些变换必须满足如下关系：(1)如果Anann，那么An=ann.(2)如果=ncnn，其中{n}是A的本征矢，则变换后的态矢=ncnn

，其中{n}是A的本征矢.两个态矢之间必须满足关系|cn|2=|cn|2；即|n||2=|n||2.3.3.1态和算符的变换生成元106数学上可以证明(Wigner

定理)，对应于上述操作的算符一定是幺正算符(连续对称变换)、或反幺正算符(离散对称变换).对于旋转、平移和相对于惯性系的对称变换而言，由于他们都是连续变换，故而均由幺正算符描述.3.3.1态和算符的变换生成元107用U表示描述上述对称操作的幺正算符，于是利用得3.3.1态和算符的变换生成元108现在考虑一族依赖于单个连续参量s的幺正算符U(s),并令U(0)=I

为单位算符以及U(s1+s2)=U(s1)U(s2).(36)考虑s非常小的情况，即无穷小幺正变换，此时有幺正条件要求等于I

(不依赖于s).因此3.3.1态和算符的变换生成元109其中，厄米算符K称作该族幺正算符的生成元，因为它确定了U(s).生成元K

不仅确定无穷小U(s),而且能够确定任意有限大小的U(s)，这可从对s2微分看出，利用(37)得(37)3.3.1态和算符的变换生成元110考虑到初始条件U(0)=I,积分上式(38)3.3.1态和算符的变换生成元1113.3.2

Galilei

群的生成元如上所述，时-空对称变换包括旋转、平移和相对于惯性系的对称变换.一般而言，后者由Lorentz

变换描述，但是如果只限于低速运动情形，则其可由Galilei

变换代替.所有这些变换的集合即称之为Galilei

群3.3.2Galilei

群的生成元112变换效果为：其中，R:一次旋转(33矩阵)，a:一次平移，v:运动坐标变换速度，s:时间平移。下面令表示一次这样的变换.另外，令，即若则(39)3.3.2Galilei

群的生成元113因此，相应于空-时变换，有幺正算符U()使得而由；表示相同的态，故而其中，为相因子。(40)3.3.2Galilei

群的生成元114当将态矢表示为空-时坐标的函数时，在函数空间和坐标空间之间存在一个重要的逆关系：(41)这里，被变换到一新的函数如图所示3.3.2Galilei

群的生成元115由记则根据定义最终3.3.2Galilei

群的生成元116如前所述，任一单参数幺正算符群都能表示为一个厄米生成元的指数形式.上述Galilei

群则包含有10个参数：3个旋转角、3个空间平移、3个速度分量和1个时间平移.因而相应的幺正算符可以表达为其中，s

表示定义相应变换的10个参数.(42)3.3.2Galilei

群的生成元117可以证明，分别相应于旋转、空间平移和时间平移的幺正算符如下：其中，J,P

和H即为角动量，动量和能量算符.3.3.2Galilei

群的生成元118§3.4角动量算符的明确形式如上所述，相应于绕一轴旋转角的幺正算符可以表示为其中，表示沿转轴的单位矢量。(43)1191、单分量态函数情况令为一在坐标表象中的单分量态函数，则经一旋转变换后为其中，R是(43)形式的算符，R-1是33的坐标旋转矩阵的逆矩阵。譬如对于直角坐标的三个轴：(44)120对于绕z轴旋转角，(44)式成为若是一无穷小角度，则可将上式展开并保留到一阶项：121将此式与(43)式的一阶展开比较得到此式当然与我们直接由L

=r

p

求得的结果相一致。1222、多分量态函数情况多分量态函数的旋转变换，在最一般的情况下可以表达为除了坐标变换R-1x，还有一矩阵D

作用于内禀自由度；即其形成态函数各分量的线性组合。(45)123因此，(43)式幺正算符的普遍形式为它的两个因子相互对易，因为第一个作用于坐标x,

而第二个作用于列矢量的分量.幺正矩阵D可以写作(46)(47)124其中，S=(Sx,Sy,Sz)为厄米矩阵.将(47)代入(46)并与(43)比较，我们看到角动量算符的形式为

J=L+S(48)这里L

=r

p

，[L,S]=0(=x,y,z).算符L

和S

分别称为角动量的轨道部分和自旋部分.125如同泡利原理，自旋也以完全没有经典物理类似的现象首先出现在量子力学中.鉴于有些实验现象无法用经典物理解释：1925年古德史密特(Goudsmit)和乌伦贝克(Uhlenbeck)作出假设：

每个电子有ћ/2的内在角动量(自旋),故有相当于一个波尔磁子的磁矩B|e|ћ/2mc.§3.5自旋126斯特恩-盖拉赫实验：一束处于基态的氢原子在非均匀磁场中分裂成两束：原子处于基态，即其电子处于1s态，故无轨道角动量，因而氢原子不应有磁矩；但是却观察到原子束分裂成二束，这种分裂源于力此分裂启发了电子有内在磁矩之假设；由于原子束分裂成强度相等的二束，意味着全部电子具有绝对值相等的磁矩，且有二种可能取向，即平行于或反平行于磁场。斯特恩-盖拉赫实验127原子光谱多重分裂原子光谱多重分裂实验进一步证明了电子自旋的存在.虽然2p能级是三重简并(m=0,1),能被外场消除，然而在没有外场时，也能观察到双分裂谱线。这种分裂可以假设电子存在自旋而得到解释.128实际上，在所有原子中，都能观察到由自旋引起的谱线分裂，称之为多重结构.按照经典物理，由轨道运动引起的磁矩为其中是电流密度，L是轨道角动量定义波尔磁子以后将会知道，轨道角动量的z分量按下式量子化129由上式知，对每个l，有2l+1种可能的磁矩取向[即(2l+1)个ml值].对于自旋，只有二种不同取向，因此类似的，自旋平行于场的分量只能是半个Planck

常数由于故而可见，电子自旋，内在角动量为130自旋的数学描述自旋是一种角动量，故其数学描述类似于轨道角动量的有关公式；实验结果表明存在自旋矢量S={Sx,Sy,Sz},它应该对应于角动量算符，而角动量算符的重要特征是它的对易关系，仿此，自旋算符应有

SiSj–SjSi=iћijkSk,(i,j=x,y,z)(1)131自旋只有两种取向，从而也只有二个本征值，所以自旋矩阵必定是22阶的，为了表示自旋算符，通常使用泡利矩阵i.定义对易关系成为(2)下面以z轴作为‘量子化方向’，数学上意味着自旋函数由矩阵z的本征函数给出:132矩阵z在自身表象中对角，矩阵x和y在自身表象中有类似的关系式，由于单位矩阵在不同表象中不变，故而下列算式在不同表象中都成立(3)133为了求得在z表象中的x和y,用y分别左乘和右乘(2)式中的第二式并将二者相加，得即对于其他分量，有类似的等式.(4)134即泡利矩阵反对称或写成利用(3)、(6),最终可求得在z表象中的这三个矩阵连同单位阵一起是四个互为线性独立的矩阵，这四个矩阵可以作为一组基用于描述其他仅有二种状态的物理量.(5)(6)(7)135总自旋是另外，易证(8)(9)136首先，既然已知J

和L

分别满足由J=L+S，故以前有关本征值问题的讨论因而同样适用于S：其中，而(49)(50)137Sx,Sy,Sz

为作用于由(50)的2s+1维本征矢的算符。下面讨论最常见的几种情况：(i),s=1/2这种情况我们以前曾经作过讨论，现在再回顾一下其中的主要结论：138首先其中称作Pauli矩阵，它们为139Pauli矩阵满足和或140相应于方向的自旋分量为其中直接计算可知上面的矩阵之本征值为+1和-1,141而相应的本征矢量(未归一化)为归一化后为在态矢中，只有分量间的相对幅度、相对相位才是有物理意义的，而模或共同的相位是无关紧要的.考察上面第１个本征矢，我们看到通过调节和，就可得到任意的相对幅度（相位），反之，任意２-分量矢量的相对幅度和相位也能唯一确定和，因此，对于s=½的系统，任一纯态矢都可以被认为是对应于某一方向的本征值为的自旋分量的本征矢。142自旋1/2空间中的态算符对于一个可由4个分量，即22矩阵描述的态算符,总可以表示为1，x，y和z的线性组合因子1/2的引入使得.参数a必须为实数以保证的厄米性质.下面考察这些参数的意义：(51)143由知通常称a为态的极化矢量(polarizationvector).144(ii),s=1利用上已述及的矩阵145可以求得s=1的自旋矩阵为而自旋方向的自旋分量矩阵为(52)146相应的本征值和本征矢为147注意：与s=½的情况不同，在s=1的情况下，并非任一矢量一定是对应于自旋在某一方向的分量的本征矢。这是因为现在须4个实参数才能确定相对幅度和相位，然而，上述本征矢仅包含和两参数.另外，一般而言，一个态算符(33矩阵)将依赖于8个参数(注意).极化矢量仅提供了3个参数，因而极化矢量不再能够唯一确定态.148(iii),s=3/2首先，对应于这种情况的自旋矩阵也容易仿照上一情况根据前面的表格得到(不再写出),即为一44矩阵.当然仍然满足149§3.6角动量耦合(相加)现在考虑2-分量系统，两个角动量J(1)和J(2)合成一总角动量J的情况：J=J(1)

+J(2)这里J(1)和J(2)既可是分属于两个粒子的角动量，也可是同一粒子的轨道和自旋角动量.当然，(53)式更严格的写法为J=J(1)

1+1J(2)(53)150首先，复合系统的基矢为它们是4个对易算符的本征值为的共同本征矢.(54)151而我们关心的是对应于总角动量算符J2和Jz的共同本征矢|J,M,对应本征值分别为:显然，-JM

J

.若分系统之间无耦合，则复合系统的态矢即为子系统态矢乘积组成的纯态，而如存在耦合，则复合系统的态矢将由(54)的线性组合构成.152容易证明J(1)·

J(1),J(2)·

J(2),J2

和Jz

相互对易，因此，他们拥有共同的完备本征矢集合,我们将这些本征矢表示为|j1,j2,J,M，且有下面我们将把注意力限制于j1和j2为常数的维数为(2j1+1)(2j2+1)的矢量空间，这是因为(54)形式的积矢量的集合{|j1,j2,m1,m2}和总角动量的本征矢集合{|J,M}都是J(1)·

J(1),J(2)·

J(2)的本征矢,因而，在这两个集合中j1和j2皆为常数.

(55)153在(55)中，称为Clebsch-Gordan

(CG)系数.在我们明确计算CG系数之前，先考虑量子数J,M与j1,j2,m1和m2之间的关系:(56)154首先由(为了方便暂时假定)其中和知(57)155从而当时，CG系数等于0.这意味着(55)中的双重求和化为一单重和角动量守恒由关系式M=m1+m2表达.(58)156另外还需计算由定义的量子数J的可能取值.根据M=m1+m2，M

的最大值是此值(58)中出现一次，即仅当时.这表明称之为Jmax

的本征值J必等于(59)(60)157次大的M值是，它出现两次，即由于M

按整数步长取的所有值，(61)两个态的两个可能的、线性无关的组合中的一个必须属于；至于另一个，由于不存在

J>Jmax=j1+j2

的态，故而它必定属于态(61)(62)(63)158易知,具有M=j1+j2-1

的相应于(63)形式的态只能有一个.继续这样的讨论，我们将看到对于J，所有对应于的值正好出现一次，称之为三角规则.(64)159上述三角规则告诉我们两个角动量j1,j2仅能组合形成这样一个合成的总角动量J,这与矢量加法一致(如图所示).160进而，可以计算耦合态的数目如预期的等于态的数目.(65)161Clebsch-Gordan

系数的计算如上(56)所述，的展开系数称为CG系数.由于各|j1,j2,J,M的相对相因子未确定，所以CG系数的相还未被定义;通常这样选择|j1,j2,J,M的相因子以使得CG系数为实数.(66)162另外，考虑到(66)是由一组正交基到另外一组正交基的变换，故而163虽然十分复杂，但对CG系数导出明晰的关系式仍然是可能的.下面我们先来看一个最简单的特殊情况：即

j1=½,j2=½.当J,M

取它们最大可能值J=M=1,此时(66)式中的求和仅包含1项，即上式左、右均为模为1的矢量，故而(67)164现将算符作用于(67)并考虑到有(68)165进而将算符J-

作用于(68)式，得因而对于这一特殊情况，我们有下表所示结果(69)166在表中前3列即为(67)、(68)和(69)的结果；第4列(单重态|0,0)是这样得到的，即要求|0,0与三重态均正交并满足前述相的约定(CG系数为实数).以上考虑的是特殊情况，下面我们研究普遍情况.167递推关系类似于上例，若将J-

作用于(66)式，可得(70)168将(70)与下式比较：得到(71)169对于上升算符有相似的结果如下：(71)、(72)为计算CG系数的递推关系式,它允许我们对相同的总角动量J

，导出具有相同的j1和j2,但不同的M

的CG系数；它有着许多实际的应用，其中之一是将其应用于的情况,如自旋-轨道耦合.(72)170在(71)中，若令m2=½则其右端的第二项将为0，从而以置换，得(73)171对于的情况，重复应用(73)直至M达到其最大值：172上式中最后一CG系数所以所有其他CG系数皆可得到了,如下表左上一项所示：173相似的，左下一项可由递推关系(72)由导出.但是更方便的是由的归一化，因此表中左一列两项的平方和必定等于1而得到.表中右一列中各项可经由要求矢量归一化并与正交而确定.174作业考虑一由两个自旋½的粒子组成的系统，试计算算符(1)(2)的本征值和本征矢.使用m1m2作为基矢量,这里m1,m2分别为z(1),z(2)的本征矢.175§3.6角动量耦合(相加)现在考虑2-分量系统，两个角动量J(1)和J(2)合成一总角动量J的情况：J=J(1)

+J(2)这里J(1)和J(2)既可是分属于两个粒子的角动量，也可是同一粒子的轨道和自旋角动量.当然，(53)式更严格的写法为J=J(1)

1+1J(2)(53)176首先，复合系统的基矢为它们是4个对易算符的本征值为的共同本征矢.(54)177而我们关心的是对应于总角动量算符J2和Jz的共同本征矢|J,M,对应本征值分别为:显然，-JM

J

.若分系统之间无耦合，则复合系统的态矢即为子系统态矢乘积组成的纯态，而如存在耦合，则复合系统的态矢将由(54)的线性组合构成.178容易证明J(1)·

J(1),J(2)·

J(2),J2

和Jz

相互对易，因此，他们拥有共同的完备本征矢集合,我们将这些本征矢表示为|j1,j2,J,M，且有下面我们将把注意力限制于j1和j2为常数的维数为(2j1+1)(2j2+1)的矢量空间，这是因为(54)形式的积矢量的集合{|j1,j2,m1,m2}和总角动量的本征矢集合{|J,M}都是J(1)·

J(1),J(2)·

J(2)的本征矢,因而，在这两个集合中j1和j2皆为常数.

(55)179在(55)中，称为Clebsch-Gordan

(CG)系数.在我们明确计算CG系数之前，先考虑量子数J,M与j1,j2,m1和m2之间的关系:(56)180首先由(为了方便暂时假定)其中和知(57)181从而当时，CG系数等于0.这意味着(55)中的双重求和化为一单重和角动量守恒由关系式M=m1+m2表达.(58)182另外还需计算由定义的量子数J的可能取值.根据M=m1+m2，M

的最大值是此值(58)中出现一次，即仅当时.这表明称之为Jmax

的本征值J必等于(59)(60)183次大的M值是，它出现两次，即由于M

按整数步长取的所有值，(61)两个态的两个可能的、线性无关的组合中的一个必须属于；至于另一个，由于不存在

J>Jmax=j1+j2

的态，故而它必定属于态(61)(62)(63)184易知,具有M=j1+j2-1

的相应于(63)形式的态只能有一个.继续这样的讨论，我们将看到对于J，所有对应于的值正好出现一次，称之为三角规则.(64)185上述三角规则告诉我们两个角动量j1,j2仅能组合形成这样一个合成的总角动量J,这与矢量加法一致(如图所示).186进而，可以计算耦合态的数目如预期的等于态的数目.(65)187Clebsch-Gordan

系数的计算如上(56)所述，的展开系数称为CG系数.由于各|j1,j2,J,M的相对相因子未确定，所以CG系数的相还未被定义;通常这样选择|j1,j2,J,M的相因子以使得CG系数为实数.(66)188另外，考虑到(66)是由一组正交基到另外一组正交基的变换，故而189虽然十分复杂，但对CG系数导出明晰的关系式仍然是可能的.下面我们先来看一个最简单的特殊情况：即

j1=½,j2=½.当J,M

取它们最大可能值J=M=1,此时(66)式中的求和仅包含1项，即上式左、右均为模为1的矢量，故而(67)190现将算符作用于(67)并考虑到有(68)191进而将算符J-

作用于(68)式，得因而对于这一特殊情况，我们有下表所示结果(69)192在表中前3列即为(67)、(68)和(69)的结果；第4列(单重态|0,0)是这样得到的，即要求|0,0与三重态均正交并满足前述相的约定(CG系数为实数).以上考虑的是特殊情况，下面我们研究普遍情况.193递推关系类似于上例，若将J-

作用于(66)式，可得(70)194将(70)与下式比较：得到(71)195对于上升算符有相似的结果如下：(71)、(72)为计算CG系数的递推关系式,它允许我们对相同的总角动量J

，导出具有相同的j1和j2,但不同的M

的CG系数；它有着许多实际的应用，其中之一是将其应用于的情况,如自旋-轨道耦合.(72)196在(71)中，若令m2=½则其右端的第二项将为0，从而以置换，得(73)197对于的情况，重复应用(73)直至M达到其最大值：198上式中最后一CG系数所以所有其他CG系数皆可得到了,如下表左上一项所示：199相似的，左下一项可由递推关系(72)由导出.但是更方便的是由的归一化，因此表中左一列两项的平方和必定等于1而得到.表中右一列中各项可经由要求矢量归一化并与正交而确定.200作业考虑一由两个自旋½的粒子组成的系统，试计算算符(1)(2)的本征值和本征矢.使用m1m2作为基矢量,这里m1,m2分别为z(1),z(2)的本征矢.201第4章对称性理论‘对称性’的含义是什么?第一、对称的(symmetric)即意味着是匀称和协调的;而对称性(symmetry)则表示结合成整体的各部分之间所具有的那种和谐性。优美(beauty)是与对称性紧密相关的,就此而言,对称性涉及的范围决不只限于空间中的物体。当用于声学和音乐，而不是几何对象时,它的同义词‘和谐’更能表达其意义。第二、一个物体，或说一个空间构形，在空间反射、平移及旋转等操作下的不变性(这是近代使用对称这词所指的意思)。203204§4.1经典物理中的对称性在经典物理中,对称性的分析往往能够简化解的过程.诺瑟定理:若Euler-Lagrange方程在坐标变换下不变,则存在一运动积分,即一守恒量.举例如下:205a)空间均匀性

在空间所有位置r,空间具有相同的结构.这意味着给定的物理问题的解在平移下不变.为了明确起见，定义:空间均匀当坐标ri

以ri+a

替代时L保持不变孤立系统的空间均匀性动量守恒206于是,对任意的a,下式成立其中,(1)(1)x,y,z方向的单位矢量.207(拉格朗日方程)Px=常数(Px:总动量x分量)208b)时间均匀性时间均匀性意味着在孤立体系中,相对于时间的平移,自然定律的不变性,即它们在时刻t+t0与时刻t具有相同的形式。上述含义在数学上由拉格朗日函数不显含时间表现出来,即(2)209(2)210(正则动量)H=常数(H:代表系统的总能量)211c)空间各向同性空间各向同性意味着沿所有方向,空间具有相同的结构.一个孤立体系当整体在空间中任意转动时,其力学性质保持不变,在数学上表现为拉格朗日函数L

在转动下的不变性.212考虑无穷小转动:注:其实,通过转动所有的矢量皆通过相同的方式改变,速度亦然.(3)213考虑到L

在转动下的不变性,即(4)正则动量:Lagrange方程:(5)(6)214将(3),(5)和(6)代入(4),得角动量:(角动量守恒)215§4.2量子力学中的对称性无论就对称性的种类和程度而言,量子力学中的对称性都高于经典力学:

一方面,经典力学中存在的对称性如:平移、旋转和相对作均匀运动的参考系之间的变换等在量子力学中也都对应存在;

另一方面,量子力学中存在一些经典力学中所没有的对称性,如:全同性原理.216在位形空间中的变换rr可表示为:就波函数而言,变换以后的波函数在r的值应等于变换之前的波函数在r

处之值,即或(7a)(7b)217在Hilbert空间,经过位形空间的变换T:

AA;数学上,对于上述Hilbert空间的变换,可以证明如下的Wigner

定理:注:上述讨论虽然仅对位置空间而言,但有关时间的变换也完全类似.218Wigner

定理对应于满足下述条件(1)和(2)之操作的算符一定是幺正算符、或反幺正算符:(1)如果Anann,那么An=ann.(2)如果=ncnn,则=ncnn,且|cn|2=|c