2023-2024学年四川省绵阳市三台县高二下学期期中教学质量调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2四川省绵阳市三台县2023-2024学年高二下学期期中教学质量调研测试数学试题一、单选题；本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数求导正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对A,,故A错误；对B,,故B正确；对C,,故C错误；对D,,故D错误.故选：B2.数列中，，，则（）A.230 B.210 C.190 D.170〖答案〗D〖解析〗由题知数列是公差为的等差数列，.故选:D.3.若上的可导函数在处满足，则（）A.6 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，故选：A.4.在数列中，若，，则（）A.2 B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗因为，，故，，，故为周期数列且周期为3，而，故，故选：C.5.定义数列的公共项组成的新数列为,则数列的第101项为（）A.2025 B.2021 C.2017 D.2013〖答案〗D〖解析〗由数列的通项公式为，可得数列的公差为，数列的公差为，所以它们的公共项组成的新数列的公差为，再两个数列的第1个公共项为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，则第101项为.故选：D.6.已知函数区间上单调递增，则实数的范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数的导函数为，并且在上单调递增，所以在上恒成立，即，则，即恒成立，，因在上最大值为，所以.故选：.7.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为，则该模型的体积最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的高为，则圆柱的高为，底面圆半径为，则该模型的体积，令，则，由得，当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减，当时，，故选：C8.已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为的定义域为，又，所以是偶函数，又，令，则恒成立，所以当时，，即，又在上单调递增，所以，所以在上恒成立，则在上单调递增，构造函数，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，所以，所以，所以.故选：B.二、多选题：共4小题，每题5分，共20分，每个题目有两个或两个以上选项符合，错选不得分，少选得2分9.已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.则下列函数中有“巧值点”的函数是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，，令，得或，有“巧值点”，故A正确；对于B，，令，无解，无“巧值点”．故B错误；对于C，，令，作出与的图象，如图，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”,故C正确对于D，,令，则，得，故D正确.故选：ACD．10.已知数列满足，，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于AB，因为数列满足，，所以当时，，此时，故A正确，B错误；对于CD，当时，，两式相减，得，整理得，又，，即当时，不满足上式，所以是从第二项起首项为的常数列，故当时，，则，综上，，故C错误，D正确.故选：AD．11.设定义在上的连续函数的导函数为，已知函数的图象（如图）与轴的交点分别为.则下列选项正确的是（）A.函数的单调递增区间是B.函数的单调递增区间是C.是函数的极小值点D.是函数的极小值点〖答案〗BD〖解析〗由函数和图象可知，当时，，则，所以函数单调递增；当时，，则，所以函数单调递减；当时，，则，所以函数单调递减；当时，，则，所以函数单调递增.所以是函数的极大值点，是函数的极小值点.所以A错误，B正确；C错误，D正确.故选：BD.12.如图，等边的边长为，取等边各边的中点，作第2个等边，然后再取等边各边的中点，作第3个等边，依此方法一直继续下去.设等边的面积为，后继各等边三角形的面积依次为，则下列选项正确的是（）A.B.是和的等比中项C.从等边开始，连续5个等边三角形的面积之和为D.如果这个作图过程一直继续下去，那么所有这些等边三角形的面积之和将趋近于〖答案〗ACD〖解析〗设三角形的边长为数列，由题意知，三角形的边长是以2为首项，为公比的等比数列，所以，根据三角形面积公式，，则数列是以为首项，为公比的等比数列，令，，选项A正确；，则，，两边取对数,，，，，选项B错误；根据等比数列求和公式，，选项C正确；，当趋向于无穷大时，趋向于0，面积和将趋近于，选项D正确；故选：ACD三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗直接填答题卷的横线上.13.数列的前项和，则该数列的通项公式为______.〖答案〗〖解析〗当时，；当时，.不满足.所以，.故〖答案〗为：.14.已知函数，若时，取得极值0，则___________.〖答案〗〖解析〗由，得，因为时，取得极值0，所以，，解得或，当时，，此时函数在在处取不到极值，经检验时，函数在处取得极值，所以，所以.故〖答案〗为：1815.设是等比数列，且，，则的值是___________.〖答案〗32〖解析〗由是等比数列，设公比为q，且，，则可得，故，所以，故〖答案〗为：32.16.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_________．〖答案〗〖解析〗，，令,函数有两个极值点,则在区间上有两个实数根.当时,,则函数在区间单调递增,因此在区间上不可能有两个实数根,应舍去.当时,令,解得.令,解得,此时函数单调递增;令,解得,此时函数单调递减.当时,函数取得极大值.当趋近于0与趋近于时,,要使在区间上有两个实数根,只需,解得.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{an}的首项，公差；（2）求数列{an}的前n项和.解：（1）由题意，又，∴，解得，∴（2），直接利用等差数列求和公式得，．18.已知函数的图象在点处的切线方程是.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.解：（1），，所以，解得，（2）由（1）得，当，令，解得或，故在和单调递增，在单调递减，又，，，由于，，所以19.已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求证：．解：（1）选①，当时，，即，当时，①②①②得：，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．所以．选②，当时，，即，当时，，即，当时，符合上式，所以．（2）因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以．20.某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．（1）设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和；（2）设从2024年起第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？解：（1）由题意得是等差数列，，所以，由题意得，所以，所以是首项为250，公比为的等比数列，所以，所以.（2）是数列的前项和，所以，是数列的前项和减去600，所以，，又当时，函数单调递增，所以函数单调递增，且时，时，所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在上存2个零点，求的取值范围.解：（1）函数的定义域为，且.当时，在上恒成立，故在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）若，在上无零点，不合题意；若，由，得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，又，所以要使直线与的图象有两个交点，则，所以，即实数的取值范围为.22.已知函数，（1）求的极值；（2）设，若对且，都有，求的取值范围.解：（1）易知函数定义域为，，当单调递增；当单调递减；故函数有极大值，无极小值；（2）由题知，当，都有，则，令,则在单调递增，故在恒成立，即恒成立，令当，，，，故在单调递减，单调递增，故的最小值为，故四川省绵阳市三台县2023-2024学年高二下学期期中教学质量调研测试数学试题一、单选题；本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数求导正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对A,,故A错误；对B,,故B正确；对C,,故C错误；对D,,故D错误.故选：B2.数列中，，，则（）A.230 B.210 C.190 D.170〖答案〗D〖解析〗由题知数列是公差为的等差数列，.故选:D.3.若上的可导函数在处满足，则（）A.6 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，故选：A.4.在数列中，若，，则（）A.2 B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗因为，，故，，，故为周期数列且周期为3，而，故，故选：C.5.定义数列的公共项组成的新数列为,则数列的第101项为（）A.2025 B.2021 C.2017 D.2013〖答案〗D〖解析〗由数列的通项公式为，可得数列的公差为，数列的公差为，所以它们的公共项组成的新数列的公差为，再两个数列的第1个公共项为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，则第101项为.故选：D.6.已知函数区间上单调递增，则实数的范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数的导函数为，并且在上单调递增，所以在上恒成立，即，则，即恒成立，，因在上最大值为，所以.故选：.7.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为，则该模型的体积最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆锥的高为，则圆柱的高为，底面圆半径为，则该模型的体积，令，则，由得，当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减，当时，，故选：C8.已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为的定义域为，又，所以是偶函数，又，令，则恒成立，所以当时，，即，又在上单调递增，所以，所以在上恒成立，则在上单调递增，构造函数，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，所以，所以，所以.故选：B.二、多选题：共4小题，每题5分，共20分，每个题目有两个或两个以上选项符合，错选不得分，少选得2分9.已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.则下列函数中有“巧值点”的函数是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，，令，得或，有“巧值点”，故A正确；对于B，，令，无解，无“巧值点”．故B错误；对于C，，令，作出与的图象，如图，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”,故C正确对于D，,令，则，得，故D正确.故选：ACD．10.已知数列满足，，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于AB，因为数列满足，，所以当时，，此时，故A正确，B错误；对于CD，当时，，两式相减，得，整理得，又，，即当时，不满足上式，所以是从第二项起首项为的常数列，故当时，，则，综上，，故C错误，D正确.故选：AD．11.设定义在上的连续函数的导函数为，已知函数的图象（如图）与轴的交点分别为.则下列选项正确的是（）A.函数的单调递增区间是B.函数的单调递增区间是C.是函数的极小值点D.是函数的极小值点〖答案〗BD〖解析〗由函数和图象可知，当时，，则，所以函数单调递增；当时，，则，所以函数单调递减；当时，，则，所以函数单调递减；当时，，则，所以函数单调递增.所以是函数的极大值点，是函数的极小值点.所以A错误，B正确；C错误，D正确.故选：BD.12.如图，等边的边长为，取等边各边的中点，作第2个等边，然后再取等边各边的中点，作第3个等边，依此方法一直继续下去.设等边的面积为，后继各等边三角形的面积依次为，则下列选项正确的是（）A.B.是和的等比中项C.从等边开始，连续5个等边三角形的面积之和为D.如果这个作图过程一直继续下去，那么所有这些等边三角形的面积之和将趋近于〖答案〗ACD〖解析〗设三角形的边长为数列，由题意知，三角形的边长是以2为首项，为公比的等比数列，所以，根据三角形面积公式，，则数列是以为首项，为公比的等比数列，令，，选项A正确；，则，，两边取对数,，，，，选项B错误；根据等比数列求和公式，，选项C正确；，当趋向于无穷大时，趋向于0，面积和将趋近于，选项D正确；故选：ACD三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗直接填答题卷的横线上.13.数列的前项和，则该数列的通项公式为______.〖答案〗〖解析〗当时，；当时，.不满足.所以，.故〖答案〗为：.14.已知函数，若时，取得极值0，则___________.〖答案〗〖解析〗由，得，因为时，取得极值0，所以，，解得或，当时，，此时函数在在处取不到极值，经检验时，函数在处取得极值，所以，所以.故〖答案〗为：1815.设是等比数列，且，，则的值是___________.〖答案〗32〖解析〗由是等比数列，设公比为q，且，，则可得，故，所以，故〖答案〗为：32.16.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是_________．〖答案〗〖解析〗，，令,函数有两个极值点,则在区间上有两个实数根.当时,,则函数在区间单调递增,因此在区间上不可能有两个实数根,应舍去.当时,令,解得.令,解得,此时函数单调递增;令,解得,此时函数单调递减.当时,函数取得极大值.当趋近于0与趋近于时,,要使在区间上有两个实数根,只需,解得.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，（1）求数列{an}的首项，公差；（2）求数列{an}的前n项和.解：（1）由题意，又，∴，解得，∴（2），直接利用等差数列求和公式得，．18.已知函数的图象在点处的切线方程是.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.解：（1），，所以，解得，（2）由（1）得，当，令，解得或，故在和单调递增，在单调递减，又，，，由于，，所以19.已知数列，______．在①数列的前项和为，；②数列的前项之积为这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求证：．解：（1）选①，当时，，即，当时，①②①②得：，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．所以．选②，当时，，即，当时，，即，当时，符合上式，所以．（2）因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以．20.某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，202