第21章一元二次方程（复习课件）九年级数学上册（人教版）

第21章一元二次方程

九年级数学上册同步精品课堂（人教版）人教版

数学九年级

上册单元复盘提升思维导图知识串讲一元二次方程的基本概念1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，

这样的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)知识串讲3.项数和系数：

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)二次项：ax2

二次项系数：a一次项：bx一次项系数：b常数项：c4.注意事项：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．

知识串讲解一元二次方程的方法一元二次方程的解法适用的方程类型直接开平方法配方法公式法因式分解法x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0，

b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0各种一元二次方程的解法及适用类型知识串讲一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系数学语言文字语言一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.使用条件1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；2.方程有实数根，即Δ≥0.重要结论考点梳理考点一：一元一次方程的定义例1若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是()A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D.m≠0解：本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项(二次项系数不为0)，因此它的系数m-1≠0，即m≠1，故选A.A考点梳理例2解：根据一元二次方程根的定义可知，将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程，即m2-1=0，解得m=±1.又二次项系数不能为0，所以m≠1，即m=-1.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m=

.-1这种解题方法我们称之为

“有根必代”.考点梳理例3(1)方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是

，

一次项系数是

，常数项是

.4-20(2)一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为

.-1解：把x=2代入方程x2+px-2=0得4+2p-2=0，解得p=-1．刻意练习练12

－3－1刻意练习练2(1)关于

x的一元二次方程

x2

+

px

−

2

=

0

的一个根为

2，则

p的值为

.(2)若

x

=

−2

是方程

ax2

+

bx

+

3

=

0(a

≠

0)的一个解，则代数式

1

−

8a

+

4b

的值是

．(3)若

x

=

a

是方程

x2

−

x

−

1

=

0

的一个根，则

−a3

+

2a

+

2025的值为________.−120247考点梳理考点二：一元二次方程的解法例1解：配方法的关键是配上一次项系数一半的平方.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为()A.(x-1)2=6 B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6 D.(x-2)2=9A考点梳理例2用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤).

考点梳理例2用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤).

考点梳理例3配方法公式法直接开平方法因式分解法十字相乘法(a为1，b为偶数）(其他方法都不合适时）(左平方，右非负）（可提公因式或用平方差分解因式）(数较小时，可尝试）注意：只有配方法、公式法可用于所有方程.请为下列方程选择合适的解法考点梳理例4解方程

(x2

−

2x)2

−

5x2

+

10x

+

6

=

0．解：方程整理得

(x2

−2x)2

−5(x2

−2x)+

6

=

0.设

x2

−2x

=

m，则原方程变为

m2

−5m

+

6

=

0.解得

m1

=

3，m2

=

2.当

m

=

3

时，x2

−2x

=

3，解得

x

=

3

或

x

=

−1；当

m

=

2

时，x2

−2x

=

2，解得

x

=

1±.综上所述，原方程的解为

x1

=

3，x2

=

−1，x3

=

1

+，x4

=

1−．换元法刻意练习练1解：解方程x2-13x+36=0得x1=9，x2=4，即第三边长为9或4．边长为9，3，6不能构成三角形；而4，3，6能构成三角形，所以三角形的周长为3+4+6=13，故选A．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，

则该三角形的周长为()A.13 B.15 C.18 D.13或18A刻意练习练2菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，

则菱形ABCD的周长为()A.16 B.12

C.16或12 D.24A解：方程x2-7x+12=0可转化为(x-3)(x-4)=0，x-3=0或x-4=0，所以x1=3，x2=4，因为菱形ABCD的一条对角线长为6，所以边AB的长是4，所以菱形ABCD的周长为16．故选A．刻意练习练3考点梳理考点三：一元二次方程的根的判别式的应用例1已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()A. B.m<2 C.m≥0 D.m<0A

考点梳理例2下列所给方程中，没有实数根的是()A.x2+x=0 B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0 D.4x2-5x+2=0D

考点梳理例3考点梳理例3刻意练习练1A

练2刻意练习练3刻意练习练3考点梳理考点四：一元二次方程的根与系数的关系例1已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根分别为m，n，则m2－mn＋n2＝

．25解：根据根与系数的关系可知

m+n=4，mn=-3.m2－mn＋n2=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.考点梳理例2

A

考点梳理例3(1)求证：方程有两个不相等的实数根.∴方程有两个不相等的实数根.考点梳理例3(2）若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.解：分两种情况：①当BC为底边时.AB=AC.即方程有两个相等的实数根.由（1）得，方程有两个不相等的实数根.∴这种情况不成立.考点梳理例3(2）若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.当k+1做底边时，k=BC=5.此时三边为5,5,6.当k做底边时，k+1=BC=5.解得k=4.此时三边为5，5,4.综上，k的值为4或5.②以BC为腰时，底边是AB或AC.考点梳理例3(3）若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.∴当k=3时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.刻意练习练1-311.52刻意练习练2解：(1)根据题意得

Δ=

(2m)2

−4(m2

+

m)≥0，解得

m≤0.已知关于

x

的一元二次方程

x2

+

2mx

+

m2

+

m

=

0

有两个实数根．(1)求

m

的取值范围；(2)设

x1，x2

是方程的两根，且

=

12，求

m

的值.(2)根据题意得

x1

+

x2

=

−2m，x1x2

=

m2

+

m，故

m

的值是

−2.∴(−2m)2

−2(m2

+

m)=

12，解得

m1

=

−2，m2

=

3(不合题意，舍去).∵=12，∴(x1

+

x2)2

−2x1x2

=

12.考点梳理考点五：一元二次方程的应用例1完成下列问题，只列方程1.如图，在宽为20m、长为32m的矩形地面上修建同样宽的小路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540㎡求小路的宽.设小路的宽为xm.或考点梳理例12.九年级（3）班学生毕业时，每个同学都给其他同学写一份毕业留念作为纪念，全班学生共写了930份留言.设全班有x名学生.3.若AB上共有45条线段（包含AB),求线段AB上共有多少个端点？设线段AB上有x个端点.完成下列问题，只列方程考点梳理例14.已知某工厂把某种产品的年产量从2016年的100万台提高到2018年的121万台，求平均每年的增长率.设平均每年的增长率为x.5.某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，该公司二、三月份营业额的平均增长率为x.完成下列问题，只列方程考点梳理例16.某商品的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，商家想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？设销售单价为每件x元.设销售单价为每件降了x元.或完成下列问题，只列方程考点梳理例2考点梳理例2刻意练习练1在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点