考研数学二分类模拟题95

考研数学二分类模拟题95一、填空题1.

由曲线，x=2及y=2所围图形的面积S=______．正确答案：．[解析]由图可知所求面积为

2.

曲线y=-x3+x2+2x与x轴所围成的图形的面积A=______．正确答案：．[解析]本题是求一条三次抛物线与x轴所围图形的面积．应先求出函数y=-x3+x2+2x的零点：x1=-1，x2=0，x3=2．判断图形哪一部分在x轴下方，哪一部分在上方，则

3.

位于曲线y=xe-x(0≤x＜+∞)下方，x轴上方的无界图形的面积是______．正确答案：1．[解析]

4.

设曲线的极坐标方程为ρ=eaθ(a＞0)，则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为______．正确答案：．[解析]

5.

设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围平面图形的面积是______．正确答案：．[解析]曲线所围成的是“三叶玫瑰线”的一个“花瓣”，注意到图形关于极轴的对称性，其面积为

6.

当0≤θ≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为______．正确答案：．[解析]根据弧长公式得

7.

曲线的弧长s=______．正确答案：．[解析]

8.

质点以速度tsint2米/秒作直线运动，则从时刻秒内质点所经过的路程等于______米．正确答案：．[解析]质点所经过的路程为

9.

一根长度为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x)=-x2+2x+1，则该细棒的质心坐标．正确答案：．[解析]质心坐标

二、解答题1.

过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成．求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．正确答案：解

设切点A的坐标为(x1，y1)，则切线方程为

将点(0，1)代入该切线方程，并注意到y1=lnx1，解得x1=e2，y1=2．

所求面积为

所求体积为

2.

设D是由曲线，直线x=a(a＞0)及x轴围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若Vy=10Vx，求a的值．正确答案：解

由Vy=10Vx，即，解得

3.

设A＞0，D是由曲线段及直线y=0，所围成的平面区域，V1，V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积．若V1=V2，求A的值．正确答案：解

由A＞0，可得

因为V1=V2，即．

4.

计算曲线y=ln(1-x2)上相应于的一段弧的长度．正确答案：解

5.

求摆线一拱(0≤t≤2π)的弧长S．正确答案：解

因为

所以

6.

设ρ=ρ(x)是抛物线上任一点M(x，y)(x≥1)处的曲率半径，s=s(x)是抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，计算的值．(在直角坐标系下曲率公式为)正确答案：解

所以抛物线在点M(x，y)处的曲率半径

抛物线上的弧长

由参数方程求导公式得

从而

7.

设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积．正确答案：解

设切点的横坐标为x0，则切点，曲线在此点的切线斜率为，于是切线方程为

又因它经过原点，以点(0，0)代入，得-2(x0-1)=-x0，解得x0=2，于是切线方程为，即，切点为(2，1)．

由曲线段绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为

由直线段绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为

因此，所求旋转体的表面积为．

8.

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足xf'(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．正确答案：解

由题设知，当x≠0时，，据此并由f(x)在点x=0处的连续性，得

又由已知条件得

即C=4-a，

因此

旋转体的体积为

由

得a=-5，

又因

故a=-5时，旋转体体积最小．

9.

求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．正确答案：解

原方程可化为

这是一阶线性非齐次微分方程，故直接套用公式得

由曲线y=x+Cx2，直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积为

令V'(C)=0，得

解出

又为唯一极小值点，也就是最小值点．因此，

为所求解．

设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．10.

求曲线y=f(x)的方程：正确答案：解

曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为

其中(X，Y)为法线上任意一点的坐标．令X=0，则

故Q点坐标为由题设知

积分得

x2+2y2=C．

由知C=1，故曲线y=f(x)的方程为

x2+2y2=1．

11.

已知曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．正确答案：解

曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为

曲线y=f(x)的参数方程为

故

令，则

曲线与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形．该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)．12.

求的值；正确答案：解

所以

13.

计算极限正确答案：解

已知曲线L的方程为14.

讨论L的凹凸性；正确答案：解

由于

当t＞0时，，故L是凸的．

15.

过点(-1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程；正确答案：解

因为当t=0时，L在对应点处的切线方程为x=1，不合题意，故设切点(x0，y0)对应的参数为t0＞0，则L在(x0，y0)处的切线方程为

令x=-1，y=0．得

解得t0=1或t0=-2(舍去)．

由t=1知，切点为(2，3)，且切线方程为y=x+1．

16.

求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．正确答案：解

由y=0时t=0，t=4知L与x轴的交点分别为(1，0)和(17，0)．故所求平面图形的面积为

17.

设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"-y'+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积．正确答案：解

记y'=p，则y"=p'，代入微分方程，当x＞0时，

解得

因此

由已知y(0)=0，有，于是C2=0，故

由题意，有

所以C1=6，因此

y=2x+3x2．

由于

故所求体积为

设曲线L的方程为．18.

求L的弧长；正确答案：解

，则

于是L的弧长

19.

设D是由曲线L，直线x=1，x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标．正确答案：解

平面图形D的形心横坐标的计算公式为，其中

所以D的形心的横坐标为

平面区域D的形心一般表达式为：

20.

设函数，x∈[0，1]，定义函数列：

f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，…，fn(x)=f[fn-1(x)]，…．

记Sn是由曲线y=fn(x)，直线x=1及x轴所围平面图形的面积，求极限正确答案：解

由数学归纳法得

于是

故

21.

已知函数f(x，y)满足，且f(y，y)=(y+1)2-(2-y)lny，求曲线f(x，y)=0所围图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积．正确答案：解

由得

f(x，y)=(y+1)2+g(x)．

又f(y，y)=(y+1)2-(2-y)lny，得

g(y)=-(2-y)lny，

因此

f(x，y)=(y+1)2-(2-x)lnx．

于是，曲线f(x，y)=0的方程为

(y+1)2=(2-x)lnx(1≤x≤2)．

其所围图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积为

对于偏微分，特别注意积分后不是加上任意常数C，而是加上关于x的任意函数g(x)．

22.

设D是由曲线围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．正确答案：解

设D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，表面积为S，则

23.

为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图)．已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s．在提升过程中，污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?

(说明：①1N×1m=1J；m，N，s，J分别表示米，牛顿，秒，焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计．)

正确答案：解

作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功

W=W1+W2+W3，

其中W1是克服抓斗自重所作的功；W2是克服缆绳重力所作的功；W3为提出污泥所作的功．由题意知

W1=400×30=12000(J)．

将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所作的功为

dW2=50(30-x)dx，

从而

在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥需作功为

dW3=3(2000-20t)dt，

将污泥从井底提升至井口共需时间，所以

因此，共需作功

W=12000+22500+57000=91500(J)．

24.

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与下部承受的水压力之比为5:4．闸门矩形部分的高h应为多少米?

正确答案：解

坐标系的建立如图，则闸门下部边缘抛物线的方程为

y=x2(-1≤x≤1)．

由侧压力公式知，闸门矩形部分所承受的水压力为

其中ρ为水的密度，g为重力加速度．

同理，闸门下部承受的水压力为

按题意，因而有

即3h2-5h-2=0，

解之得h=2，(舍去)．因此闸门矩形部分的高应为2米．

25.

一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图)，计算油的质量．(长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常量ρ，单位为kg/m3．)

正确答案：解

如图所示建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为．图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形．记S1为下半椭圆面积，则．

记S2是位于x轴上方阴影部分的面积，则

设y=bsint，则dy=bcostdt，

于是油的质量为

26.

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由连接而成．

(Ⅰ)求容器的容积；

(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为m，重力加速度为gm/s2，水的密度为103kg/m3．)正确答案：解法1

(Ⅰ)由对称性，所求的容积为

即该容器的容积为．

(Ⅱ)因为当时，功的微元

dW=103gπ(1-y2)(2-y)dy；

当时，功的微元

dW=103gπ[1-(y-1)2)](2-y)dy，

故所求的功为

即所求的功为．

解法2

(Ⅰ)所求的容积为

即该容器的容积为．

(Ⅱ)同解法1．

设f(x)在(-∞，+∞)上有连续导数，且m≤f(x)≤M．27.

求正确答案：解

由积分中值定理和微分中值定理有

28.

证明正确答案：证

由f(x)的有界性及积分估值定理有

又

-M≤-f(x)≤-m，

故有

即

29.

设f'(x)在[0，a]上连续，且f(0)=0，证明：，其中．正确答案：证法1

任取x∈(0，a]，由微分中值定理有

f(x)-f(0)=f'(ξ)x，ξ∈(0，x)．

又因f(0)=0，故f(x)=f'(ξ)x，x∈(0，a]，于是

证法2

设x∈[0，a]，由f(0)=0知

于是

故

对积分作估计，只要对被积函数f(x)作估计即可．条件中给出导数f'(x)及f(0)=0的信息，自然想办法把f(x)和f'(x)联系起来，在高等数学中，联系f(x)和f'(x)的常用的有两种办法，一是微分学中的拉格朗日中值定理(解法1)，二是积分学中的牛顿—莱布尼茨公式(解法2)．

30.

设f(x)在[0，1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，．正确答案：证法1

其中0≤ξ1≤λ≤ξ2≤1．因f(x)递减，则有f(ξ1)≥f(ξ2)．

又λ＞0，1-λ＞0，所以λ(1-λ)[f(ξ1)-f(ξ2)]≥0，即原不等式成立．

证法2

令

又f(x)递减，于是，当0＜λ＜ξ时，F'(λ)＞0，当ξ＜λ＜1时，F'(λ)＜0，且F(0)=F(1)=0，所以，即

设函数31.

当n为正整数，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明：2n≤S(x)＜2(n+1)；正确答案：解

因为|cosx|≥0，且nπ≤x＜(n+1)π，所以

又因为|cosx|是以π为周期的函数，在每个周期上积分值相等，所以

因此，当nπ≤x＜(n+1)π时，有

2n≤S(x)＜2(n+1)．

32.

求正确答案：解

由第一小题知，nπ≤x＜(n+1)π时，有

令x→+∞，由夹逼准则得

33.

设函数f(x)在[0，π]上连续，且．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．正确答案：证

令

则有F(0)=0，F(π)=0．又因为

所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0．若不然，则在(0，π)内或F(x)sinx恒为正，或F(x)sinx恒为负，均与矛盾．但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)=0．

由上证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0(0＜ξ＜π)．

再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别应用罗尔中值定理，知至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得

F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，

即f(ξ1)=f(ξ2)=0．

34.

证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得．正确答案：证

设M与m是连续函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，即

m≤f(x)≤M，x∈[a，b]．

由定积分性质，有

即

由连续函数介值定理，至少存在一点η∈[a，b]，使得

即

35.

若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0．正确答案：证

由上一小题的结论，可知至少存在一点η∈[2，3]，使

又由知，2＜η≤3．

对φ(x)在[1，2]和[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)，得

在[ξ1，ξ2]上对导函数φ'(x)应用拉格朗日中值定理，有

[解析]“加强形式的积分中值定理”设f(x)在[a，b]上连续，则