2.2.4均值不等式及其应用课件高一上学期数学人教B版

2.2.4均值不等式及其应用高银枝性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b

a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c

b＋c可逆4可乘性

⇒ac

bcc的符号

⇒ac

bc<>><复习回顾5同向可加性

⇒a＋c

b＋d同向6同向同正可乘性

⇒ac

bd同向7可乘方性a>b>0⇒an

bn(n∈N，n≥2)同正8可开方性a>b>0⇒

(n∈N，n≥2)同正9可倒性a>b⇒同号>>>>左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。思考：正方形的面积和四个直角三角形的面积之间有怎样的关系？

证明：

基本不等式1.如果a>0，b>0，

，当且仅当

时，等号成立.其中

叫做正数a，b的算术平均数，

叫做正数a，b的几何平均数.2.变形：ab≤

，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立.a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立.≤a＝b思考：能否利用下图给出基本不等式的几何解释？

01020304思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.(

)√××√在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件是否具备.例1根据上题，是否能得出对勾函数的最值及何时取最值？练1下列等式中最小值为4的是（）√下列不等式中，正确的是（）√例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短是多少？（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大是多少？能否将上题的结论进行文字表述？当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。积定和最小；和定积最大。练2基本不等式类型题基本不等式1.如果a>0，b>0，

，当且仅当

时，等号成立.其中

叫做正数a，b的算术平均数，

叫做正数a，b的几何平均数.2.变形：ab≤

，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立.a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立.≤a＝b1.一正二定三相等一正二定三相等2.积定和最小；和定积最大。∵x>－1，∴x＋1>0，即x＝2时，等号成立.解析

积定和最小和定积最大3.补“1”法≥6＋10＝16，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.

跟踪训练2x>0，y>0且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值是_______.18

4.利用基本不等式证明

证明：因为a,b都是正数，

当且仅当“4a=b”时等号成立；当且仅当“ab=4”时等号成立；

当且仅当“

即

”时等号成立.

多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立

因为a,b,c都是正数，证明：

因为a,b,c都是正数且a+b+c=1，

累加法是不等式证明中的一种常用方法5.由等式转不等式x>0，y>0且

，求xy的最大值。求x+y的最大值。

6.恒成立和有解问题

7.实际问题反思感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.反思感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知