2023-2024学年江苏省盐城市三校高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省盐城市三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数的个数为（）A.24 B.60 C.120 D.720〖答案〗C〖解析〗由题意可知：由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数即为1，2，3，4，5全排列，所以没有重复数字的五位数的个数为.故选：C.2.如果数列的前项和，那么的值为（）A.23 B.24 C.25 D.26〖答案〗C〖解析〗由数列的前项和，可得.故选：C.3.如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.4.某中学运动会上一天安排长跑、跳绳等6场不同的比赛项目，若第一场比赛不安排长跑，最后一场不安排跳绳，则不同的安排方案种数为（）A.504 B.510 C.480 D.500〖答案〗A〖解析〗根据第一场安排的比赛是否为跳绳，分为如下两种情况：第一种：若第一场安排跳绳，则最后一场安排不受限制，共有：种；第二种：若第一场不安排跳绳，则也不能是长跑，则第一场有种安排；再安排最后一场，其不能为跳绳，故有种安排，故共有：种；故不同的安排方案共有：种.故选：A.5.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，；令，则；.故选：C.6.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有3个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设事件“取出的是甲袋”，“取出的是乙袋”，“取出的是丙袋”，“取出的是红球”，则.故选：D.7.设函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由〖解析〗式可知，所以函数为奇函数.恒成立，函数在定义域R上单调递增；因为，可得，函数单调递增，所以，即.设，显然在定义域上单调递增，且，所以解，得.所以的取值范围是.故选：A8.已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，可得，取的中点，连接，可知，

因为，可得，则，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，所以双曲线C的离心率为.故选：B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知.若事件相互独立，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以，故B正确；又因为事件相互独立，所以，所以，故A正确；因为事件相互独立，所以相互独立，，故C错误；因为事件相互独立，所以相互独立，，故D正确.故选：ABD.10.正方体的棱长为2，为的中点，则（）A. B.与所成角余弦值为C.面与面所成角正弦值为 D.与面的距离为〖答案〗AD〖解析〗根据题意建立如图所示的空间直角坐标系正方体的棱长为2，易求、、、、、、、、.选项A：因为，，所以所以，故A正确.选项B：因为，，所以，设异面直线和所成的角为，则：，故B不正确.选项C：易求平面的法向量.设平面的法向量为，易求,，由，令，则.设平面与平面所成角为，则,，即，故选项C不正确.选项D：因为平面的法向量为，，设到平面的距离为，向量与法向量的夹角为，则：,故选项D正确.故选：AD.11.在边长为3的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，，）则（）A. B.C.数列是公比为的等比数列 D.数列的前项和取值范围〖答案〗ABD〖解析〗对A：由题意可知，，而，则，所以，故A正确；对B：由上可知，所以，故B正确；对C：易知，此后对应三角形均相似，而相似比，即是首项为3，公比为的等比数列，是首项为，公比为的等比数列，故C错误；对D：由上可得，则，则，显然单调递减，即，所以的取值范围为，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为__________.参考数据：若，则〖答案〗0.84〖解析〗由题意知，该产品服从，则，所以，即抽到“可用产品”的概率为0.84.故〖答案〗为：0.84.13.设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为_________________.〖答案〗〖解析〗点P在曲线上，设，则点P到直线l的距离为，当时，.故〖答案〗为：.14.设，不等式在上恒成立，则的最小值_______.〖答案〗〖解析〗在上恒成立，即为在上恒成立，令，，若，则，可得在递增，当趋近正无穷时，趋近正无穷，不等式在上不恒成立，若，令，可得，令，可得可得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，则，即则.令，，，令，可得，令，可得可得在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则的最小值是.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把〖答案〗写在答题纸的指定区域内）15.已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为.（1）求的值；（2）求展开式中含的项.解：（1）由题意可知：，且，可得，解得.（2）由（1）可知：的展开式的通项为，令，解得，所以展开式中含的项为.16.已知函数在处取得极大值，且极大值为3.（1）求的值：（2）求在区间上不单调，求的取值范围.解：（1）因为，可得，因为函数在处取得极大值，且极大值为，所以，解得.（2）由题意，函数在区间上不单调，可得，解得，又由，当时，；当时，；时，，所以函数单调递增，在上单调递减，因为在区间上不单调，则满足，解得，即实数的取值范围为.17.为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求甲老师答对2个问题的概率；（2）若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求.解：（1）设甲老师答对2个问题为事件，则.所以甲老师答对2个问题的概率为.（2）设甲老师得分数为，则的可能取值为4，6，8，，，，则，18.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上.（1）当点在什么位置时，使得平面；（2）若面与面所成角的正弦值为，求的长.解：（1）当时，平面取中点，连接，因为，分别为和中点，由梯形的中位线定理得，且，当时，即时，因为正方形，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，面，所以平面.（2）在平面中，作于，因为平面平面，平面平面，又，平面，所以平面，在正方形中，过作的平行线交于点，则.，分别以为轴，建立空间直角坐标系，因为四边形是等腰梯形，，所以，又，所以，可得,，所以,，设平面法向量为，由,则有，取，设，则，设平面的法向量为，由则有，取，因为面与面所成角的正弦值为，所以，解得或（舍去），所以.19.已知椭圆经过和，分别为椭圆的左顶点、右顶点、上顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过轴上点（点在椭圆长轴上）作直线交椭圆两点，且，若，求点的坐标；（3）过点作直线交椭圆于点，交直线于，直线于轴相交于，求证:为定值，并求此定值.（其中分别为直线和直线l，的斜率）.解：（1）将和两点直接代入椭圆方程，有所以椭圆的标准方程（2）连接，,所以，所以,直线的方程为，联立，所以，（3）由题意可知,设直线的方程为.直线的方程为联立，解得点坐标为再将直线与椭圆方程联立，即，，由韦达定理得点坐标为，所以的直线方程为，令计算得出的坐标为，所以，因此，江苏省盐城市三校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数的个数为（）A.24 B.60 C.120 D.720〖答案〗C〖解析〗由题意可知：由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数即为1，2，3，4，5全排列，所以没有重复数字的五位数的个数为.故选：C.2.如果数列的前项和，那么的值为（）A.23 B.24 C.25 D.26〖答案〗C〖解析〗由数列的前项和，可得.故选：C.3.如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.4.某中学运动会上一天安排长跑、跳绳等6场不同的比赛项目，若第一场比赛不安排长跑，最后一场不安排跳绳，则不同的安排方案种数为（）A.504 B.510 C.480 D.500〖答案〗A〖解析〗根据第一场安排的比赛是否为跳绳，分为如下两种情况：第一种：若第一场安排跳绳，则最后一场安排不受限制，共有：种；第二种：若第一场不安排跳绳，则也不能是长跑，则第一场有种安排；再安排最后一场，其不能为跳绳，故有种安排，故共有：种；故不同的安排方案共有：种.故选：A.5.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，；令，则；.故选：C.6.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有3个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设事件“取出的是甲袋”，“取出的是乙袋”，“取出的是丙袋”，“取出的是红球”，则.故选：D.7.设函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由〖解析〗式可知，所以函数为奇函数.恒成立，函数在定义域R上单调递增；因为，可得，函数单调递增，所以，即.设，显然在定义域上单调递增，且，所以解，得.所以的取值范围是.故选：A8.已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，可得，取的中点，连接，可知，

因为，可得，则，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，所以双曲线C的离心率为.故选：B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知.若事件相互独立，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为，所以，故B正确；又因为事件相互独立，所以，所以，故A正确；因为事件相互独立，所以相互独立，，故C错误；因为事件相互独立，所以相互独立，，故D正确.故选：ABD.10.正方体的棱长为2，为的中点，则（）A. B.与所成角余弦值为C.面与面所成角正弦值为 D.与面的距离为〖答案〗AD〖解析〗根据题意建立如图所示的空间直角坐标系正方体的棱长为2，易求、、、、、、、、.选项A：因为，，所以所以，故A正确.选项B：因为，，所以，设异面直线和所成的角为，则：，故B不正确.选项C：易求平面的法向量.设平面的法向量为，易求,，由，令，则.设平面与平面所成角为，则,，即，故选项C不正确.选项D：因为平面的法向量为，，设到平面的距离为，向量与法向量的夹角为，则：,故选项D正确.故选：AD.11.在边长为3的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，，）则（）A. B.C.数列是公比为的等比数列 D.数列的前项和取值范围〖答案〗ABD〖解析〗对A：由题意可知，，而，则，所以，故A正确；对B：由上可知，所以，故B正确；对C：易知，此后对应三角形均相似，而相似比，即是首项为3，公比为的等比数列，是首项为，公比为的等比数列，故C错误；对D：由上可得，则，则，显然单调递减，即，所以的取值范围为，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为__________.参考数据：若，则〖答案〗0.84〖解析〗由题意知，该产品服从，则，所以，即抽到“可用产品”的概率为0.84.故〖答案〗为：0.84.13.设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为_________________.〖答案〗〖解析〗点P在曲线上，设，则点P到直线l的距离为，当时，.故〖答案〗为：.14.设，不等式在上恒成立，则的最小值_______.〖答案〗〖解析〗在上恒成立，即为在上恒成立，令，，若，则，可得在递增，当趋近正无穷时，趋近正无穷，不等式在上不恒成立，若，令，可得，令，可得可得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，则，即则.令，，，令，可得，令，可得可得在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则的最小值是.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把〖答案〗写在答题纸的指定区域内）15.已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为.（1）求的值；（2）求展开式中含的项.解：（1）由题意可知：，且，可得，解得.（2）由（1）可知：的展开式的通项为，令，解得，所以展开式中含的项为.16.已知函数在处取得极大值，且极大值为3.（1）求的值：（2）求在区间上不单调，求的取值范围.解：（1）因为，可得，因为函数在处取得极大值，且极大值为，所以，解得.（2）由题意，函数在区间上不单调，可得，解得，又由，当时，；当时，；时，，所以函数单调递增，在上单调递减，因为在区间上不单调，则满足，解得，即实数的取值范围为.17.为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求甲老师答对2个问题的概率；（2）若测试