人教A版（2019）必修第一册第三章函数-函数的定义域、解析式、值域 含解析

函数的定义域、解+析式、值域专题

第一部分函数的定义域

一、函数定义域的含义

函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合。

厂|用表格给出|一|表格中实如r的篥司

图象在x轴上的投影所

一|用图象给出|一

Iy=M|-覆盖的实数C的集合

使解析式有意义

的实赃的集合

由实际问题给固一|由实际问题的意义确定I

二、求定义域的步骤:

(1)写出使函数式有意义的不等式(组);

(2)解不等式(组)；

(3)写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)

三、常见函数定义域的类型

1、分式型/一，要满足/0;

f(x)

2、偶次根式型卬7厉，要满足f*)20；

3、零指数幕型［八刈0,要满足工0；

4^整式型/(%)=。0心+印广4-+%X+4,定义域为R；

5、由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的

实际意义.

四、定义域的求法

题型1：求具体函数的定义域

例1求下列函数的定义域，结果用区间表示:

⑴尸斤⑵尸:

/___13

(3)产G+而；(4)y=--^=.

跟踪练习

1、（2022•宿州月考涵数的定义域为（）

A.(-8,1]B.(-8,—

C.(-8,2]D.(-8,-U(V1

2、函数y=W+x+，l-x的值域为()

A.[1,的B.[1,2]

C.2D.诋2]

3、函数/U）一竺^的定义域是（）

X1

A.[-1,1）B.[-1,1）U（1,+8）

C.[-1,+8）D.（1,+8）

4、已知函数）二盘更]，则其定义域为（）

A.(-oo,1]B.(-8,2]

c(一°°，-加

5、函数次幻=（冗-2）°+的定义域是（）

A.昌,+8)B.('-1)

D.(2)U(2,+8)

C.R-y

6、己知等腰三角形A8C的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系式为y

=10-2x,则此函数的定义域为（）

A.RB.{x\x>0]

5

-5

C.{x|0<x<5}D.x2

7、函数），二#7+6田--的定义域是______.

8、己知函数的图象如图所示，则y=73）的定义域是

9、求下列函数的定义域：

（1巾）=4］；（2阿=如+6；（3阿=，1-彳+^^.

题型2：求抽象函数的定义域

①若已知函数人幻的定义域为［明加,其复合函数加（幻］的定义域由不等式

a<g（x）<b求出；

②若已知函数小以幻］的定义域为［。，回，则人幻的定义域为g（x）在x£［〃，b］

时的值域.

例2（1）已知函数7U）的定义域为（一1,0）,求函数42x+l）的定义域；

（2）己知函数人2x+l）的定义域为（-1,0）,求函数7U）的定义域；

（3）已知函数12x-l）定义域改为［0』］,求），=/（2x+l）的定义域。

跟踪练习

1、(2022•重庆市离三摸底)已知函数犬犬)的定义域为(0,+8),则函数尸(x)=/*

+2)+产G的定义域为()

A.(-2,3]B.[-2,3]

C.(0,3]D.(0,3)

2、己知函数1)的定义域是但一2。匕3},则y=7U)的定义域是

)

A.{X|0<AS1}B.(x\-\<x<4}

C.{x\-5<x<5]D.{R—3M7}

3、已知函数於)的定义域为L2”函数gg繇’则g㈤的定义域为()

A.,2B.(-1,+8)

一30ju(0,2)

C.D.?2

4、若函数)，=/(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=W的定义域是()

JC1

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,l)U(l,4]D.(0,1)

5、已知函数«r)的定义域为(0,1),则g(x);段+c)+7U-c)在0<c<1时的定义

域为()

A.(-c,1+c)B.(1-c,c)C.(1+c,-c)D.(c,1-c)

6、已知函数兀0的定义域为国一1<%<1},则函数式2x+l)的定义域为.

7、已知函数F(x)的定义域为(-1,1),则函数8(幻=乂舒+1工-1)的定义域为

8、已知函数1)的定义域为[一小，小],则函数y=/>)的定义域为.

9、若函数y=段)的定义域是[-2,2],则函数y=Kv+l)+y(x-l)的定义域为

10、(1)已知函数/U)的定义域是[-1,4],求函数42%+1)的定义域.

(2)已知函数y(2r+l)的定义域是求函数兀¥)的定义域.

题型3：已知函数的定义域，求参数的取值范围

例3若函数人幻=而耳菽Fl的定义域为一切实数，求实数m的取值范围。

解：由题意可得加/+如:+120恒成立.

当m=0时，120恒成立；

"?>0,

当加#0时,则・解得0<mW4.

团2—4加这0,

综上可得，0WmW4.

跟踪练习

1（2022•蚌埠一中高一期中）已知y=/j的定义域是R,则

A/ax2+（a-1）

实数〃的取值范围是（）

ax+1

2、若函数），=丁『==^的定义域为R,则实数。的取值范围是（）

7底一4奴+2

3、已知函数y=、-2—6〃优+加+8的定义域为R,则实数〃2的取值范围为

4、若函数段）=｛加+〃—+占的定义域为｛却Vx<2｝,则a+b的值为

第二部分函数的解+析式

二、函数解+析式的求解方法

1、换元法

例1已知函数7U）满足式2x+l）=4f—6x+5,求7U）.

2、待定系数法

例2已知兀o是二次函数且式0)=2,yu+i)-/(x)=x-i,求yu).

3、配方法

例3已知函数/(6)=&》3,求函数的解+析式

4、方程组法

例4己知人x)满足贺箝+0=3x-l,求危).

跟踪练习

1、(2022•安徽合肥模拟)若二次函数g(x)满足g(l)=l,g(—1)=5且图象过原点，

则g(x)的解+析式为()

A.g(x)=2x2—3xB.g(x)=3f—2x

C.g(x)=3f+2xD.g(x)=-3f—2x

2、设/(x)为一次函数，且〃〃x))=4x-1.若〃3)=-5,则f(x)的解+析式为()

A./(x)=2x-ll或f(x)=-2x+lB./W=-2x+l

C./(x)=2x-llD./(x)=2x+l

3、设函数/g)=2x+l,则〃力的表达式为()

A.---(x/0)B.—+l(x0)C.—^(XH-1)D.---(XH-1)

2x+l/xv7l+xv71+P

4、已知/(五+2)二孙则有()

A./(X)=(X-2)2(XN0)B./(X)=(X-2)2(X>2)

C./(X)=(X+2)2(X>0)D./(X)=(X+2)2(X>2)

5、f(4x+})=x+\,则/(x)的解+析式为()

A./(x)=x2B.f(x)=x2-2x+2(x0)

C.f(x)=x2-2x+2(x1)D./(A)=x2+1

6、己知函数f(x+l)=f+2x-3,则/(x)=()

A.x2+4xB.x2-4

C.x2+4x-6D.x2-4x-1

7、若函数/(x)满足/(%)+2/(J=2X+1,则f(2)=()

A.B.|C.|D"

8、^/(V^-l)=x-2(x>l),则〃x)=.

9、已知函数/(X+1)=/-K+3,那么兀0的表达式是

10、已知二次函数/(x)的图象经过点(-3,2),顶点是(-2,3),则函数/(x)

的解+析式为.

1k已知/卜一£|=丁+3,则/(2)=.

12、已知/(%-1)=炉+3%-10,则/(x)=0的解集为.

13、已知函数/(%)满足/(*)+2/(-X)=2X+3,贝IJ/(X)=,

14、设〃x）是一次函数，且/[/（工）]=叙+3,求f（x）的解+析式.

15、已知/*）+2/（—幻=3尸—以求/（力的解+析式

第三部分函数的值域

一、求函数值域的一般方法

（1）直接法（观察法）

例1求函数y=+的值域

（2）分离常数法

1—AT

例2求函数y二二匚下的值域

1I

(3)换元法

例3求函数y=x+Wl-x的'直域

(4)配方法

例4求函数)，=/—4x,［1,4］的值域

(5)不等式法

例5求函数尸2；二;1(词的值域

(6)数形结合法

例6求函数y=r—4%+6,x三［1,5)的值域

跟踪练习

1、若函数y=/U）的定义域为M={x|-2WxW2},值域为77={、，|0W丫式2},则函

数y=7U）的图象可能是（）

2、在下列函数中，值域为（0,+8）的是（）

A.y=yfxB.》=古

C.yD.y—/+1

zXJ

x（xW0）,

3^下列三个函数：①y=3—心②>0）③y=f+2x—10其中定义域

与值域相同的函数的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

4、+x+1在[-1,1]上的值域为（）

-31「31「3、

A.[1,3]B.丘，1JC.[z，3jD.0+叼

5、函数y=1+/一11-2%的值域为（）

A.（-8,|）B.（-8,|

C©+8）D.I，+8）

6、已知函数y=V的值域是u,4],则其定义域不可能是（）

-3-

A.[1,2]B.一],2

C.[-2,-1]D.[-2,-1]U{1}

7、下列函数中，值域为[0,1]的是（）

A.y=x^B.y=x+l

2

cy=7+iD.y=yj1—x

8、已知函数-[见5]的值域是[-5,4],则实数用的取值范围是（）

A.（-8,-1）B.（-1,2]

C.[-1,2]D.[2,5]

9、函数«r）=3]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[—3.5]=-4,[2.1]

=2.当工£（一2.5,3]时，兀0的值域是

10、求下列函数的值域（并将结果用区间表示）.

（l）y=W+2（-24Wl）；

(3)y=2x+4^/l-x；

x

（4）产药（12

11、求函数）=百二的值域

f+2x+3

12、求函数y=犬二1飞=1）的值域

13、记函数/(工)=#3—x+Nx—1的定义域为集合M,函数^(x)=x2—2x4-3值域

为集合M求：

⑴M,N.

(2)MnN,MUN.

14、已知函数应¥)=日上一16的定义域为集合4,函数ga)=f—2x+a,xe[0,4]

的值域为集合3,若AU8=R,求实数。的取值范围.

第一部分函数的定义域(解+析)

一、函数定义域的含义

函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合。

厂|用表格给出|一|表格中实蜘的函西1

图象在X轴上的投影所

—I用图象给出|一

Iy=Ax)1~覆盖的实如的集合

使解析式有意义

-1用解析式给出1一的实蜘的集合

由实际问题给国一

二、求定义域的步骤:

(1)写出使函数式有意义的不等式(组);

(2)解不等式(组)；

(3)写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)

三、常见函数定义域的类型

1、分式型一一,要满足/。)工0;

f(x)

2、偶次根式型W75，要满足了(幻20；

3、零指数幕型[/(初0,要满足/(X)H0；

4^整式型/(x)=%x"+平…++定义域为R;

5、由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的

实际意义.

四、定义域的求法

题型1：求具体函数的定义域

例1求下列函数的定义域，结果用区间表示：

⑴厂斤+制苍；⑵尸箫昔；

13

(3)y=g+巾⑷『—尸

解：(1)要使函数有意义，

(x+220,2,

则有1,=1

X2—X—6^0[xW—2JLxW3,

故函数的定义域是(一2,3)U(3,+8).

x+l#0,

(2)要使函数有意义，必须满足〈一八解得

lw—x>0,

x2-1,

,故函数的定义域是(一8,—])U(—1,0).

k<0,

1-x^O,

(3)由已知得“

,x+5W0,

解得xWl且％#—5.

所求定义域为{x|xWl且xW-5}.

1-x^O,

（4）由已知得，i——解得xWl且xWO.

[1-Vl-x^O,

所求定义域为{MxWl且xWO}.

跟踪练习

\1\—X

1、（2022・宿州月考）函数y=w£_3x_2的定义域为（D）

A.(—8,1]B.1—8,--J

C.(-8,2]D.(-8,一；)u(~2

2、函数y=、/1+x+、/l7的值域为(D)

A.[1,^2]B.[1,2]

广

C.-y[-2-+--y-[-6,2D.[啦，2]

3、函数/(x)=\甘；।的定义域是(B)

.V1

A.1-1,1)B.l-l,l)U(l,+8)

C.l-l,4-oo)D.(1,+8)

4、己知函数丁=端呈万，则其定义域为（D）

A.（—oo,1]B.（—oo,2]

c（_°°，_加（_»D.（_8,一加（_；，1_

5、函数兀0=。-2）。+y的定义域是（D）

A.昌,+8）B.（-co,-1）

C.RD.（-；,2ju（2,+oo）

6、己知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长、的函数关系式为y

=10-2JG则此函数的定义域为（D）

A.RB.{x|x>0}

J5；

C.{x|0<r<5}D.\x2<X<5-

7、函数y=的定义域是—[-1,7]—.

8,已知函数y="r)的图象如图所示，则,v=/U)的定义域是I—3。n113

9、求下列函数的定义域：

(1次幻=4万；(2VU)=、/2x+6；(3V(x)

解⑴使式子士有意义的实数x的集合是3中2},所以函数的定义域为

{H#2}；

(2)使式子正定有意义的实数x的集合是{川后一3},所以函数的定义域为

{x|x>-3}；

(3)使式子后彳有意义的实数x的集合是{卫烂1),使式子马丁有意义的实数

JI人

x的集合是{H#—5},所以函数/(x)=，T三+±的定义域是{x降1且"—5}

JI人

题型2：求抽象函数的定义域

①若巳知函数人%)的定义域为[。，b],其复合函数地(幻]的定义域由不等式

a<g(x)<b求出；

②若已知函数/U(x)]的定义域为[〃，b]9则4x)的定义域为g(x)在b]

时的值域.

例2(1)已知函数7U)的定义域为(-1,0),求函数1A2x+l)的定义域；

(4)已知函数4入+1)的定义域为(-1,0),求函数;U)的定义域；

(5)已知函数人级-1)定义域改为[0,1],求y=y(2x+l)的定义域。

解：(1)由函数«x)的定义域为(-1,0),则使函数次2x+l)有意义，需满足

一16+1<0,解得一《<一；,即所求函数的定义域为(T,一

(2)五2x+l)的定义域为(一1,0),即一14<0,

.,.-l<2x+Kl,IJU)的定义域为(一1,1).

(3)・・，=《2«—1)定义域为。1].

要使y=/(2x+l)有意义应满足-1W2X+1W1,解得一

1WxWO,

因此y=/(2x+l)定义域为

跟踪练习

1、(2022•重庆市高三摸底)己知函数/(x)的定义域为(0,+8),则函数尸(%)=；1

+2)+产G的定义域为(A)

A.(—2,3]B.f-2,3]

C.(0,3]D.(0,3)

2、已知函数y=/(x+1)的定义域是{x|-2sxs3},则》=危)的定义域是

B)

A.{x|O<x<l)B.{x|-l<x<4}

C.{x\~5<x<5}D.{x|-3<x<7}

3、已知函数"的定义域为L2』],函数g(x尸依高，则g。)的定义域为(A)

A.?2B.(-1,+8)

一；,0)U(0,2)2

C.D.W

4、若出数y=/U)的定义域是[0,2],则函数的定义域是(B)

X1

A.[0,1]B.[0,1)C.fO,l)U(l,4]D.(0,1)

5、己知函数加0的定义域为(0,1),则8(工)=4工+。)+人工-。)在0«4时的定义

域为(D)

A.(-c,1+c)B.(1-c,c)C.(1+c,-e)D.(c,1-c)

6、已知函数的)的定义域为Ld—则函数_A2x+l)的定义域为(工I—14<0}.

7、已知函数F(x)的定义域为(-1,1),则函数g(R)=7(今+7U-1)的定义域为

(0,2)—.

8、已知函数》=凡？-1）的定义域为［一小，小］,则函数y=/2的定义域为

L2L_.

9、若函数y=/U）的定义域是［-2,2］,则函数y=/U+l）+7U—1）的定义域为匚

1.11.

10、（1）已知函数7U）的定义域是求函数人2%+1）的定义域.

（2）己知函数/（2x+l）的定义域是求函数人外的定义域.

解：（1）由已知火x）的定义域是

即一1

故对于人2x+1）应有一1W2x+1W4.

3

-

2

3

的定义域是—1,2•

（2）由已知<2x+1）的定义域是［一1,4］,

即大2x+l）中，应有一1W/W4,・・・-1W2X+1W9.

.7/U）的定义域是

题型3：已知函数的定义域，求参数的取值范围

例3若函数人¥）=,山/+必+1的定义域为一切实数，求实数"2的取值范围。

解：由题意可得mr2+/nx+120恒成立.

当m=0时，120恒成立；

当mWO时，贝M/解得0<"zW4.

m-4/nCcO,

综上可得，0WmW4.

跟踪练习

1、（2022•蚌埠一中高一期中）已知尸/1的定义域是R,则

yjax2+（a-1）x+^

实数。的取值范围是（C）

A.0,B.

3、已知函数)一^荷一6团/+〃?+8的定义域为R,则实数m的取值范围为

All.

9

L

4、若函数段)=+向+加勺定义域为{x|12},则的值为2

第一部分函数的解+析式

二、函数解+析式的求解方法

1、换元法

例1已知函数火0满足火2%+l)=4f-6x+5,求应)

解：令2x+l=f(f£R),

则elL一],

所以/W=4(与°)2-6・与，+5=/2-5/+9(reR),

所以fix)=x^-5x+9aeR).

3、待定系数法

例2己知於)是二次函数且次0)=2,yu+i)-/u)=x—1,求公).

解：设人工尸加+法+4口手。)，

由＜0)=2,得c=2,

Rx+l)-/(x)=a(x+1)2+Z7(x+l)+2-ar-/?x-2=x-1,即2ox+a+/?=x

所

13

所以火x)=^^~2x+2・

三、配方法

例3己知函数小叶*6,求函数/⑸的解十析式

所以/(x)=Y+2x,

因为所以/(力二丁+2X,XW(YO,1)U(L”)

四、方程组法

例4已知«x)满足纨x)+;Q[=3x—l,求yu).

解：已知纨=3x—1,①

以《代替①中的x(x手0),得

2娟+於)==-1,②

3

①X2—②，得浜的=64一1-1,

故人»=2^_:—|(x*O).

跟踪练习

1、(2022•安徽合肥模拟)若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(—1)=5且图象过原点,

则g(x)的解+析式为(B)

A.g(x)=2}r—3xB.g(x)=3x1—2x

C.^(x)=3ArH-2xD.g[x)=-3^-2x

2、设/(x)为一次函数，且/(/(x))=4xT.若〃3)=-5,则的解+析式为

(B)

A./(x)=2x-ll^/W=-2.v+1B.f(x)=-2x+\

C./(x)=2x-llD./(x)=2x+l

3、设函数/(£)=2X+1,则〃力的表达式为(B)

2x-

A.(x^O)B.—+l(x0)C.~~—[x-1)D.——(z"T)

2A+r)X1+X1+P

4、已知/(«+2)=x,则有(B)

A./(X)=(X-2)2(X>0)B./(X)=(X-2)2(X>2)

C./(X)=(X+2)2(X^0)D./(X)=(X+2)2(X>2)

5、若/(«+l)=x+l,则的解+析式为(C)

A.f(x)=x2B.f(x)=x2-2x+2(x>0)

C.f(x)=x2-2x+2(x>\)D.f(x)=x2+\

6、己知函数f数+l)=l+2x-3,则f(x)=(B)

A.A2+4xB.x2-4

C.x2+4x-6D.x2-4x-1

7、若函数/(x)满足/(x)+2/(g=2x+l,则八2)二(A)

A.~B.jC.1D.y

8、^/(^-l)=x-2(x>l),贝=f+2X-1(XN0).

9、已知函数〃大+1)=/7+3,那么小:)的表达式是〃引=/-3X+5

10、已知二次函数/(彳)的图象经过点(-3,2),顶点是(-2,3),则函数f(x)

2

的解+析式为_/a)=一(工+2/+3=-X-4X-\_

11、己知/卜-£|=/+地，贝」/(2)=-6—.

12、已知/5-1)=丁+3工一10,则/任)=。的解集为一{-64}―・

13、已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=2x+3,贝ljf(x)=f(x)=-2x+1.

14、设是一次函数，且/[/(M]=4X+3,求/(x)的解+析式.

解：设f(x)=^+b(ax0),则

2

f^f(x)^=af(x)+b=a(ax-b)+b=ax+ab+b=4x+3/

所以忙:V解得归或

ab+b=3[b=\[b=-3

所以函数/(x)的解+析式为=2x+1或/(x)=-2x-3

15、已知/(幻+2/(-幻=3/-孙求/(”的解+析式

解：/(X)+2/(-X)=3X2-X,得/(T)+2/(X)=3/+X

fW+2f(-x)=3x2-x解得/(幻=/+工

f(-x)+2f(x)=3x2+x

第三部分函数的值域

一、求函数值域的一般方法

(1)直接法(观察法)

例1求函数上的值域

解：・门+/21,

1十片

，函数儿0的值域是{y|O＜yWl},即(0,1].

(2)分离常数法

例2求函数的值域

1—f2

解：产用=-1+用,

因为f20,所以f+121,所以(X]；jW2.

2

所以一lv—1+]+yW1.

即函数的值域为(一11].

(3)换元法

例3求函数y=x+4[l-x的直域

解：设Ly/lf,120,则工=1—产，

所以原函数可化为y=l—P+4f=—(f—2)2+5(720).

所以yW5,

所以原函数的值域为(一8,5].

(4)配方法

例4求函数)，=f—4x,xW[1,4]的值域

解：配方，得y=(x—2)2—4.

Vxe[l,4],

，函数的值域为[-4,0].

(5)不等式法

例5求函数＞，=笠斗(•＞；)的值域

2X2—X+ix(2x—1)+1

解：＞?=2x-l=2x-l

11.

=X-\------

2x~12

x

当且仅当％一3=告，即工=与啦时取等号.

x~2

所以y'&l*即原函数的值域为［1+；,+8）

（6）数形结合法

例6求函数丁=/-4x+6,x三［1,5）的值域

解：y=f—4x+6=（x—2>+2.

•.”£［1,5）,・••其图象如图所示，

当x=2时，y=2:当x=5时，y=ll.

.・・所求函数的值域为［2,11）.

跟踪练习

1、若函数y=y（x）的定义域为“={x［—2<xW2},值域为N={y|0<y<2},则函

数丁=4工）的图象可能是（B）

ABCD

2、在下列函数中，值域为（0,+8）的是（B）

A.尸6B.尸石

1

C.y二D.y=f+l

MxWO)，

3、下列三个函数：①y=3—工；②③y=f+2x—10其中定义域

-U>o).

与值域相同的函数的个数为（C）

A.0B.1C.2D.3

4、/U）=f+x+l在[―1,1]上的值域为（C）

一3

-3D

+8

A.[1,3]B.T

一4

5、函数y=1+1一d1—2x的值域为（B）

3

|

A一

2B.\一

D.

6一3

C+8-

2,+°°J

■

6、已知函数y=x2的值域是[1,4],则其定义域不可能是（B）

A.[1,2]B.

C.[—2,-1]D.[-2,-1]U(1}

7、下列函数中，值域为[0,1]的是（D)

A.丁一炉B.y—x+1

C1+1D.

8、已知函数yu）=—f+4x,[加,5]的值域是[-5,4],则实数加的取值范围是

（C）

A.（-8,-1）B.（-1,2]

C.[-1,2]D.[2,5]

9、函数犬#=田的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]=-4,[2.1]

=2.当工£（-2.5,3]时，叙）的值域是（-3,—2,一10』23）.

10、求下列函数的值域（并将结果用区间表示）.

(1))，=/+2(-20<1)；

(2川=2-[以一口

(3)y=2r+4-\/l-X；

Y

⑷尸后7(1*3).

解：(l)・・,-2WxWl,・・・0WfW4.

・・・2Wf+2W6,・•・函数的值域为[2,6].

(2):以一/20,・・・0<xW4,

・・・0<4x-f=-(X-2)2+4W4.

04\以一$W2.

——2W—94x—%2这0,；・0WyW2.

・,・函数的值域为。2].

⑶令t=yj\—xt则戈=1