4.1数列的概念（第1课时数列的概念与简单表示）课件高二数学人教A版选择性

第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示人教A版

数学

选择性必修第二册课程标准1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类.3.理解数列的函数特征,掌握判断数列单调性的方法.4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.基础落实·必备知识全过关知识点1

数列1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做

.

数列中的数不能变换位置

n为正整数

3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.首项

名师点睛1.数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.2.符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)0,0,0,6不是一个数列.(

)(2)数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列.(

)2.数列与集合之间有怎样的区别与联系?××提示

(1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有确定性、有序性、可重复性;(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中的每一项必须是数;(3)数列{an}不是集合,它是数列的一个整体符号,{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示数列的第n项.3.[人教B版教材习题]已知数列{an}为2,4,8,16,…,写出a1,a2,a3.解

a1=2,a2=4,a3=8.知识点2

数列与函数的关系从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如下表:定义域正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})对应关系自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n)值域自变量从小到大依次取值时对应的函数值构成过关自诊1.数列对应的函数的图象有什么特点?2.在1984年到2016年的9届夏季奥运会上,我国获得的金牌数依次排成数列:15,5,16,16,28,32,51,38,26.试画出该数列的图象.提示

是一系列孤立的点.解

该数列的图象如图所示.知识点3

数列的分类

分类依据类型含义按项的个数有穷数列项数

的数列

无穷数列项数

的数列

按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都

它的前一项的数列

an+1>an递减数列从第2项起,每一项都

它的前一项的数列

an+1<an常数列各项都

的数列

摆动数列从第2项起,有些项

它的前一项,有些项

它的前一项的数列

有限

无限大于小于相等大于小于过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.(

)(2)数列0,1,2,3,4,5是有穷数列.(

)(3)常数列中的项不能为0.(

)2.若无穷数列{an}满足a1<a2<a3,则数列一定是递增数列吗?×√×提示

不一定,因为只有部分项满足递增数列的大小关系,不能确定数列一定是递增数列.知识点4

数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的

.

名师点睛1.并不是所有的数列都有通项公式.2.同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos

nπ等.通项公式

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)所有的数列都有通项公式.(

)(2)数列1,3,5,7,…的第10项是21.(

)(3)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数解析式.(

)(4)数列0,1,2,3,…的通项公式可表示为an=n-1,n∈N*.(

)××√√2.[北师大版教材习题]已知数列{an}的通项公式为an=25-2n,在下列各数中,不是数列{an}的项的是(

)A.1 B.-1 C.2 D.3C解析

因为2n是偶数,所以25-2n为奇数,故2不是数列{an}的项.重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一数列的概念及分类【例1】

给出下列说法:①数列中的项数一定是无限的;②数列1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷数列;其中正确说法的序号是

.

分析

根据数列的定义、分类进行判断.③

解析

对于①,错误,数列中的项数可以是有限的或无限的;对于②,错误,该数列是无穷数列,但不是递增数列;对于③,正确.规律方法

数列类型的判断在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.是递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷还是无穷数列则看项的个数是有限个还是无限个.变式训练1下列数列既是递增数列又是无穷数列的是(

)B解析

A,B,C中的数列都是无穷数列,A,C中的数列都是递减数列,虽然D中的数列是递增数列,但是该数列只有四项,是一个有穷数列,故只有B中的数列既是递增数列又是无穷数列.探究点二根据数列的前几项求通项公式【例2】

写出下列数列的一个通项公式:分析

观察、分析项的特征,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.解

数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9999,…;解

数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).解

各项加1后,分别变为10,100,1

000,10

000,…,此数列的一个通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.解

数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分子的后一部分是减去一个自然数,其通项公式为n,综合得原数列的一个通解

这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是(6)4,0,4,0,4,0,….解

由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.规律方法

用观察法求数列的通项公式的一般规律(1)一般数列通项公式的求法(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.变式训练2写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(2)an=2n+1.探究点三数列通项公式的应用分析

数列的前3项已知,由此代入通项公式,可得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得a,b,c的值,从而求出数列的通项公式,再求a4,a5;令an=,解关于n的方程,可判断

是不是数列中的项.规律方法

1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.2.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的项.变式训练3在数列{an}中,a1=2,a17=66,an是n的一次函数.(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断88是不是数列{an}中的项.(2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5∉N*,∴88不是数列{an}中的项.探究点四数列的单调性及其应用角度1.数列单调性判断【例4】

已知数列{an}的通项公式an=

(k∈R).(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.分析

(1)由于数列的通项公式已知,因此可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性;(2)可根据数列是递减数列,得出an与an+1的大小关系,从而确定k的取值范围.规律方法

判断数列的单调性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作差法、作商法.作差法判断数列单调性的步骤为先作差,再变形、定号,最后下结论.作商法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与1的大小关系.变式训练4已知函数f(x)=,设数列{an}的通项公式为an=f(n),其中n∈N*.(1)求证:0≤an<1;(2)判断{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.角度2.利用数列单调性求数列最大(小)项【例5】

(1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N*.①数列中有哪些项是负数?②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值.分析①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出.解

①an=n2-5n-6<0,n>0,解得0<n<6.∵n∈N*,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数,即-10,-12,-12,-10,-6.(2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1)(n∈N*),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由.时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴数列中有最大项,最大项为规律方法

求数列的最大(小)项的两种方法(1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.变式训练5已知数列{an}的通项公式为an=-3n2+88n,则数列{an}各项中最大项是(

)A.第13项 B.第14项

C.第15项 D.第16项C解析

根据题意,数列{an}的通项公式为an=-3n2+88n,则an-1=-3(n-1)2+88(n-1)=-3n2+94n-91,则an-an-1=(-3n2+88n)-(-3n2+94n-91)=-6n+91.当1<n≤15时,an-an-1>0,即an>an-1,当n≥16时,an-an-1<0,即an<an-1,又a1=85<a15,故数列{an}各项中最大项是第15项.故选C.本节要点归纳1.知识清单:(1)数列的概念与分类.(2)根据数列的前几项写出数列的通项公式.(3)数列与函数的关系.(4)数列通项公式的应用.2.方法归纳:观察法、归纳法、猜想法.3.常见误区:(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不够全面;(2)不注意用(-1)n进行调节,不注意分子、分母间的联系;(3)分不清数列与集合,数列与函数之间的不同点.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516A级必备知识基础练1718192021B123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021A.70 B.28

C.20

D.8C1234567891011121314151617181920214.[探究点三]数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n项为(

)A.6n-1 B.-6n+1 C.6n+2 D.-6n-2B解析

由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.1234567891011121314151617181920215.[探究点二·2023陕西西安检测]数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为(

)A.an=(-1)n+12n B.an=(-1)n2nC.an=(-1)n+12n

D.an=(-1)n2nB解析

数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故an=(-1)n2n.故选B.123456789101112131415161718192021AB1234567891011121314151617181920217.[探究点一](多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(

)CD解析

选项C,D既是无穷数列又是递增数列.1234567891011121314151617181920218.[探究点四(角度2)]已知数列{an}的通项公式为an=2021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为

.

673又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673.1234567891011121314151617181920219.[探究点三]已知数列{an}的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象:(1)an=2;123456789101112131415161718192021解

列表法给出这两个数列的前5项:n12345an22222bn1-43-165它们的图象分别为

12345678910111213141516171819202110.[探究点二]写出以下各数列的一个通项公式.(2)an=11-n;(3)an=n2+1;12345678910111213141516171819202111.[探究点三]已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.B级关键能力提升练123456789101112131415161718192021C12345678910111213141516171819202113.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是(

)A.第4项 B.第5项 C.第6项

D.第7项C12345678910111213141516171819202114.(多选题)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以是(

)ABC123456789101112131415161718192021∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;故选ABC.123456789101112131415161718192021A12345678910111213141516171819202116.已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为

.

(0,+∞)12345678910111213141516171819202117.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=

,bn=

.

n-1n2-3n+3

解析

当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.123456789101112131415161718192021(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项