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文档简介

[在此处键入]第14讲导数的概念与运算知识梳理知识点一:导数的概念和几何性质1、概念函数在处瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或.知识点诠释:①增量可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0.的意义:与0之间距离要多近有多近,即可以小于给定的任意小的正数;②当时,在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数,即存在一个常数与无限接近;③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率,即.2、几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率.3、物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度,即;在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度,即.知识点二:导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数(为常数)2、导数的四则运算法则(1)函数和差求导法则:;(2)函数积的求导法则:;(3)函数商的求导法则:,则.3、复合函数求导数复合函数的导数和函数,的导数间关系为:【解题方法总结】1、在点的切线方程切线方程的计算:函数在点处的切线方程为,抓住关键.2、过点的切线方程设切点为,则斜率,过切点的切线方程为:,又因为切线方程过点,所以然后解出的值.(有几个值,就有几条切线)注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.必考题型全归纳题型一:导数的定义【例1】(2024·全国·高三专题练习)已知函数的图象如图所示,函数的导数为,则(

)A. B.C. D.【对点训练1】(2024·云南楚雄·高三统考期末)已知某容器的高度为20cm,现在向容器内注入液体,且容器内液体的高度h(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系式为,当时,液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s,则当时,液体上升高度的瞬时变化率为(

)A.5cm/s B.6cm/s C.8cm/s D.10cm/s【对点训练2】(2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末)已知函数的导函数是,若,则()A. B.1 C.2 D.4【对点训练3】(2024·全国·高三专题练习)若函数在处可导,且,则(

)A.1 B. C.2 D.【对点训练4】(2024·高三课时练习)若在处可导,则可以等于(

).A. B.C. D.【解题方法总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同,然后根据导数定义直接写出.题型二:求函数的导数【例2】(2024·全国·高三专题练习)求下列函数的导数.(1);(2);(3)(4);【对点训练5】(2024·高三课时练习)求下列函数的导数:(1);(2);(3);(4);(5);(6).【对点训练6】(2024·海南·统考模拟预测)在等比数列中,,函数,则__________.【对点训练7】(2024·辽宁大连·育明高中校考一模)已知可导函数,定义域均为,对任意满足,且,求__________.【对点训练8】(2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数的导函数为,且,则______.【对点训练9】(2024·全国·高三专题练习)已知函数,则__________.【解题方法总结】对所给函数求导,其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则,直接转化为基本函数求导问题.题型三:导数的几何意义方向1、在点P处切线【例3】(2024·广东广州·统考模拟预测)曲线在点处的切线方程为__________.【对点训练10】(2024·全国·高三专题练习)曲线在点处的切线方程为______.【对点训练11】(2024·全国·高三专题练习)已知函数,为的导函数.若的图象关于直线x=1对称,则曲线在点处的切线方程为______【对点训练12】(2024·湖南·校联考模拟预测)若函数是奇函数,则曲线在点处的切线方程为______.方向2、过点P的切线【对点训练13】(2024·江西·校联考模拟预测)已知过原点的直线与曲线相切,则该直线的方程是______.【对点训练14】(2024·浙江金华·统考模拟预测)已知函数,过点存在3条直线与曲线相切,则实数的取值范围是___________.【对点训练15】(2024·浙江绍兴·统考模拟预测)过点作曲线的切线,写出一条切线方程:__________.【对点训练16】(2024·海南海口·校联考模拟预测)过轴上一点作曲线的切线,若这样的切线不存在,则整数的一个可能值为_________.【对点训练17】(2024·全国·模拟预测)过坐标原点作曲线的切线,则切点的横坐标为___________.【对点训练18】(2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测)若过点有条直线与函数的图象相切,则当取最大值时,的取值范围为__________.【对点训练19】(2024·全国·模拟预测)已知函数,其导函数为,则曲线过点的切线方程为______.方向3、公切线【对点训练20】(2024·云南保山·统考二模)若函数与函数的图象存在公切线,则实数a的取值范围为(

)A. B.C. D.【对点训练21】(2024·宁夏银川·银川一中校考二模)若直线与曲线相切,直线与曲线相切,则的值为___________.【对点训练22】(2024·河北邯郸·统考三模)若曲线与圆有三条公切线,则的取值范围是____.【对点训练23】(2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测)若曲线和曲线恰好存在两条公切线,则实数a的取值范围为__________.【对点训练24】(2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)已知曲线与曲线有且只有一条公切线,则________.【对点训练25】(2024·福建南平·统考模拟预测)已知曲线和曲线有唯一公共点,且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l,则l的方程为________.方向4、已知切线求参数问题【对点训练26】(2024·江苏·校联考模拟预测)若曲线有两条过的切线,则a的范围是______.【对点训练27】(2024·山东聊城·统考三模)若直线与曲线相切,则的最大值为()A.0 B.1 C.2 D.【对点训练28】(2024·重庆·统考三模)已知直线y=ax-a与曲线相切,则实数a=(

)A.0 B. C. D.【对点训练29】(2024·海南·校联考模拟预测)已知偶函数在点处的切线方程为,则(

)A. B.0 C.1 D.2【对点训练30】(2024·全国·高三专题练习)已知是曲线上的任一点,若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角,则实数的取值范围是(

)A. B. C. D.【对点训练31】(2024·全国·高三专题练习)已知,,直线与曲线相切,则的最小值是(

)A.16 B.12 C.8 D.4方向5、切线的条数问题【对点训练32】(2024·河北·高三校联考阶段练习)若过点可以作曲线的两条切线,则(

)A. B. C. D.【对点训练33】(2024·全国·高三专题练习)若过点可以作曲线的两条切线,则(

)A. B. C. D.【对点训练34】(2024·湖南·校联考二模)若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线,则下列选项正确的是(

)A. B. C. D.或方向6、切线平行、垂直、重合问题【对点训练35】(2024·全国·高三专题练习)若函数与的图象有一条公共切线,且该公共切线与直线平行,则实数(

)A. B. C. D.【对点训练36】(2024·全国·高三专题练习)已知直线与曲线相交于,且曲线在处的切线平行,则实数的值为(

)A.4 B.4或-3 C.-3或-1 D.-3【对点训练37】(2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试)已知曲线在点处的切线互相垂直,且切线与轴分别交于点,记点的纵坐标与点的纵坐标之差为,则(

)A. B.C. D.【对点训练38】(2024·全国·高三专题练习)若函数的图象上存在两条相互垂直的切线,则实数的值是(

)A. B. C. D.【对点训练39】(2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末)若函数的图像上存在两个不同的点,使得在这两点处的切线重合,则称为“切线重合函数”,下列函数中不是“切线重合函数”的为(

)A. B.C. D.【对点训练40】(2024·全国·高三专题练习)已知A,B是函数,图象上不同的两点,若函数在点A、B处的切线重合,则实数a的取值范围是(

)A. B. C. D.方向7、最值问题【对点训练41】(2024·全国·高三专题练习)设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为(

)A. B.C. D.【对点训练42】(2024·全国·高三专题练习)设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值为(

)A. B.C. D.【对点训练43】(2024·全国·高三专题练习)设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值为(

)A. B.C. D.【对点训练44】(2024·全国·高三专题练习)已知实数,,,满足,则的最小值为(

)A. B.8 C.4 D.16【对点训练45】(2024·全国·高三专题练习)设函数,其中,.若存在正数,使得成立,则实数的值是(

)A. B. C. D.1【对点训练46】(2024·宁夏银川·银川二中校考一模)已知实数满足,,则的最小值为(

)A. B. C. D.【对点训练47】(2024·四川成都·川大附中校考二模)若点是曲线上任意一点,则点到直线距离的最小值为(

)A. B. C. D.方向8、牛顿迭代法【对点训练48】(2024·湖北咸宁·校考模拟预测)英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下:设是的根,选取作为的初始近似值,过点做曲线的切线:,则与轴交点的横坐标为,称是的一次近似值;重复以上过程,得的近似值序列,其中,称是的次近似值.运用上述方法,并规定初始近似值不得超过零点大小,则函数的零点一次近似值为(

)(精确到小数点后3位,参考数据:)A.2.207 B.2.208 C.2.205 D.2.204【对点训练49】(多选题)(2024·安徽芜湖·统考模拟预测)牛顿在《流数法》一书中,给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下:设是函数的一个零点,任意选取作为的初始近似值,过点作曲线的切线,设与轴交点的横坐标为,并称为的1次近似值;过点作曲线的切线,设与轴交点的横坐标为,称为的2次近似值.一般地,过点()作曲线的切线,记与轴交点的横坐标为,并称为的次近似值.对于方程,记方程的根为,取初始近似值为,下列说法正确的是(

)A. B.切线:C. D.【对点训练50】(多选题)(2024·全国·模拟预测)牛顿在《流数法》一书中,给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先,设定一个起始点,如图,在处作图象的切线,切线与轴的交点横坐标记作:用替代重复上面的过程可得;一直继续下去,可得到一系列的数,,,…,,…在一定精确度下,用四舍五入法取值,当,近似值相等时,该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1),我们可以先构造函数,再用“牛顿法”求得零点的近似值,即为的近似值,则下列说法正确的是(

)A.对任意,B.若,且,则对任意,C.当时,需要作2条切线即可确定的值D.无论在上取任何有理数都有【对点训练51】(2024·全国·高三专题练习)牛顿迭代法(Newton'smethod)又称牛顿–拉夫逊方法(Newton–Raphsonmethod),是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图,设是的根,选取作为初始近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点的横坐标(),称是的

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