2023-2024学年湖北省武汉市部分重点中学5G联盟高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖北省武汉市部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为,所以错,因为,所以对,因为,所以错,因为,所以错.故选：B2.已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则二项式的展开式共项，即，解得.故选：A.3.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，令，则，，则，所以故选：A.4.1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（）A.240 B.480 C.384 D.1440〖答案〗B〖解析〗鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式，此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式，由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为，故选：.5.若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.设切点为，所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），，此时点到直线距离.故选：D6.三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（）A.350 B.140 C.560 D.280〖答案〗C〖解析〗将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为，问题等价于8只气球排列，其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球，则有种.故选：C.7.若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据二项式定理展开式，故当时，，即，所以，整理得，故，又，所以.故选：C．8.若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设公切线与函数切于点，由，得，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，设公切线与函数切于点，由，得，则公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，所以，消去，得，由，得，令，则，所以在上递减，所以，所以由题意得，即实数的取值范围是，故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.的展开式中，下列结论正确的是（）A.展开式共7项 B.x项系数为－280C.所有项的系数之和为1 D.所有项的二项式系数之和为128〖答案〗BD〖解析〗由题意得展开式共8项，故A错；通项为，令，解得，所以项系数为，故B正确；令中得，所以所有项的系数之和为，故C错；所有项的二项式系数和为，故D正确.故选：BD10.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（）A.四名同学的报名情况共有种B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种C.“四名同学最终只报了两个项目”的概率是D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误；对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B正确；对于C，四名同学最终只报了两个项目，若有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个项目，此时有种情况，若每2个人报名了1个项目，此时有种情况，共有种情况，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；对于D，事件A：先从4名同学选出2人，组成一组，再进行全排列，故，事件：甲同学1人报名‘关怀老人’项目，剩余3人分为2组，和剩余的2个项目进行全排列，故，所以，D正确．故选：BCD11.已知函数，下列说法中正确的有（）A.函数的极小值为B.函数在点处的切线方程为C.D.若曲线与曲线无交点，则的取值范围是〖答案〗BCD〖解析〗A：，令，所以当时，，为单调递增函数；当时，，为单调递减函数；则函数的极大小值为，故A错误；B：，又，则函数在点处的切线方程为，即，故B正确；C：因为在上单调递减，所以，即，所以，则，故C正确；D：两曲线无交点等价于方程无解，显然，即无解，即无解，因此比函数的最大值还大，即，故，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_____________.〖答案〗2或6〖解析〗因为，所以，解得，又或，解得或.故〖答案〗为：2或613.已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于________．〖答案〗〖解析〗因为，则，对于函数，所以，显然不是函数的零点，当时函数恰好有两个零点，所以方程有两个根，令，则函数与函数的图象有两个交点，当时，，则，所以当时，，函数在上为增函数，当时，，函数在上为减函数，又，当时，，函数在上为减函数，由此可得函数的图象如下：当即时，函数与函数的图象恰有两个交点，所以.故〖答案〗为：.14.已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗由题意，原不等式可变形为，即，设，则当时，恒成立，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，则，所以，，因在上单调递增，所以要使，只需，在上恒成立，取对数，得，因为，所以．令，，因为，所以在上单调递增，所以，所以，则.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.解：（1）函数的定义域为R.导函数.所以，，所以函数在点处的切线方程为，即.（2）令，解得：或.列表得：x13+2+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；极大值为，极小值为.16.在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？（1）有3名内科医生和2名外科医生；（2）既有内科医生，又有外科医生；（3）至少有1名主任参加；（4）既有主任，又有外科医生．解：（1）先选3名内科医生共有种选法，再选2名外科医生共有种选法，故选派方法共有种.（2）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去人，易得选派方法为：.（3）分两类：一是选1名主任有种方法；二是选2名主任有种方法，故至少有1名主任参加的选派方法共种.（4）若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法，故既有主任，又有外科医生的选派种数为.17.某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．（1）求选到的学生是艺术生的概率；（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．解：（1）设“任选一名学生恰好是艺术生”，“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”,“所选学生来自丙班”．由题可知：，，，，，.（2）；所以其来自丙班的可能性最高．18.某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为万元，其中．（1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在什么范围内？（2）若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为（其中x为产品订单的金额），试问m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．解：（1）当时，，所以，令，即，又因为，因此，所以该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在；（2）令，该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立，所以，即，设，则，令，则，所以在上单调递减，且，所以在上，即在上恒成立，故，所以，故，因此当时，该企业加工生产将不会出现亏损.19.设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若有两个零点，，①求a的取值范围；②证明：．解：（1）由，，可得，当时，，所以在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在单调递减，在单调递增；（2）①因为函数有两个零点，由（1）得，此时的递增区间为，递减区间为，有极小值当，，当，在上有一个零点，当，，当，在上有一个零点，所以由可得②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设．设，，可得，，所以在上单调递增，所以，即，则，，所以当时，，且．因为当时，单调递增，所以，即设，，则，则，即．所以，．设，则，所以在上单调递减，所以，所以，即．综上，湖北省武汉市部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为,所以错,因为,所以对,因为,所以错,因为,所以错.故选：B2.已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则二项式的展开式共项，即，解得.故选：A.3.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，令，则，，则，所以故选：A.4.1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（）A.240 B.480 C.384 D.1440〖答案〗B〖解析〗鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式，此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式，由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为，故选：.5.若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.设切点为，所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），，此时点到直线距离.故选：D6.三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（）A.350 B.140 C.560 D.280〖答案〗C〖解析〗将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为，问题等价于8只气球排列，其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球，则有种.故选：C.7.若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据二项式定理展开式，故当时，，即，所以，整理得，故，又，所以.故选：C．8.若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设公切线与函数切于点，由，得，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，设公切线与函数切于点，由，得，则公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，所以，消去，得，由，得，令，则，所以在上递减，所以，所以由题意得，即实数的取值范围是，故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.的展开式中，下列结论正确的是（）A.展开式共7项 B.x项系数为－280C.所有项的系数之和为1 D.所有项的二项式系数之和为128〖答案〗BD〖解析〗由题意得展开式共8项，故A错；通项为，令，解得，所以项系数为，故B正确；令中得，所以所有项的系数之和为，故C错；所有项的二项式系数和为，故D正确.故选：BD10.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（）A.四名同学的报名情况共有种B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种C.“四名同学最终只报了两个项目”的概率是D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误；对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B正确；对于C，四名同学最终只报了两个项目，若有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个项目，此时有种情况，若每2个人报名了1个项目，此时有种情况，共有种情况，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；对于D，事件A：先从4名同学选出2人，组成一组，再进行全排列，故，事件：甲同学1人报名‘关怀老人’项目，剩余3人分为2组，和剩余的2个项目进行全排列，故，所以，D正确．故选：BCD11.已知函数，下列说法中正确的有（）A.函数的极小值为B.函数在点处的切线方程为C.D.若曲线与曲线无交点，则的取值范围是〖答案〗BCD〖解析〗A：，令，所以当时，，为单调递增函数；当时，，为单调递减函数；则函数的极大小值为，故A错误；B：，又，则函数在点处的切线方程为，即，故B正确；C：因为在上单调递减，所以，即，所以，则，故C正确；D：两曲线无交点等价于方程无解，显然，即无解，即无解，因此比函数的最大值还大，即，故，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则_____________.〖答案〗2或6〖解析〗因为，所以，解得，又或，解得或.故〖答案〗为：2或613.已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于________．〖答案〗〖解析〗因为，则，对于函数，所以，显然不是函数的零点，当时函数恰好有两个零点，所以方程有两个根，令，则函数与函数的图象有两个交点，当时，，则，所以当时，，函数在上为增函数，当时，，函数在上为减函数，又，当时，，函数在上为减函数，由此可得函数的图象如下：当即时，函数与函数的图象恰有两个交点，所以.故〖答案〗为：.14.已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗由题意，原不等式可变形为，即，设，则当时，恒成立，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，则，所以，，因在上单调递增，所以要使，只需，在上恒成立，取对数，得，因为，所以．令，，因为，所以在上单调递增，所以，所以，则.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值.解：（1）函数的定义域为R.导函数.所以，，所以函数在点处的切线方程为，即.（2）令，解得：或.列表得：x13+2+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；极大值为，极小值为.16.在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？（1）有3名内科医生和2名外科医生；（2）既有内科医生，又有外科医生；（3）至少有1名主任参加；（4）既有主任，又有外科医生．解：（1）先选3名内科医生共有种选法，再选2名外科医生共有种选法，故选派方法共有种.（2）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去人，易得选派方法为：.（3）分两类：一是选1名主任有种方法；二是选2名主任有种方法，故至少有1名主任参加的选派方法共种.（4）若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有种选法，故既有主任，又有外科医生的选派种数为.17.某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼