第14讲、导数的概念与运算（学生版）

[在此处键入]第14讲导数的概念与运算知识梳理知识点一：导数的概念和几何性质1、概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．知识点诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．2、几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3、物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．知识点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3、复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：【解题方法总结】1、在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．2、过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．必考题型全归纳题型一：导数的定义【例1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（

）A． B．C． D．【对点训练1】（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s【对点训练2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数的导函数是，若，则（）A． B．1 C．2 D．4【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）若函数在处可导，且，则（

）A．1 B． C．2 D．【对点训练4】（2024·高三课时练习）若在处可导，则可以等于（

）．A． B．C． D．【解题方法总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．题型二：求函数的导数【例2】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)(4)；【对点训练5】（2024·高三课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【对点训练6】（2024·海南·统考模拟预测）在等比数列中，，函数，则__________．【对点训练7】（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求__________.【对点训练8】（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数为，且，则______．【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则__________.【解题方法总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．题型三：导数的几何意义方向1、在点P处切线【例3】（2024·广东广州·统考模拟预测）曲线在点处的切线方程为__________．【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程为______．【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，为的导函数.若的图象关于直线x＝1对称，则曲线在点处的切线方程为______【对点训练12】（2024·湖南·校联考模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______．方向2、过点P的切线【对点训练13】（2024·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是______．【对点训练14】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.【对点训练15】（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）过点作曲线的切线，写出一条切线方程：__________.【对点训练16】（2024·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．【对点训练17】（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.【对点训练18】（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若过点有条直线与函数的图象相切，则当取最大值时，的取值范围为__________.【对点训练19】（2024·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．方向3、公切线【对点训练20】（2024·云南保山·统考二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【对点训练21】（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.【对点训练22】（2024·河北邯郸·统考三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是____．【对点训练23】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．【对点训练24】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则________．【对点训练25】（2024·福建南平·统考模拟预测）已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．方向4、已知切线求参数问题【对点训练26】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.【对点训练27】（2024·山东聊城·统考三模）若直线与曲线相切，则的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．【对点训练28】（2024·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（

）A．0 B． C． D．【对点训练29】（2024·海南·校联考模拟预测）已知偶函数在点处的切线方程为，则（

）A． B．0 C．1 D．2【对点训练30】（2024·全国·高三专题练习）已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4方向5、切线的条数问题【对点训练32】（2024·河北·高三校联考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【对点训练34】（2024·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．或方向6、切线平行、垂直、重合问题【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（

）A． B． C． D．【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）已知直线与曲线相交于，且曲线在处的切线平行，则实数的值为（

）A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3【对点训练37】（2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知曲线在点处的切线互相垂直，且切线与轴分别交于点，记点的纵坐标与点的纵坐标之差为，则（

）A． B．C． D．【对点训练38】（2024·全国·高三专题练习）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（

）A． B． C． D．【对点训练39】（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数的图像上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（

）A． B．C． D．【对点训练40】（2024·全国·高三专题练习）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．方向7、最值问题【对点训练41】（2024·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（

）A． B．C． D．【对点训练42】（2024·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．【对点训练43】（2024·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

）A． B．C． D．【对点训练44】（2024·全国·高三专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（

）A． B．8 C．4 D．16【对点训练45】（2024·全国·高三专题练习）设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是（

）A． B． C． D．1【对点训练46】（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）已知实数满足，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【对点训练47】（2024·四川成都·川大附中校考二模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．方向8、牛顿迭代法【对点训练48】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线：，则与轴交点的横坐标为，称是的一次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数的零点一次近似值为（

）（精确到小数点后3位，参考数据：）A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204【对点训练49】（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（

）A． B．切线：C． D．【对点训练50】（多选题）（2024·全国·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（

）A．对任意，B．若，且，则对任意，C．当时，需要作2条切线即可确定的值D．无论在上取任何有理数都有【对点训练51】（2024·全国·高三专题练习）牛顿迭代法（Newton'smethod）又称牛顿–拉夫逊方法（Newton–Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线,与轴的交点的横坐标（），称是的