2023-2024学年湖北省鄂北六校高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选〖答案〗的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数，当自变量x由1增加到时，函数的平均变化率为（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故选：C2.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B正确；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D错误；故选：B.3.14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，从后排9人中抽2人调整到前排，有中不同的取法，将前排5人和后来两人看成七个位置，把两个人在七个位置中选两个位置进行排列，完成调整，有中不同的排法，所以不同调整方法的总数是种.故选：D.4.的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式的一次项为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由展开式中奇数项的二项式系数之和为32可得，解得；所以二项式的展开式的通项为，令，可得；所以展开式的一次项为.故选：A5.已知在处取极小值，则（）A.3或1 B.3 C.1 D.或〖答案〗C〖解析〗对函数求导可得；易知，解得或；当时，令，可得，即在上单调递减，在和上单调递增，此时处取得极小值，满足题意；当时，令，可得，即在上单调递减，在和上单调递增，此时处取得极大值，不符合题意，舍去；故选：C6.已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，则，可得，则圆锥的体积，则，当时，；当时，；则在上单调递增，在内单调递减，可知当，即时，圆锥的体积取到最大值.故选：B.7.对于数列，把它连续两项与的差记为，得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列．若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列．如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列．已知数列满足，且，则下列结论中错误的有（）A.为二阶等差数列 B.为三阶等差数列C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，，所以，即，当时，，故C正确；所以，即，因为，所以，故D正确；，，不为常数，故A错误；为非零常数，故为3阶等差数列，故B正确；故选：A．8.已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以令，，所以为常数.又因为，所以，所以，所以.原不等式等价于，即，解得或，所以解集为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意得：，以上个式子累加可得，其中时，满足上式，所以，对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，可得，所以D正确.故选：ACD.10.过抛物线上一点作两条直线，，与E的另一个交点为A，与E的另一个交点为B，抛物线的焦点为F，则（）A.E的准线方程为 B.过点M与E相切的直线方程为C.以为直径的圆与y轴相切 D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为点在抛物线上，所以，则，抛物线方程为，则其准线方程为，故A错误；对于B，联立，消元得，则，故直线与抛物线相切，又点在直线上，则过点M与E相切的直线方程为，故B正确；对于C，由抛物线定义知，线段中点的横坐标，即线段的中点到轴的距离为，所以以为直径的圆与y轴相切，故C正确；对D，设，则，即，所以，即，所以，故D正确.故选：BCD11.已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当时，恒成立B.若有3个零点，则a的取值范围为C.当时.有唯一零点且D.当时，是的极值点〖答案〗BCD〖解析〗对于A中，当时，可得fx=e2x所以A错误；对于B中，若函数有3个零点，即有三个解，其中时，显然不是方程的根，当时，转化为gx=e2xx2又由g'令，解得或；令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；所以当时，函数取得极小值，极小值为gx=e又由时，，所以，即实数的取值范围为，所以B正确；对于C中，当时，f'x设hx=e当时，，在-∞,ln12单调递减；当时，，在ln12,+∞单调递增，所以当时，hxmin=h(ln所以，所以函数在上单调递增，又因为，即，所以有唯一零点且，所以C正确；对于D中，当时，fx=e2x当时，，在单调递减；当时，，在单调递增，所以是的极小值点，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.，则在处切线方程为____________.〖答案〗〖解析〗因为，则，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以在处的切线方程为，即.故〖答案〗为：.13.暑假期间，有4名教师对5名学生进行家访活动，若这4名教师每位至少到一名学生家中，又这5名学生都能且只能得到一名教师的家访，则不同的家访方案种数是____________.〖答案〗240〖解析〗由题意可知：有2名学生得到同一名教师的家访，先从5名学生中选择2名作为一个整体，再与剩余的3名学生一起全排列即可，所以不同的家访方案种数是.故〖答案〗：240.14.已知当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗由，得，即，设，则，因为函数在上都单调递增，所以函数在上单调递增，则，所以，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，则，所以实数的取值范围为．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）求的展开式中含的项；（2）若，求：①；②.解：（1）因为的展开式的通项为，的展开式的通项为，所以展开式中含的项为：；（2）①令得：①；令得：②；得：，所以；②等式两边分别求导得：令得：即：16.如图，在三棱柱中，底面侧面，，，.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为，为锐角，求平面与平面的夹角.解：（1）∵平面平面，平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∵，∴四边形为菱形，∴，∵，，平面，∴平面.又平面∴.（2）设为点到平面的距离，，由（1）知∴∴，∴∴，∵为锐角∴，取中点，则，以C为原点，以、、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.如图所示：则，，，，设平面的法向量为，则取，则，由（1）知，为平面的法向量，，所以，平面与平面的夹角为.17.已知数列满足，．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若记为满足不等式，的正整数k的个数，求数列的前n项和．解：（1）∵，∴，即，∴，又，∴为等差数列，其首项为1，公差为，∴，∴．（2）由得，，，∵，∴满足不等式正整数k的个数为，∴，，①，②，得：，∴．18.已知动点M到点的距离与到直线的距离之比为.（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点的直线与轨迹C交于P，Q两点，点P关于x轴对称的点为R，求面积的取值范围.解：（1）设，由题意得：，两边平方得：，化简得，即动点M轨迹C的方程为；（2）由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，，联立，，，则，化简得：，且，若Q在直线的右侧，则，若Q在直线的左侧，则，∴，∵，∴，∵，有双勾函数的性质可得函数在上单调递减，∴，∴，所以面积的取值范围.19.已知函数，.（1）记，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.解：（1）根据已知条件，有其定义域为，，当即时，若，则；若，则，所以的增区间为，减区间为.当即时在为增函数当即时在为增函数综上，时，的增区间，减区间；时，的增区间.（2）因为恒成立，，令，则，所以当时，等价于恒成立.由于，，（ⅰ）当时，，函数在上单调递增，所以，在区间上恒成立，符合题意；（ⅱ）当时，在上单调递增，.①当，即时，，函数在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意；②当，即时，，，若，即时，在上恒小于0，则在上单调递减，，不符合题意；若，即时，存在，使得，所以当时，，则在上单调递减，则，不符合题意.综上所述，a的取值范围是.湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选〖答案〗的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数，当自变量x由1增加到时，函数的平均变化率为（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故选：C2.下列导数运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B正确；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D错误；故选：B.3.14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，从后排9人中抽2人调整到前排，有中不同的取法，将前排5人和后来两人看成七个位置，把两个人在七个位置中选两个位置进行排列，完成调整，有中不同的排法，所以不同调整方法的总数是种.故选：D.4.的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式的一次项为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由展开式中奇数项的二项式系数之和为32可得，解得；所以二项式的展开式的通项为，令，可得；所以展开式的一次项为.故选：A5.已知在处取极小值，则（）A.3或1 B.3 C.1 D.或〖答案〗C〖解析〗对函数求导可得；易知，解得或；当时，令，可得，即在上单调递减，在和上单调递增，此时处取得极小值，满足题意；当时，令，可得，即在上单调递减，在和上单调递增，此时处取得极大值，不符合题意，舍去；故选：C6.已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，则，可得，则圆锥的体积，则，当时，；当时，；则在上单调递增，在内单调递减，可知当，即时，圆锥的体积取到最大值.故选：B.7.对于数列，把它连续两项与的差记为，得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列．若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列．如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列．已知数列满足，且，则下列结论中错误的有（）A.为二阶等差数列 B.为三阶等差数列C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，，所以，即，当时，，故C正确；所以，即，因为，所以，故D正确；，，不为常数，故A错误；为非零常数，故为3阶等差数列，故B正确；故选：A．8.已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以令，，所以为常数.又因为，所以，所以，所以.原不等式等价于，即，解得或，所以解集为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意得：，以上个式子累加可得，其中时，满足上式，所以，对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，由，所以C正确；对于D中，由，可得，所以D正确.故选：ACD.10.过抛物线上一点作两条直线，，与E的另一个交点为A，与E的另一个交点为B，抛物线的焦点为F，则（）A.E的准线方程为 B.过点M与E相切的直线方程为C.以为直径的圆与y轴相切 D.若，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为点在抛物线上，所以，则，抛物线方程为，则其准线方程为，故A错误；对于B，联立，消元得，则，故直线与抛物线相切，又点在直线上，则过点M与E相切的直线方程为，故B正确；对于C，由抛物线定义知，线段中点的横坐标，即线段的中点到轴的距离为，所以以为直径的圆与y轴相切，故C正确；对D，设，则，即，所以，即，所以，故D正确.故选：BCD11.已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（）A.当时，恒成立B.若有3个零点，则a的取值范围为C.当时.有唯一零点且D.当时，是的极值点〖答案〗BCD〖解析〗对于A中，当时，可得fx=e2x所以A错误；对于B中，若函数有3个零点，即有三个解，其中时，显然不是方程的根，当时，转化为gx=e2xx2又由g'令，解得或；令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；所以当时，函数取得极小值，极小值为gx=e又由时，，所以，即实数的取值范围为，所以B正确；对于C中，当时，f'x设hx=e当时，，在-∞,ln12单调递减；当时，，在ln12,+∞单调递增，所以当时，hxmin=h(ln所以，所以函数在上单调递增，又因为，即，所以有唯一零点且，所以C正确；对于D中，当时，fx=e2x当时，，在单调递减；当时，，在单调递增，所以是的极小值点，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.，则在处切线方程为____________.〖答案〗〖解析〗因为，则，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以在处的切线方程为，即.故〖答案〗为：.13.暑假期间，有4名教师对5名学生进行家访活动，若这4名教师每位至少到一名学生家中，又这5名学生都能且只能得到一名教师的家访，则不同的家访方案种数是____________.〖答案〗240〖解析〗由题意可知：有2名学生得到同一名教师的家访，先从5名学生中选择2名作为一个整体，再与剩余的3名学生一起全排列即可，所以不同的家访方案种数是.故〖答案〗：240.14.已知当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗由，得，即，设，则，因为函数在上都单调递增，所以函数在上单调递增，则，所以，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，则，所以实数的取值范围为．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）求的展开式中含的项；（2）若，求：①；②.解：（1）因为的展开式的通项为，的展开式的通项为，所以展开式中含的项为：；（2）①令得：①；令得：②；得：，所以；②等式两边分别求导得：令得：即：16.如图，在三棱柱中，底面侧面，，，.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为，为锐角，求平面与平面的夹角.解：（1）∵平面平面，平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∵，∴四边形为菱形，∴，∵，，平面，∴平面.又平面∴.（2）设为点