2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）1.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.已知i为虚数单位，复数，则它的共轭复数为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.3.如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在直观图中为等腰直角三角形，所以，所以，又是的中点，所以，所以在平面图形中，，所以.故选：A.4.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，则，所以，所以.故选：C5.已知的外接圆半径为1，，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理可得，所以，则.故选：D.6.已知向量、满足，，，设与的夹角为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，所以，，所以.故选：C.7.函数在一个周期内的图像是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的最小正周期，∵选项D的最小正周期，D错误；令，解得，故的单调递增区间为，取，则的单调递增区间为，故A正确，B、C错误.故选：A.8.龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．如图，现有一龙洗盆高15cm，盆口直径为40cm，盆底直径为20cm．往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长与交于点，根据题意，得，设，有，即，解得，所以盆内水的体积为.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知为虚数单位，下列说法正确的是（）A.B.C.若，则的虚部为4D.已知复数满足，则复数在复平面内对应点的集合是以为圆心、以为半径的圆〖答案〗AD〖解析〗对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，所以的虚部为，故C错误；对于D：令，，因为，所以，则，所以复数在复平面内对应点的集合是以为圆心、以为半径的圆，故D正确.故选：AD.10.已知为点，为直线，为平面，则下列命题成立的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，且，，则D.若，，，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，若，则直线可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，因为，所以，又因为，所以内存在一条直线，所以，由，从而得到，故B正确；对于C，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内，因为，，且，则，故C正确；对于D，由，如下图示，此时，故D错误.故选：BC.11.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，，符合条件的只有一个，则〖答案〗ABC〖解析〗对于A：在三角形中，由可得，根据正弦定理可得，故A正确；对于B：因为，由正弦定理可得，所以，由在三角形中，所以，又，所以，故B正确；对于C：由、分别为向量、方向上的单位向量，根据平行四边形法则向量平分角，又，所以，所以，故C正确；对于D：若，即，此时符合条件的有两个，故D错误．故选：ABC．12.如图，正方体的棱长为1，是正方形的中心，是的中点，则以下结论正确的是（）A.平面 B.平面平面C.三棱锥的体积为 D.异面直线与所成的角为〖答案〗ABC〖解析〗对于，设与交于点，连接，如图，则平面，又平面，所以，又平面，所以平面，故A正确；对于，连接，因为分别是的中点，则，又平面，平面，故平面，易得，又平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面，故B正确；对于C，因为是的中点，所以到底面的距离为，则，故C正确；对于D，因为，所以异面直线与所成角为或其补角，连接，则，在中，所以异面直线与所成的角不等于，故错误.故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若，则______．〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴.故〖答案〗为：．14.已知复数，（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为，，则______．〖答案〗〖解析〗因为复数在复平面上对应的点分别为，所以，则，所以.故〖答案〗为：.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，所以，又因为，所以，由正弦定理得：，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得.故〖答案〗为：.16.已知四棱锥的底面四边形是边长为的正方形，且平面，，点M为线段上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的体积最小时，的长为_________．〖答案〗2〖解析〗因为平面，平面，所以，连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的体积最小时，四棱锥外接球的半径最小，设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点，当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，连接OC，在中，，当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的体积最小时，O与重合，，设CM的中点为N，连接，易知，则，所以，解得，所以.故〖答案〗为：2.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数，．（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）当时，求．解：（1）因为复数为纯虚数，所以，解得.（2）当时，所以.18.如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.（1）用向量的方法证明；（2）若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.解：（1）如图，建立平面直角坐标系：（方法一）由题意可知，设，则，，，，得，，所以，故，即.（方法二）由题意可知，，，设，则，得，得，，所以，故，即.（2）由题意得，则，设，则，，由（1）得，，所以，由，得，当，即时，，故的最大值为.19.如图，在正六棱锥中，为底面中心，，．（1）若，分别是棱，的中点，证明：平面；（2）若该正六棱锥的顶点都在球的表面上，求球的表面积和体积．解：（1）因为，分别是棱，的中点，所以，在正六边形中，，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）依题意可知球心一定在直线上，设球的半径为，则，又，所以，解得，所以球表面积，体积.20.已知的内角，，所对的边分别是，，，且．（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积．解：（1）因为，即，由正弦定理可得，因为，，所以，所以，因为，所以.（2）由余弦定理，即，所以，所以，解得或（舍去），当且仅当时取等号，所以，即的周长的最小值为，此时.21.已知向量，，函数，．（1）求函数的最小正周期、值域；（2）对任意实数，，定义，设，，a为大于0的常数，若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）因为，，函数，所以，所以函数的最小正周期为，因为，所以，所以，故函数的值域为.（2）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，因为，当时，则，即，因，则，即，解得，则；同理当时，则，，综上：的值域为，又的值域为，所以，解得，所以实数的取值范围是.22.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，点在上，且．（1）已知点在上，且，证明：平面平面；（2）求点到平面的距离．解：（1）由且，可知是等腰直角三角形，且，又因为四边形为直角梯形，且，，则，所以，，因为，，，所以，，，又因为，即，且，所以，四边形为平行四边形，即，又因为，故，因为底面，底面，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，因此，平面平面.（2）取的中点，连接，因为，，则四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面，所以，平面，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，因为平面，平面，所以，，又因为，，、平面，所以，平面，取的中点，连接，因为、分别为、的中点，所以，，所以，平面，又因为，所以，点到平面的距离为，所以，点到平面的距离为.辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）1.的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.已知i为虚数单位，复数，则它的共轭复数为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A.3.如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在直观图中为等腰直角三角形，所以，所以，又是的中点，所以，所以在平面图形中，，所以.故选：A.4.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，则，所以，所以.故选：C5.已知的外接圆半径为1，，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理可得，所以，则.故选：D.6.已知向量、满足，，，设与的夹角为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，所以，，所以.故选：C.7.函数在一个周期内的图像是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的最小正周期，∵选项D的最小正周期，D错误；令，解得，故的单调递增区间为，取，则的单调递增区间为，故A正确，B、C错误.故选：A.8.龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．如图，现有一龙洗盆高15cm，盆口直径为40cm，盆底直径为20cm．往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长与交于点，根据题意，得，设，有，即，解得，所以盆内水的体积为.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知为虚数单位，下列说法正确的是（）A.B.C.若，则的虚部为4D.已知复数满足，则复数在复平面内对应点的集合是以为圆心、以为半径的圆〖答案〗AD〖解析〗对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，所以的虚部为，故C错误；对于D：令，，因为，所以，则，所以复数在复平面内对应点的集合是以为圆心、以为半径的圆，故D正确.故选：AD.10.已知为点，为直线，为平面，则下列命题成立的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，且，，则D.若，，，则〖答案〗BC〖解析〗对于A，若，则直线可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，因为，所以，又因为，所以内存在一条直线，所以，由，从而得到，故B正确；对于C，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内，因为，，且，则，故C正确；对于D，由，如下图示，此时，故D错误.故选：BC.11.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，，符合条件的只有一个，则〖答案〗ABC〖解析〗对于A：在三角形中，由可得，根据正弦定理可得，故A正确；对于B：因为，由正弦定理可得，所以，由在三角形中，所以，又，所以，故B正确；对于C：由、分别为向量、方向上的单位向量，根据平行四边形法则向量平分角，又，所以，所以，故C正确；对于D：若，即，此时符合条件的有两个，故D错误．故选：ABC．12.如图，正方体的棱长为1，是正方形的中心，是的中点，则以下结论正确的是（）A.平面 B.平面平面C.三棱锥的体积为 D.异面直线与所成的角为〖答案〗ABC〖解析〗对于，设与交于点，连接，如图，则平面，又平面，所以，又平面，所以平面，故A正确；对于，连接，因为分别是的中点，则，又平面，平面，故平面，易得，又平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面，故B正确；对于C，因为是的中点，所以到底面的距离为，则，故C正确；对于D，因为，所以异面直线与所成角为或其补角，连接，则，在中，所以异面直线与所成的角不等于，故错误.故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若，则______．〖答案〗〖解析〗∵，∴，∴.故〖答案〗为：．14.已知复数，（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为，，则______．〖答案〗〖解析〗因为复数在复平面上对应的点分别为，所以，则，所以.故〖答案〗为：.15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，，所以，又因为，所以，由正弦定理得：，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得.故〖答案〗为：.16.已知四棱锥的底面四边形是边长为的正方形，且平面，，点M为线段上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的体积最小时，的长为_________．〖答案〗2〖解析〗因为平面，平面，所以，连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的体积最小时，四棱锥外接球的半径最小，设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点，当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，连接OC，在中，，当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的体积最小时，O与重合，，设CM的中点为N，连接，易知，则，所以，解得，所以.故〖答案〗为：2.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数，．（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）当时，求．解：（1）因为复数为纯虚数，所以，解得.（2）当时，所以.18.如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.（1）用向量的方法证明；（2）若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.解：（1）如图，建立平面直角坐标系：（方法一）由题意可知，设，则，，，，得，，所以，故，即.（方法二）由题意可知，，，设，则，得，得，，所以，故，即.（2）由题意得，则，设，则，，由（1）得，，所以，由，得，当，即时，，故的最大值为.19.如图，在正六棱锥中，为底面中心，，．（1）若，分别是棱，的中点，证明：平面；（2）若该正六棱锥的顶点都在球的表面上，求球的表面积和体积．解：（1）因为，分别是棱，的中点，所以，在正六边形中，，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）依题