2023-2024学年广东省惠州市惠东县高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2广东省惠州市惠东县2023-2024学年高二下学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新〖答案〗；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，则的值是（）A.12 B.18 C.24 D.30〖答案〗D〖解析〗由题意可知：.故选:D2.若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗随机变量服从两点分布，其中，，，，在A中，，故A正确；在B中，，故B正确；在C中，，故C错误；D中，，故D正确.故选：C3.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，代替，分布列如下：则（）1234560.210.200.100.10A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65〖答案〗B〖解析〗由题意得，解得，，解得，故.故选：B4.元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，，所以，故选：B.5.某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当时，的导函数的图象大致为（

）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，所以轴下方的图象为函数的图象，当时，函数单调递增，所以，故排除CD；根据导数的几何意义可知，时，函数图象上每点处的切线斜率应先变小，再增大，故排除B，只有A正确.故选：A6.若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B.7.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）A.300 B.360 C.390 D.420〖答案〗C〖解析〗(1)当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为;(2)当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为；(3)当5人全部被录取，则不同的录取情况数为；综上不同的录取情况数共有.故选：C8.如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（）A.24 B.26 C.29 D.36〖答案〗B〖解析〗依题意，题中的等比数列为，故该数列前项和，则，要使数列中只取得整数项，需使是5的正整倍数即可，即使的最末位是1或6即可，于是新的数列的项依次为：4，6，9，11，14，16，19，21，24，26，29，31，，故故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为数列的前n项和，已知对任意的，，下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗数列中，对任意的，，，，AC正确；由，知的值无法确定，则通项也无法确定，BD错误.故选：AC10.已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且各项系数的和为0，则（）A.B.的展开式中的有理项有5项C.的展开式中偶数项的二项式系数之和为512D.除以9的余数为8〖答案〗BD〖解析〗由的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等可得：，由组合数的对称性可得：，故选项A错误；因为的展开式中各项系数的和为0，所以令可得：，解得：.则的二项式通项为.由为整数可得：，所以的展开式中的有理项有5项，故选项B正确；因为展开式中偶数项的二项式系数之和为，故选项C错误；因为，所以除以9的余数为8，故选项D正确.故选：BD.11.关于函数，下列判断正确的是（）．A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.存在正实数，使得成立D.对任意两个正实数，且，若，则．〖答案〗BD〖解析〗对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，所以在内，，函数单调递减；在上，，函数单调递增，所以是的极小值点，故A错误；对于选项B，由，得，由于分子判别式小于零，所以恒成立，所以函数在，上单调递减，且，所以函数有且只有1个零点，故B正确；对于选项C，若，可得，令，则，令，则，所以在内，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，所以，所以，所以函数在上单调递减．又因为当时，，所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；对于选项D，设，即有，，即为，化为，故，所以，则，设（），可得，令，则在上恒成立，可得，所以，故单调递增，可得，故成立，故D正确．故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有______种不同的走法〖答案〗25〖解析〗依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步计数乘法原理知，从上山到下山方法共有种，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法.故〖答案〗为：2513.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为________．参考数据：若，则，，．〖答案〗0.84〖解析〗由题意知，该产品服从，则，所以，又，，所以，所以，即.所以抽到“可用产品”的概率为.故〖答案〗为：0.84.14.若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗由得，设切点坐标，则切线斜率，切线方程为，又因为切线过，所以，整理得，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，所以，解得或，所以的取值范围是，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已如曲线在处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范围.解：（1）由于的斜率为，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范围为16.在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；（2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望；（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．解：（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则．故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为．（2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X0123P0.0080.0960.3840.512∴．（3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，∴，，∴．∵，∴，∴可以认为选手乙晋级的可能性更大．17.在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）设的公差为d（），由，得，即．由成等比数列可得，即，解得或（舍去），所以，故．（2）由（1）得，所以．18.有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；（2）设第次答题后游戏停止的概率为．①求；②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．解：（1）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一个球”，“第次摸出红球，并且答题正确”，；“第次摸出黑球，并且答题正确”，；“第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，，所以．又；；，所以．同理：所以．（2）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为4次，答题错误次，且第次摸出最后一球时答题正确．所以．②由①知，所以．令，解得；，解得．所以，所以的最大值是．19.已知函数，其中．（1）当时，求的极值；（2）讨论当时函数的单调性；（3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围.解：（1）当时，的定义域为，当时，，当时，在上单调递增，在上单调递减.处取得极大值，的极大值为，无极小值.（2）函数的定义域为，又．当时，令则或．①当，即时，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减.②当，即时，在上恒成立，在上单调递增.③当，即时，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（3）有两个不同的零点、，即有两个不同正实根，得有两个不同正实根，即与有两个交点，令，则，令，得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，时，取得最大值，且，当时，得的大致图像如图所示：，解得，所以实数的取值范围为．广东省惠州市惠东县2023-2024学年高二下学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新〖答案〗；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，则的值是（）A.12 B.18 C.24 D.30〖答案〗D〖解析〗由题意可知：.故选:D2.若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗随机变量服从两点分布，其中，，，，在A中，，故A正确；在B中，，故B正确；在C中，，故C错误；D中，，故D正确.故选：C3.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，代替，分布列如下：则（）1234560.210.200.100.10A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65〖答案〗B〖解析〗由题意得，解得，，解得，故.故选：B4.元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，，所以，故选：B.5.某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到如图的“心形线”.观察图形，当时，的导函数的图象大致为（

）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，所以轴下方的图象为函数的图象，当时，函数单调递增，所以，故排除CD；根据导数的几何意义可知，时，函数图象上每点处的切线斜率应先变小，再增大，故排除B，只有A正确.故选：A6.若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B.7.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）A.300 B.360 C.390 D.420〖答案〗C〖解析〗(1)当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为;(2)当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为；(3)当5人全部被录取，则不同的录取情况数为；综上不同的录取情况数共有.故选：C8.如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（）A.24 B.26 C.29 D.36〖答案〗B〖解析〗依题意，题中的等比数列为，故该数列前项和，则，要使数列中只取得整数项，需使是5的正整倍数即可，即使的最末位是1或6即可，于是新的数列的项依次为：4，6，9，11，14，16，19，21，24，26，29，31，，故故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为数列的前n项和，已知对任意的，，下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗数列中，对任意的，，，，AC正确；由，知的值无法确定，则通项也无法确定，BD错误.故选：AC10.已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且各项系数的和为0，则（）A.B.的展开式中的有理项有5项C.的展开式中偶数项的二项式系数之和为512D.除以9的余数为8〖答案〗BD〖解析〗由的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等可得：，由组合数的对称性可得：，故选项A错误；因为的展开式中各项系数的和为0，所以令可得：，解得：.则的二项式通项为.由为整数可得：，所以的展开式中的有理项有5项，故选项B正确；因为展开式中偶数项的二项式系数之和为，故选项C错误；因为，所以除以9的余数为8，故选项D正确.故选：BD.11.关于函数，下列判断正确的是（）．A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.存在正实数，使得成立D.对任意两个正实数，且，若，则．〖答案〗BD〖解析〗对于选项A，函数的定义域为，函数的导数，所以在内，，函数单调递减；在上，，函数单调递增，所以是的极小值点，故A错误；对于选项B，由，得，由于分子判别式小于零，所以恒成立，所以函数在，上单调递减，且，所以函数有且只有1个零点，故B正确；对于选项C，若，可得，令，则，令，则，所以在内，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，所以，所以，所以函数在上单调递减．又因为当时，，所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确；对于选项D，设，即有，，即为，化为，故，所以，则，设（），可得，令，则在上恒成立，可得，所以，故单调递增，可得，故成立，故D正确．故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有______种不同的走法〖答案〗25〖解析〗依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步计数乘法原理知，从上山到下山方法共有种，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法.故〖答案〗为：2513.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为________．参考数据：若，则，，．〖答案〗0.84〖解析〗由题意知，该产品服从，则，所以，又，，所以，所以，即.所以抽到“可用产品”的概率为.故〖答案〗为：0.84.14.若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗由得，设切点坐标，则切线斜率，切线方程为，又因为切线过，所以，整理得，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，所以，解得或，所以的取值范围是，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已如曲线在处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范围.解：（1）由于的斜率为，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范围为16.在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．（1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率；（2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望；（3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由．解：（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则．故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为．（2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X0123P0.0080.0960.3840.512∴．（3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，∴，，∴．∵，∴，∴可以认为选手乙晋级的可能性更大．17.在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．（1）求的通