2023-2024学年上海市静安区高一下学期期末教学质量调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市静安区2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1~5题每题3分，6~10题每题4分.）1.已知向量，则______．〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗为：.2.若复数满足（为虚数单位），则______．〖答案〗〖解析〗，故，故.故〖答案〗为：.3.已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______．〖答案〗3〖解析〗由题意可知，故，所以.故〖答案〗为：3.4.已知角的终边经过点，则______．〖答案〗〖解析〗由题得，故由三角函数定义得，所以.故〖答案〗为：.5.已知向量，且，则实数______．〖答案〗2〖解析〗由题，又，故，.故〖答案〗为：.6.已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______．〖答案〗〖解析〗设，则，故，即，解得，故点的坐标为.故〖答案〗为：.7.在中，若，则___________〖答案〗〖解析〗由正弦定理，且，则，设，由余弦定理，可得.故〖答案〗为：.8.设是正实数，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图象，则的最大值______．〖答案〗〖解析〗如图：函数在第一象限的射线的倾斜角为，图象关于轴对称，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，当时，所得图象与垂直于的直线还是只有1个交点，所以仍然是函数的图象；当时，旋转所得的图象是一段为，一段是轴的正半轴（包括原点），不是函数图象；当时，如图所示，则图形不是函数的图象，又，故的最大值为.故〖答案〗为：.9.已知角的终边经过点，则______．〖答案〗〖解析〗角的终边经过点，可得，因为，，所以，可得.故〖答案〗为：.10.函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______．〖答案〗〖解析〗由图可得，又，故，，又，故，则有，，即，，又，则，即，由，则，即，故或，，即或，，又，故，则.故〖答案〗：.二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分.）11.已知，则角的终边所在的象限为第（）象限．A.一 B.二 C.三 D.四〖答案〗C〖解析〗由，则角的终边所在的象限为第三象限.

故选：C.12.已知函数，且，则（）A.11 B.14 C.17 D.20〖答案〗B〖解析〗因为，故，而，故.故选：B.13.若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数在内是严格减函数，所以，，故.故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分53分.）14.已知一元二次方程．（1）在复数范围内解该方程；（2）设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示）解：（1）因为，所以，所以方程有一对虚数根，设为、，又，解得，．（2）由（1）可得，，所以，所以与夹角的大小为．15.设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求．解：设公差为，则，又，所以，解得，所以，故．16.化简下列各式：（1）；（2）．解：（1）法一：．法2：.（2）.17.已知函数．（1）某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下：00100000请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间；（2）将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围．解：（1）根据“五点法”，完成列表：00100000所以表中所填的数据为：，由表格可知：，，，所以，由，，得，，所以函数单调递增区间．（2）根据列出得表格，可以做出函数得图象，如下：该问题转化为方程在区间有两个交点，又，，，所以的取值范围是．18.在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：1．通过路口的车辆长度都相等；2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；4．离路口信号灯最近第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．一名建模爱好者收集数据整理如下：1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；3．前后车启动延迟时间记为，取；4．第辆车启动延迟时间；5．该十字路口限速，换算为；6．第辆车到达最高限速的时间为取．设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：（1）求；（结果保留一位小数，单位：）（2）对于第辆车，写出函数的分段表达式；（3）求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．解：（1），.（2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题，通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理得：，其中，，或者写成.（3）由于十字路口亮绿灯的时长为，即，于是，该实际问题可表述为数学问题：求的最大，与计算的方法相同，计算，，第8辆车没有行驶到停车线时绿灯已经结束，没能通过十字路口．在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向至多有7辆汽车通过该十字路口.上海市静安区2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1~5题每题3分，6~10题每题4分.）1.已知向量，则______．〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗为：.2.若复数满足（为虚数单位），则______．〖答案〗〖解析〗，故，故.故〖答案〗为：.3.已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______．〖答案〗3〖解析〗由题意可知，故，所以.故〖答案〗为：3.4.已知角的终边经过点，则______．〖答案〗〖解析〗由题得，故由三角函数定义得，所以.故〖答案〗为：.5.已知向量，且，则实数______．〖答案〗2〖解析〗由题，又，故，.故〖答案〗为：.6.已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______．〖答案〗〖解析〗设，则，故，即，解得，故点的坐标为.故〖答案〗为：.7.在中，若，则___________〖答案〗〖解析〗由正弦定理，且，则，设，由余弦定理，可得.故〖答案〗为：.8.设是正实数，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图象，则的最大值______．〖答案〗〖解析〗如图：函数在第一象限的射线的倾斜角为，图象关于轴对称，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，当时，所得图象与垂直于的直线还是只有1个交点，所以仍然是函数的图象；当时，旋转所得的图象是一段为，一段是轴的正半轴（包括原点），不是函数图象；当时，如图所示，则图形不是函数的图象，又，故的最大值为.故〖答案〗为：.9.已知角的终边经过点，则______．〖答案〗〖解析〗角的终边经过点，可得，因为，，所以，可得.故〖答案〗为：.10.函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______．〖答案〗〖解析〗由图可得，又，故，，又，故，则有，，即，，又，则，即，由，则，即，故或，，即或，，又，故，则.故〖答案〗：.二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分.）11.已知，则角的终边所在的象限为第（）象限．A.一 B.二 C.三 D.四〖答案〗C〖解析〗由，则角的终边所在的象限为第三象限.

故选：C.12.已知函数，且，则（）A.11 B.14 C.17 D.20〖答案〗B〖解析〗因为，故，而，故.故选：B.13.若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函数在内是严格减函数，所以，，故.故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分53分.）14.已知一元二次方程．（1）在复数范围内解该方程；（2）设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示）解：（1）因为，所以，所以方程有一对虚数根，设为、，又，解得，．（2）由（1）可得，，所以，所以与夹角的大小为．15.设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求．解：设公差为，则，又，所以，解得，所以，故．16.化简下列各式：（1）；（2）．解：（1）法一：．法2：.（2）.17.已知函数．（1）某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下：00100000请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间；（2）将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围．解：（1）根据“五点法”，完成列表：00100000所以表中所填的数据为：，由表格可知：，，，所以，由，，得，，所以函数单调递增区间．（2）根据列出得表格，可以做出函数得图象，如下：该问题转化为方程在区间有两个交点，又，，，所以的取值范围是．18.在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：1．通过路口的车辆长度都相等；2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；4．离路口信号灯最近第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．一名建模爱好者收集数据整理如下：1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；3．前后车启动延迟时间记为，取；4．第辆车启动延迟时间；5．该十字路口限速，换算为；6．第辆车到达最高限速的时间为取．设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：（1）求；（结果保留一位小数，单位：）（2）对于第