11.1.6祖暅原理与几何体的体积课件高一数学人教B版

第十一章立体几何初步祖暅原理与几何体的体积人教B版

数学

必修第四册课程标准1.理解柱体、锥体和台体体积公式的推导,利用“祖暅原理”将空间问题转化为平面问题.2.掌握球的体积公式,会计算球的体积.3.熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的体积.4.掌握柱体、锥体、台体体积公式之间的关系,了解求几何体体积的几种技巧.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1祖暅原理1.祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,由祖暅原理可知,

.

2.说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等底等高的两个柱体的体积相同.(

)(2)等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的9倍.(

)(3)在三棱柱A1B1C1-ABC中,有

.

(

)√××2.运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别是什么?提示需要三个条件,分别是:①这两个几何体夹在两个平行平面之间.②平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面.③两个截面的面积总相等.知识点2柱、锥、台的体积柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中,棱柱、棱锥的底面积为S,圆柱、圆锥的底面圆半径为r,高为h,台体的上、下底面面积分别为S1,S2,高为h,上、下底面圆的半径分别为r'和r.名称体积(V)柱体棱柱

圆柱πr2h锥体棱锥

圆锥πr2h台体棱台

圆台πh(r2+rr'+r'2)Sh

名师点睛柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系设棱台上底面面积为S',下底面面积为S过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.(

)(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.(

)(3)圆台的高就是相应母线的长.(

)√××2.圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为(

)

A.36π

B.18πC.45π

D.12πD3.已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为

.

284.[人教A版教材习题]如图,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.知识点3球的体积一般地,如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球=

.

名师点睛求解与球有关切接问题时要认真分析题中已知条件,明确切点与接点位置,正确作出截面图,再分析相关量间的数量关系.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)球的体积V与球的表面积S的数值关系为

.(

)(2)两个球的体积之比等于其半径比的立方.(

)√√2.已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球的体积为

.

3.[北师大版教材习题]球表面积膨胀为原来的2倍,体积变为原来的几倍?36π重难探究·能力素养全提升探究点一柱体的体积【例1】

用一块长4m,宽2m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大?解①若以矩形的长为圆柱的母线l,则l=4

m,此时圆柱底面周长为2

m,②若以矩形的宽为圆柱的母线,则母线长为2,此时圆柱底面周长为4

m,圆所以第二种情况可使铁筒体积最大.变式训练1长方体中由一个顶点出发的三个侧面的面积分别为S1,S2,S3,则该长方体的体积为

.

解析

如图,从长方体中由顶点A出发的三个侧面为矩形ADD1A1、矩形ADCB、矩形AA1B1B,它们的面积分别为S1,S2,S3.设AD=a,AB=b,AA1=c,探究点二锥体的体积A解析

作圆锥的轴截面(如图所示).由题设,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB

.(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥,求剩余部分的体积.变式训练2(1)将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为(

)B(2)[2023天津西青高一校考期中]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是棱CC1的中点,则三棱锥C1-EBD的体积为

.

探究点三台体的体积【例3】

[北师大版教材习题]有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L.已知它的两底面边长分别等于60cm和40cm,求它的深度.变式训练3已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.解如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r,R,l,高为h.作A1D⊥AB于点D,则A1D=3.探究点四球的体积【例4】

[北师大版教材习题]已知一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm.求这个球的体积.变式探究在本例中,将“正方体”改为“正四面体”,其他条件不变,求这个球的体积.规律方法

与棱长为a的正方体相关的球有三个:外接球、内切球和与各条棱都相切的球,其半径分别为

.变式训练4如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的(

)A.1倍

B.2倍

C.3倍

D.4倍C成果验收·课堂达标检测1234567891011121314151617181920A级必备知识基础练1.[探究点四·2023浙江杭州高一校联考期中]直径为6cm的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为2cm的小球,如果不计损耗,可铸成这样的小球的个数为(

)A.3 B.6

C.9

D.27D12345678910111213141516171819202.[探究点二·2023河南开封一模]已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为(

)B12345678910111213141516171819203.[探究点一]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(

)B解析

绘制圆柱的轴截面如图所示,1234567891011121314151617181920D12345678910111213141516171819205.[探究点三]圆台的上、下底面半径分别为2,4,母线长为3,则圆台的体积为(

)A12345678910111213141516171819206.[探究点四]若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为(

)A.1 B.2

C.3 D.4A12345678910111213141516171819207.[探究点三·2023浙江平湖当湖高级中学校联考]龙洗的盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm,盆口直径36cm,盆底直径18cm.现往盆内倒入水,当水深5cm时,盆内水的体积近似为(

)B12345678910111213141516171819208.[探究点一]若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形,则这个圆柱的表面积为

,体积为

.

2π+4π22π2解析

由题知,圆柱体的底面周长、高均为2π.设底面半径为r,则2πr=2π,解得r=1.所以圆柱体表面积S=2π×12+4π2=2π+4π2,体积V=π×12×2π=2π2.12345678910111213141516171819209.[探究点二]如图,长方体ABCD

-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是

.

10123456789101112131415161718192010.[探究点四·2023浙江高一期中]山楂冰糖葫芦是将可近似为球的山楂外围裹上冰糖浆凝固制成的.假设山楂大小均匀,直径均约为3cm,外层冰糖层均匀裹在山楂上,厚度在0.5cm左右,若有1L的冰糖浆,则大约可制作

颗冰糖葫芦(π取3,最后结果精确到整数).

541234567891011121314151617181920B级关键能力提升练11.已知某圆锥的母线长为2,其轴截面为直角三角形,则圆锥的体积为(

)A123456789101112131415161718192012.[2023浙江高一校联考期中]如图扇形ABC,圆心角A=90°,D为半径AB的中点,线段CB,CD把扇形分成三部分,这三部分绕AC旋转一周,所得三部分旋转体的体积V1,V2,V3之比是(

)A.1∶2∶2 B.1∶2∶3C.1∶3∶3 D.1∶3∶4D123456789101112131415161718192013.已知半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为(

)B解析

作出过正方体的对角面的截面,如图所示,123456789101112131415161718192014.有64个直径都为

的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则(

)A.V甲>V乙且S甲>S乙

B.V甲<V乙且S甲<S乙C.V甲=V乙且S甲>S乙

D.V甲=V乙且S甲=S乙C

123456789101112131415161718192015.(多选题)[探究点二·2023福建厦门一中校考期中]已知圆台的上底半径为1,下底半径为3,球O与圆台的两个底面和侧面都相切,则(

)A.圆台的母线长为4B.圆台的高为4C.圆台的表面积为26πD.球O的表面积为12πACD123456789101112131415161718192016.[2023广东东莞期中]图1是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其直观图如图2所示,其中B,C分别是上、下底面圆的圆心,且AC=3AB=6,底面圆的半径为2,则该陀螺的体积是(

)图1图2D123456789101112131415161718192017.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28cm,则这个几何体的总高度为

cm.

29解析

设半径为1

cm和半径为3

cm的两个圆柱的高分别为h1

cm和h2

cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.123456789101112131415161718192018.[2023安徽宿松中学校联考期中]依次连接棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1六个面的中心,得到的多面体的体积是

.

解析

依次连接正方体ABCD-A1B1C1D1六个面的中心,得到的多面体是正八面体,如图.该正八面体为两个全等的正四棱锥的组合体,正四棱锥的高为1,底面正方形的边长为12345678910