《冶金传输原理》期末计算试题及答案模块5相似理论与量纲分析

模块5和体理卷鸟/狗台新

计算题：

1不可压缩粘性流体在粗糙管内的定常流动，其压强降与粘度口，长度/、粗糙度£、管径

d、流速v及密度。有关，用n定理导出压强降的表达式。

2已知粘性流体在管内流动，其流动与速度v,密度P,粘性系数P，管道直径d有关，用瑞

利法求各量间的依变关系。

3按1：30比例制成一根与空气管道几何相似的模型管，用粘性为空气的

的50倍，而密度为800倍的水做模型实验。

（1）若空气管道中的流速为6m/s,问模型管中水流速应多大才能与原模型相

似？

（2）若在模型中测得不降为226.8kpa,试求原模型中相应乐降为多少？

（3）问模型管中仍以空气为介质可否？其流速应多大才能与原模型相似？

4一潜艇长50米，水上航速6米/秒，做船模水槽试验确定该潜艇的兴波阻力。该船模的

几何尺寸为实船的五十分之一，试计算船模在水槽中的拖拽速度。

5某水库模型，当打开水闸时，4分钟内水放空。如模型与原型的尺寸比G=1/225,

求原型水库水放空的时间。

6在圆管层流中，沿壁的切应力To与管径d、流速V及流体粘性系数U有关。用量纲分

析法导出此关系的一般表达式。

7环形管的压强降AP与环形管的内径R、外径Rz、管长L、流体的密度P、动力粘度P

及平均流速V有关，试建立它们之间的关系式。

8在拖池中作船模实验，船模比例尺为1/50,实船的航速为25km/h,假设流动（1）重力、

（2）表面张力、（3）粘性离起主导作用，试计算船模的速度应为多少才能保证动力相似。

设实验和实船都是在海水中。

9某大坝的泄洪道宽为20m,设计泄洪能力为125m3/s。现准备用

1：15的模型来研究此泄洪道的流通特性。试确定模型的宽和流量。对应于泄洪道泄洪24h,

模型应工作多长时间。

10一潜艇的水上航速为607m/s.水下航速为5.2m/s,为了决定他在水面航行的行波阻力

和水下航行的粘性阻力，分别在水池和风洞中进行船模实验。设船模的几何尺寸为实船的

1/65,试分别计算船模在水池中的拖拽速度和风洞实验时的风速。设水和空气的运动粘度分

别为1.145X10-6m2/s和1.45X105m2/s.

第五章相M理卷导量佝合析

计算题：

1解：根据与压强有关的物理量可以写出物理方程：

F=(A/?,u,I,£,d,v,p)=0

物理方程中有7个物理量，选取d,v,P作为基本量，可以组成4:(7-3)个无量纲量,

它们是：

△p〃

冗、-——二J——冗)--------

1ahC

d'V'p'22VApc2

用基本量纲表示中的物理量，得

^p=\MT2];/=[ML-1T1]V=[LT_,]P=[A/L-3]

根据物理方程量纲一致性原则有：

对L-l=ai+bi-3ci

T-2=-bi

Ml=Ci

解得ai=O,bi=2,Ci=l故有

兀、=--=Eu

Pv~

用基本量纲表示中的物理量，得

M匚T=趴LT'>(MZ73)G

根据量纲一致性原则得出=1,b2=l,C2=l故有

-pvdRe

用基本量纲表示中的各物理量，得相同的量纲方程

七=—'厂户(“厂产

根据量纲一致性原则得as.产1,b3.i=0,c3.«=0故有

_£

~~d~~d

将所有值代入式并将提出，可得

ASylpV

△P=fRe，7~—

\d)d2

2解：已知/(v,p,//,J)=0

y=f(p，〃，d)

v=kpaMbdc

-,-3

[LT]=K[MU3][MLp[Mr1T-1P[L]C

r1=-3a—b+cra=—\

Y-\=b(AJb=0

0=aJt-bc=-l

所以v=kp-'从cT'

人也二Re

4

3解.：(1)根据相似原理，对几何相似管，当Re相等时，流动达到力学相似，若以脚标p

表示原型，m表示模型

1V

由Re相等:PPPP_P，〃M”

%

则u=v-=6x^—x—x—=6x—=1\25m/s

PPmIm%800118

(2)由Eu数相等:△P△P

12♦12

I2m

△Pp=Mm.2.2

Pm

6

=226.8xl03x—x=80.64%

80()11.25；

（3）说明：以空气为介质作模型：由Re相等，[”=匕=30

则=180/n/5,此时空气压缩性不能忽视，故不能用空气作介质，

则用水质后，vm=l[.25m/s

4解：波阻力主要是水受重力作用而产生的，安排模型试验时应以佛汝德数作为决定性相

似准则，即

FF

m,n=rop

模型与原型的尺度比为五十分之一，故模型船长

故

V脸=6・葛=0"

即潜艇模型在水槽中的拖拽速度为0.83米/秒。

5解：水库闸门泻水，主要受重力作用，所以佛汝德数为决定性相似准数，由题14可知

CQ=c}

因CQ=**=*=c：/c

4ipFpipip

则c?=c；/c/c=Z=c?

tP

求得原型水库水防空时间为

2___

tp=tm/C}=4xJ225=60min

6解：由于变量（物理量只有四个，因此可以直接应用雷利的方法。）

即写出变量之间的函数关系为％=/（&V、//）

按MLT量纲制写出量纲式为

[M/LT2]=[L]X[L/TY[M/LTY

对量纲式的指数求解为

M：l=Z

L：-1=X+Y-Z

T：-2=-Y-Z

联立解以上三式得X=-lY=1Z=1

代入函数式可得

由实验已证实有为=K^V/d=8〃V/d

7解：首先选定P、V、R为基本变量，因此可组成7-3=4个无量纲数。即:

句=PX'VY'R^P(1)

兀2=pX?vY?R,R?(2)

=pxW^R7iL(3)

冗4乙"(4)

对(1)式进行量纲分析，由

|O|=M"TI〃碟叱陷/次2|

M：O=Xi+l

L：0=-3XI+Y!+ZI-1

T：0=-Y1-2

得XF-1Y尸-2Z,=l

2

所以nx=AP/pV

而(2)式的无量纲数应为穴2=R」R\

(3)式显而易见：43=UR\

(4)式很明显就是以R表示的雷诺数，则知=夕丫曷/〃

2

即A^/pV=乩亦4/〃,R2/A)

2

所以AP=pV^pVR{/^R2/ReL/R1)

8解：(1)重力起主导作用时，模型与原型Fr应相等，即

(v/7ig)m=v/7ig

因gm=g，所以

vin==25/V50=3054km/h

(2)表面张力起主导时，模型与We应相等，即

22

(v/p/cr)w=vlp/a

因实验时仍用海水，则

5”Pm=P

所以“=卬匹'=25同=177km/h

(3)粘性力起主导作用时，模型与原型的Re应相等，即

(3〃或=加〃〃

因Pm=P"m=〃

所以匕”=v//lm=1250km!h

这样高的速度实际上是很难实现的。

9解：按照几何相似，模型的宽应为

b,n=b・ki=20Xl/15=1.33m

除了宽以外，其他的几何尺寸也应具有同样的比例尺。

这种有自由面的流动主要是重力起作用，故模型和原型Fr相等则可认为动力相似，即

(v/7te)m=v/7te

因gm=g，则

%=口7^=病

时间比例系数、长度比例系数和速度比例系数之间的关系式(5-6),并利用式(e),可得

m

厂1s

所以tm=kl•r=VT750x24=6.2/?

可见模型的实验时间比对应原理的工作时间短得多。只要长度的比例系数k£l。模型的实验

时间就可比对应的工作时间缩短。这一点很有用，这说明发生在模型的漫长过程，可以在模

型实验中段时间内完成。

10解：(1)水池试验

兴波阻力是由于力受到重力作用产生的。所以船模试验应保持与实船航行的Fr相等。依

长度比例系数ki=1/65。由于Fr相等，且gm=g，得

vm==-71/65x6.7=0.83

在水池中进行兴波阻力试验时，船模的拖拽速度为0.83m/s。

(2)风洞实验

粘性阻力是由于粘性力产生的。在低速风洞试验时可以不考虑Ma,只要求Re相等就

可以认为船模有实船相似。即

(v--l}=-v-l

I)my

，曰l匕"c"1.45x10-5

得=v------=5.2x65x--------------=4280勿?/s

l„,v1.145xl0-6

风洞试验不可以达到这样高的风速，可见单靠加大风速来满足相似是很困难的。根据经验，

常采用在足够大的Re(Re>3X106)的条件下进行试验，将试验结果延伸的办法。这样还

是能够比较准确地估算出对应实船的Re的粘性阻力系数的。

第五章相似原理与模型研究方法

【5-1】若作用在圆球上的阻力尸与求在流体中的运动速度V、求的直径。、流

体密度「、动力粘性系数〃，试用)定理将阻力表示为有关量的函数。

【解】本问题的物理量共有5个(Rp、V、。、〃)，即N=5,选夕、V、。为

基本物理量，则可写出两个无量纲万项：

7rLQ5炉，町一万石铲

由量纲和谐原理可得到

F〃

2

'02V2PDyp

第一个无量纲乃项称为阻力系数，记作G,；第二个无量纲九项称为雷诺数。这

两个独立的无量纲数的关系是

CD=/(Re)

函数关系/(Re)通过实验来确定。

【5-2】通过气轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为P,它也旋转

速度叶轮直径。、空气密度0、声速c有关，试证明气轮机噪声功率满足

P=parD5f(a)D/c)

【解】由题意可写出函数关系式

f(p、①、D、p、c)=0

现选。、p、3为基本物理量，因此可组成两个无量纲的万项：

_F_c

=cox'py'D=''町=一

基于MLT量纲制可得量纲式

[MZ?/T3]=[1/Tp[M/^]V,[Lf

M：1=

L：2=-3M+Z[

T：-3=-%1

联立上三式求得=3»y=1,Z]=5

同理可得%=二

■coD

故有—=

p*\(oD)

一般常将c/o。写成倒数形式，即GQ/C,其实质就是旋转气流的马赫数，因此上

式可改写为

P=p加O"(GD/C)

[5-3]长度与直径之比为一定的圆柱以恒定的转速〃旋转与均匀来流流速为丫

的流体中。假设维持旋转的功率P仅取决于流体密度0、运动粘性系数V、圆柱

直径。及流速V和转速〃，试用/定理证明

32

P=(pv/D)f(yD/vfnD/v)

【解】本题中物理量的个数N=6,基本量纲数r=3,因此有N-r=3个无量

纲的4项。

选0,乙。为基本物理量，则

_P_V_.

px'vy'DZi9巧一pX2vy2D：29/一°与户

对勺项由量纲和谐原理求其指数，即

\M£/T3]=\M/£]1\L[I

M：l=x,

L：2=-3%]+2yt+马

T：_3=_y

解得%]=1»y=3,zt=-1

PD

所以

对巧项由量纲和谐原理求其指数，即

[〃小M针归附[4

M：0=x2

L：1=-3X2+2y2+z2

T：-i=-y2

解得x2=0fy2=1,z2=-l

所以7T=—

2V

此无量纲数就是雷诺数。

对巧项由量纲和谐原理求其指数，即

[1/T]=M针3/卜时

M：0=x3

L：0=-3x34-2y3+z3

T：-1=-%

解得x3=0,y3=1,z3=-2

此无量纲数就是以旋转速度表示的雷诺数

故该问题的无量纲形式为

3二尸（犯，乃3）

即P=（p荷/。）/（丫。/%〃。的）

【5-4】用/定理推倒鱼雷在水中所受阻力FD的表达式，这个阻力FD和鱼雷的速

度V、鱼雷的尺寸/、水的动力粘性系数〃以及水的密度「有关。

【解】依题意有/（心，匕/,0,〃）=0

选/，匕夕为基本物理量，可得到5-3=2个无量纲乃项，即

3二百万茄，4=〜/

对匹进行量纲分析，由

[ML/T2]=[L]x'[L/T]y'[M

M：1=Z）

L：l=X[+y_3Z]

7：-2=一必

得％=2，丁[=2,Z]=l

故"广鑫

对町进行量纲分析，由

[M/LT]=[LY2[L/T]y2[M/l}]Z2

M：l=z2

L：-1=+y2-3Z2

T-T=f

得a=i,y2=i,z?=i

故_J1

pivRe

所以鱼雷在水中所受阻力的后表达是为

22

FD=plVf（Re）

[5-5]用万定理分析管道均匀流动的关系式。假设流速V和水力坡度J、水力

半径R、边界绝对粗糙度6、水的密度「、动力粘性系数〃有关。

【解】依题意有/（匕/,R,M2，4）=0

选R”,「为基本物理量，可得到6-3=3个无量纲乃项，即

=J='=M

RW"，乃2一商万方'町"斤防万7

对t]、乃2进行量纲分析，容易看出

对町进行量纲分析，由

[M/LT]=[L]X3[L/T]yi[M/

M：1=z3

L：-1=x3+y3-3Z3

T：-i=-y3

得七=1,%=1,4=1

所以，=/0/H,Re）

[5-61作用于沿圆周运动的物体上的力尸与物体的质量相、流速丫和圆的半径

R有关，试用万定理证明产与机P/R成正比。

【解】依题意有/（根,匕尺尸）=0

选九KR为基本物理量，可得到4-3=1个无量纲九项，即

F

/~mx'Vy'R:'

对可进行量纲分析，由

[ML/T2]=[M]x'[L/T]y'[L]Zl

M：1=%

L：1=x+Z]

TJ-2二f

得％=1,X=2,Z[=-1

所以尸与成正比。

【5-7】煤油管路上的文德利流量计〃=300mm,d{=150mm,流量Q=100Us,

煤油运动粘度匕ESxlO'n</s,煤油密度g=820kg/m3。用匕=lxl0$m2/s的

水在缩小为圆形1/3的模型上试验，试求模型上的流量是多少？如果在模型上测

出水头损失%2=02m,收缩管段上压强差Ap2=lbar,试求煤油管路上的水头损

失和收缩管段的压强差。

【解】管流用雷诺模型法。他的三个基本比例尺依题给数据，是：

比例长度百=2=q=3

2a

运动粘度比例尺a=工==4.5

v21x10

密度比例尺之=为=倭=0.82

Pl1UUU

流量比例尺3Q=46=4.5X3=13.5

.・.模型上的流量2=}黑=7.417s

压强比例尺£=蜂=°另2：4.52二1845bar

〃年32

所以实物上的压强差

bp】-fjp=1x1.845=1.845bar

水头损失是单位重量流体的能量降低，他的比例尺可以由雷诺模型法中的

功、能比例尺头=外消2除以重量比例尺/=电亨来求出（因为/=咫，而重力

加速度的比例尺4=1，2=心）。于是水头损失比例尺是

为吟二等号二母12.25

3

e>GbpbibiVJ

所以实物上的水头损失%=与诙=0.2x2.25=0.45m油柱

【5-8】汽车高度4=2m,速度%=108knVh,行驶环境为2（TC时的空气。模型

实验的空气为0℃,气流速度为〃2=6OWso

（1）试求模型中的汽车高度为；

（2）在模型中测得正面阻力为£=1500N,试求实物汽车行驶时的正面阻力为

多少？

【解】（TC、20C时模型与实物空气的密度分别是02=L293xlO-3kg/m3,

p、=1.205x10?kg/m3

0°C、2（TC时模型与实物的运动粘度分别是匕=13.7x10"n?/s,

匕=15.7xl0'6m2/s

用雷诺模型法，它的比例尺是：

^77777777777777777777

运动粘度比例尺4=力=?7殁：=1.146

%13.7x10^

密度比例尺^=—=1205x10：=093

Pp.1.293x10，

速度比例尺不=:黑赊=0.5

比例长度a=Z=^^=2.292

加0.5

得模型汽车高度为

h2

必二工=二一=0.873m

「就2.292

据雷诺模型法可得力的比例尺是

6P=B力试=0.93x2.2922x0.52=1.22

于是可得实物上的正面阻力为

"P?31500xl.22=1830N

[5-9]在实验室中用①=20的比例模型研究溢流堰的流动。

(1)如果圆形堰上水头〃=3m试求模型上的堰上水头；

(2)如果模型上的流量。=0.19m3/s,试求圆形上的流量；

(3)如果模型上的堰顶真空度儿=200mm水柱，试求原型上的堰顶真空度。

【解】水工结构的重力流应当用富鲁德模型法，其基本比利尺是：

长度比例尺4=20

密度比例尺当=1

在富鲁德模型法中

流量比例尺多=2产=1789

堰顶真空度比例尺心=卜=且=5»/=1x20=20

%P2

于是可得模型上的堰上水头为

=—=0.15m

,G20

原型上的堰顶真空度为

4]=hvl8hv=0.2x20=4m水柱

[5-10]题中的左图是用于水管的孔板流量计，孔板前后的压强差用水银差压计

测量。实验得知其流量系数保持不变时的最小流量为。=1617s,此时差压计读

数〃=45mm。右图是准备用于空气管道的孔板流量计的设