2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省阳泉市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，且，则（）A.1 B. C. D.0〖答案〗D〖解析〗由题意知，所以.故选：D.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由题意，所以，所以z在复平面内对应点为，它在第三象限.故选：C.3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）A.与互为对立事件 B.C.与相等 D.与互斥〖答案〗B〖解析〗AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；B选项，，故B正确；C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误．故选：B．4.如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.5.已知两条不同直线m，n与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则〖答案〗A〖解析〗A：若，，则，故A正确；B：若，则与可能平行或相交，故B错误；C：若，，则或，故C错误；D：若，，，则与可能相交、平行或异面，故D错误.故选：A.6.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（）A.80 B. C.160 D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，，所以，又因为，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．7.给出下列说法，其中正确的是（）A.数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6B.已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20C.已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一D.已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对；对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错；对于C，由方差，可得，即此组数据众数唯一，C对；对于D，，，D对.故选：ACD.8.如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（）A.线段B.该圆台的表面积为C.该圆台的体积为D.沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5〖答案〗ABD〖解析〗显然四边形是等腰梯形，，其高即为圆台的高，对于A，在等腰梯形中，，A正确；对于B，圆台的表面积，B正确；对于C，圆台的体积，C错误；对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点，而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又，在△中，，斜边上的高为，即与弧相离，所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是________．〖答案〗〖解析〗因为，所以这组样本数据的第60百分位数是.故〖答案〗为：.10.若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故〖答案〗为：.11.如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为___________.〖答案〗〖解析〗，且，故，∴.故〖答案〗为：.12.在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．〖答案〗〖解析〗由已知做出正三棱柱，则，设点分别为正，正的中心，连接，则，连接并延长交于于点，则，，设点为中点，连接CO，则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，，因为点为正的中心，所以，所以，则，因为平面，所以，则正三棱柱外接球半径，所以该球的表面积为：.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．13.如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的平面角的正切值．解：（1）由题意知，，所以且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，又平面，所以平面，由平面，得，所以为二面角的平面角，又平面，平面，得，在中，，所以，即二面角的平面角的正切值为.14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求B；（2）若，且，求的面积的最大值．解：（1），由正弦定理得，即，，，又，所以，即，又，所以.（2），得，即，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的面积的最大值为.15.第33届奥林匹克运动会将于2024年7月26日至2024年8月11日在法国巴黎举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．解：（1）设这人的平均年龄为，则（岁）.（2）①：由频率分布直方图可知各组的频率之比为，第四组应抽取人，记A，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，对应的样本空间为，，,甲），,乙），，，,甲），乙），，,甲）,乙），，（甲,乙），（甲,，（乙,，共15个样本点，设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则,甲），,乙），,甲），,乙），,甲），,乙），（甲,乙），（甲,，（乙,，共有9个样本点，所以.②：设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为；则，，因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10.山西省阳泉市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，且，则（）A.1 B. C. D.0〖答案〗D〖解析〗由题意知，所以.故选：D.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由题意，所以，所以z在复平面内对应点为，它在第三象限.故选：C.3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）A.与互为对立事件 B.C.与相等 D.与互斥〖答案〗B〖解析〗AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；B选项，，故B正确；C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误．故选：B．4.如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.5.已知两条不同直线m，n与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则〖答案〗A〖解析〗A：若，，则，故A正确；B：若，则与可能平行或相交，故B错误；C：若，，则或，故C错误；D：若，，，则与可能相交、平行或异面，故D错误.故选：A.6.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（）A.80 B. C.160 D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，，所以，又因为，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．7.给出下列说法，其中正确的是（）A.数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6B.已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20C.已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一D.已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对；对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错；对于C，由方差，可得，即此组数据众数唯一，C对；对于D，，，D对.故选：ACD.8.如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（）A.线段B.该圆台的表面积为C.该圆台的体积为D.沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5〖答案〗ABD〖解析〗显然四边形是等腰梯形，，其高即为圆台的高，对于A，在等腰梯形中，，A正确；对于B，圆台的表面积，B正确；对于C，圆台的体积，C错误；对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点，而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又，在△中，，斜边上的高为，即与弧相离，所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是________．〖答案〗〖解析〗因为，所以这组样本数据的第60百分位数是.故〖答案〗为：.10.若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故〖答案〗为：.11.如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为___________.〖答案〗〖解析〗，且，故，∴.故〖答案〗为：.12.在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．〖答案〗〖解析〗由已知做出正三棱柱，则，设点分别为正，正的中心，连接，则，连接并延长交于于点，则，，设点为中点，连接CO，则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，，因为点为正的中心，所以，所以，则，因为平面，所以，则正三棱柱外接球半径，所以该球的表面积为：.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．13.如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的平面角的正切值．解：（1）由题意知，，所以且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.（2）由平面，平面，得，又平面，所以平面，由平面，得，所以为二面角的平面角，又平面，平面，得，在中，，所以，即二面角的平面角的正切值为.14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求B；（2）若，且，求的面积的最大值．解：（1），由正弦定理得，即，，，又，所以，即，又，所以.（2），得，即，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的面积的最大值为.15.第33届奥林匹克运动会将于2024年7月26日至2024年8月11日在法国巴黎举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．解：（1）设这人的平均年龄为，则（岁）.（2）①