中考衔接点9　等边三角形与含30°角的直角三角形的性质

中考衔接点9等边三角形与含30°角的直角三角形的性质中考早知道：等边三角形结合平行线求角度或利用等边三角形的性质和判定进行相

关计算，含30°角的直角三角形的性质的应用.

(2023驻马店期末)如图，直线

a

∥

b

，等边三角形

ABC

的顶点

C

在直线

b

上，∠2＝40°，则∠1的度数为(

A

)母题1图A.

80°B.

70°C.

60°D.

50°A子题1.1(2023郑州期末)如图，△

ABC

是等边三角形，

AD

⊥

BC

于点

D

，点

E

在

AC

上，且

AE

＝

AD

，则∠

DEC

的度数为(

A

)子题1.1图A.

105°B.

95°C.

85°D.

75°A

如图，等边三角形纸片

ABC

的边长为6，

E

，

F

是边

BC

上的三等分点.分别

过点

E

，

F

沿着平行于

BA

，

CA

方向各剪一刀，则剪下的△

DEF

的周长是

⁠.母题2图6

解析：∵等边三角形纸片

ABC

的边长为6，

E

，

F

是边

BC

上的三等分点，∴

EF

＝

2.∵△

ABC

是等边三角形，∴∠

B

＝∠

C

＝60°.又∵

DE

∥

AB

，

DF

∥

AC

，∴∠

DEF

＝∠

B

＝60°.∠

DFE

＝∠

C

＝60°，∴△

DEF

是等边三角形，∴剪下的△

DEF

的周

长是2×3＝6.子题2.1如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(

B

，

C

为小路端点)和一棵小树(

A

为

小树位置).测得的相关数据为∠

ABC

＝60°，∠

ACB

＝60°，

BC

＝48米，则

AC

＝

米.子题2.1图48

子题2.2如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较

长直角边的中点

M

转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角

顶点

C

.

已知

AC

＝4，则这两块直角三角板顶点

A

，

A

'之间的距离为

⁠.子题2.2图2

解析：如图，连接AA'.

创设情境

(教材P81例5改编)如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，∠

BAC

＝120°，点

E

是斜梁

AB

的中点，立柱

AD

，

EF

，

GH

垂直于横梁

BC

，

AB

＝8

m，则

EF

的长为(

C

)母题3图A.

8

mB.

4

mC.

2

mD.

6

mC子题3.1(2024商丘期末)如图，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

B

＝30°，边

AB

的垂直平

分线

DE

交

AB

于点

E

，交

BC

于点

D

，连接

AD

，若

CD

＝5，则

BC

的长为(

B

)子题3.1图A.

18B.

15C.

12D.

10解析：∵

DE

是边

AB

的垂直平分线，∴

AD

＝

BD

，∴∠

B

＝∠

DAB

.

∵∠

B

＝

30°，∠

C

＝90°，∴∠

CAB

＝60°，∠

DAB

＝∠

B

＝30°，∴∠

CAD

＝60°－30°＝

30°，∴

AD

＝2

CD

＝

BD

.

∵

CD

＝5，∴

BD

＝10，∴

BC

＝10＋5＝15.B

(教材P83习题T12改编)(1)如图1，△

ABD

和△

AEC

都是等边三角形，求证：

BE

＝

DC

；

(2)如图2，已知点

F

在直线

BC

上，∠

ABC

＝60°，以

AF

为边作等边三角形

AEF

，

连接

BE

，求证：

AB

＋

BF

＝

BE

.

5.

情景应用图1中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图2.当伞收紧

时，点

P

与点

A

重合；当伞慢慢撑开时，动点

P

由点

A

向点

B

移动；当点

P

到达点

B

时，伞张得最开.已知伞在撑开的过程中，总有

PM

＝

PN

，

CM

＝

CN

.

(1)求证：

PC

垂直平分

MN

；

(2)若

CN

＝

PN

＝60

cm，当∠

CPN

＝60°时，求

AP

的长.解：(2)∵

CN

＝

PN

＝60

cm，当伞收紧时，点

P

与点

A

重合，∴

AC

＝

CN

＋

PN

＝12