7.2.3同角三角函数的基本关系式课件高一数学人教B版

第七章三角函数同角三角函数的基本关系式人教B版

数学

必修第三册课程标准1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,

=tanα及其证明.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值及恒等式证明.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点同角三角函数的基本关系名师点睛1.基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.2.这里的“同角”应作广义上的理解,即“同角”的概念与角的表达形式无3.sin2α是(sin

α)2的简写,读作“sin

α的平方”,不能将sin2α写成sin

α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.4.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sin

α+cos

α)2=1+2sin

αcos

α;(5)(sin

α-cos

α)2=1-2sin

αcos

α.过关自诊1.sin22023°+cos22023°=(

)

A.0 B.1C.2023 D.2023°2.若sinθ+cosθ=0,则tanθ=

.

解析

由平方关系知sin22

023°+cos22

023°=1.B-1重难探究·能力素养全提升探究点一利用同角三角函数基本关系式求值角度1.根据已知三角函数值求另外两个三角函数值

解

因为α为第一象限角,所以cos

α>0.规律方法

利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法(1)已知sin

θ(或cos

θ)求tan

θ常用以下方式求解(2)若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解.变式训练1已知tanα=,求sinα,cosα的值.角度2.弦化切求值

分析由于已知条件为正切,所求式为正、余弦,故应想办法将切化正、余弦,或将弦化切(这是一种分析综合的思想);若切化弦,应把条件tan

α=代入所求式,消去其中一种函数,再进一步求值;若弦化切,应把所求式化成用tan

α表示的式子,代入化简即可.规律方法

已知角α的正切值,求由sin

α和cos

α构成的代数式的值(1)对分式齐次式,因为cos

α≠0,一般可在分子和分母中同时除以cosnα,使所求代数式化成关于tan

α的代数式,从而得解;(2)对整式(一般是指关于sin2α,cos2α)齐次式,把分母看为“1”,用sin2α+cos2α替换“1”,从而把问题转化成分式齐次式,在分子和分母中同时除以cos2α,即可得关于tan

α的代数式,从而得解.角度3.“sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα”三者间的“知一求二”规律方法

已知sin

α±cos

α,sin

αcos

α求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有:(1)(sin

θ+cos

θ)2=1+2sin

θcos

θ;(2)(sin

θ-cos

θ)2=1-2sin

θcos

θ;(3)(sin

θ+cos

θ)2+(sin

θ-cos

θ)2=2;(4)(sin

θ-cos

θ)2=(sin

θ+cos

θ)2-4sin

θcos

θ.ABD探究点二利用同角三角函数关系式化简【例4】

[人教A版教材习题]化简:(1)cosθtanθ;(3)(1+tan2α)cos2α.规律方法

三角函数式化简的常用方法(1)化切为弦,即把正切函数化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.探究点三利用同角三角函数关系式证明规律方法

1.证明恒等式的常用思路:(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;(2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者;(3)比较法(作差法,作商法).2.常用的技巧:(1)巧用“1”的代换;(2)化切为弦;(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).变式训练5[北师大版教材习题]求证:(1)sin4α-cos4α=sin2α-cos2α;(2)sin4x+sin2xcos2x+cos2x=1.证明

(1)sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α.(2)sin4x+sin2xcos2x+cos2x=sin2x(sin2x+cos2x)+cos2x=sin2x+cos2x=1.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314151617A级必备知识基础练181920A1234567891011121314151617181920B1234567891011121314151617181920C1234567891011121314151617181920ABD1234567891011121314151617181920ABD123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819207.[探究点一(角度2)·2023湖南新邵期末]已知tanα=-4,则

的值为

.

212345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192010.[探究点三·北师大版教材习题]求证:(1)tan2θ-sin2θ=tan2θsin2θ;(2)(cosα-1)2+sin2α=2-2cosα;(3)sin4x+cos4x=1-2sin2xcos2x.(2)(cos

α-1)2+sin2α=cos2α-2cos

α+1+sin2α=2-2cos

α.(3)sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x.1234567891011121314151617181920B级关键能力提升练B1234567891011121314151617181920A1234567891011121314151617181920BD1234567891011121314151617181920选项正确的是(

)A.m=8B.m=0或m=8C.sinθ>cosθACD123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920123456789101112131415161718C级学科素养创新练192017.若θ∈(0,),记P=cos2θ-sin2θ,Q=cos3θ-sin3θ,R=cos4θ-sin4θ,则P,Q,R的大小关系为

.

P=R<Q解析

R=cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=P,P-Q=cos2θ-sin2θ-(cos3θ-sin3θ)=(cos

θ-sin

θ)(cos

θ+sin

θ)-(cos

θ-sin

θ)(1+cos

θsin

θ)=(cos

θ-sin

θ)(cos

θ+sin

θ-1-cos

θsin

θ)=(cos

θ-sin

θ)(cos

θ-1)(1-sin

θ),因为θ∈(0,),所以cos

θ-sin

θ>0,cos

θ-1<0,1-sin

θ>0,所以P-Q<0,即P<Q,所以P,Q,R的大小关系为P=R<Q.1234567891011121314151617181920整理得m2+1=(m-2)2=m2-4m+4,12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920C级学科素养创新练19.已知第一象限角α的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边经过点P(m,m+1),且cosα=.(1)求m及tanα的值;(2)求sinα(sinα+cosα)的值.1234567891011121