第87讲、二项式定理（学生版）

②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．题型十一：整数和余数问题例31．（2024·河北·高三校联考期末）除以1000的余数是．例32．（2024·全国·高三专题练习）若，则被5除所得的余数为．例33．（2024·浙江金华·模拟预测）除以100的余数是．变式44．（2024·辽宁沈阳·统考一模）若，则被5除的余数是．变式45．（2024·全国·高三专题练习）写出一个可以使得被100整除的正整数.变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知能够被15整除，其中，则.题型十二：近似计算问题例34．（2024·全国·高三专题练习）用二项式定理估算.（精确到0.001）例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）（精确到0.01）例36．（2024·全国·高三专题练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是.变式47．（2024·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是．变式48．（2024·全国·高三专题练习）（小数点后保留三位小数）．题型十三：证明组合恒等式例37．（2024·全国·高三专题练习）求证：例38．（2024·全国·高三专题练习）证明：．例39．（2024·全国·高三专题练习）证明：．变式49．（2024·全国·高三专题练习）求证：.变式50．（2024·全国·高三专题练习）（1）设、，，求证：；（2）请利用二项式定理证明：.变式51．（2024·江苏·校联考模拟预测）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.（1）根据恒等式两边的系数相同直接写出一个恒等式，其中；（2）设，利用上述恒等式证明：.题型十四：二项式定理与数列求和例40．（2024·北京·高三强基计划）设n为正整数，为组合数，则（

）A． B．C． D．前三个答案都不对例41．（2024·全国·高三专题练习）（

）A． B． C． D．例42．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（

）A． B． C． D．变式52．（2024·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．变式53．（2024·湖南邵阳·高三统考期末）已知，展开式中的系数为，则等于（

）A． B． C． D．变式54．（2024·北京·高三强基计划）设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，例如．当取遍所有的个有序数组时，的平均值为（

）A． B． C． D．题型十五：杨辉三角例43．（多选题）（2024·海南·海南中学校考三模）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（

）A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是B．由“第行所有数之和为”猜想：C．D．存在，使得为等差数列例44．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（

）

A．在第10行中第5个数最大B．C．第8行中第4个数与第5个数之比为D．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为例45．（多选题）（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（

）A．B．在第2022行中第1011个数最大C．记“杨辉三角”第行的第i个数为，则D．第34行中第15个数与第16个数之比为变式55．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，