2024～2025学年度八年级数学上册第1课时 等边三角形的性质和判定教学设计

13.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定教学目标课题13.3.2第1课时等边三角形的性质和判定授课人素养目标1.探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力.2.合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识.教学重点探究等边三角形的性质与判定方法,并进行简单的应用.教学难点等边三角形的性质与判定的应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，引入新知设计意图通过回顾等腰三角形的知识，为后面的探究学习做准备.【复习导入】我们知道，等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形.回顾前面课时的内容，试着填一填下面的表格.那等边三角形又有什么特殊的性质呢？让我们开始今天的学习.【教学建议】回顾完等腰三角形的相关知识后，可任意画一个等边三角形，让学生说说它的腰和底，让学生体会等边三角形的特殊性.活动二：运用旧知，推理新知设计意图由等腰三角形的性质得出等边三角形的性质，加强推理能力.探究点等边三角形的性质和判定问题1把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？（1）从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？由定义可知：等边三角形的三条边都相等.几何语言：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC.（2）从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？你能得到什么结论？试着证明下.【教学建议】等边三角形的每一条边都可以作为底或腰，每一个角都可以作为顶角或底角，让学生根据不同的划分方式，自然地找出更多的等量关系，推理出等边三角形的各种特殊性质.教学步骤师生活动设计意图探索等边三角形的判定方法，加强推理能力.结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB＝AC＝BC，求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．同理∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.(3)从“三线合一”的角度比较两者，等边三角形的“三线”有怎样的关系？等边三角形有几条对称轴？等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”．等边三角形有三条对称轴．(4)结合以上几点，请你完成下面的表格内容.问题2通过前面的学习，我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？(1)通过上面性质的学习，我们很容易联想到：三个角都相等的三角形是等边三角形．已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.求证：△ABC是等边三角形．证明：由∠A＝∠B，得BC＝AC.由∠B＝∠C，得AC＝AB.所以AB＝AC＝BC.所以△ABC是等边三角形．(2)对于一个等腰三角形，如果有一个角是60°，那么它是等边三角形吗？有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝60°，求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝60°，∴60°＋2∠B＝180°.∴∠B＝60°.∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.由(1)中结论可知，△ABC是等边三角形.【教学建议】为了说明有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，除了由顶角∠A＝60°证得结论外，还需由底角∠B＝60°(或∠C＝60°)证得△ABC是等边三角形，教师可根据课堂教学情况，选2位学生分别上台板演另外两种情况的证明．教学步骤师生活动【对应训练】教材P80练习第1～2题．活动三：巩固提升，综合运用设计意图与其他知识结合，加强对等边三角形的性质和判定的掌握.例(教材P80例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等边三角形.追问：想一想，本题还有其他证法吗？证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C，∠A＝60°.∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED.∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE(等角对等边).∴△ADE是等腰三角形.又∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形.【变式训练】变式1若点D，E分别在边AB，AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？解：成立．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED.∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等边三角形.变式2若点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？解：依然成立．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E.∴∠D＝∠E＝∠BAC＝∠DAE.∴△ADE是等边三角形.【教学建议】给学生说明，等边三角形中角的等量关系经常与平行线的性质结合，通过同位角(内错角)相等进行转化，从而得到新的等量关系，以此来判定其他三角形是等边三角形.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.等边三角形有什么特殊性质？2.怎样判定一个三角形是等边三角形？【知识结构】教学步骤师生活动【作业布置】1.教材P83习题13.3第12，14题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计13.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质和判定 1.等边三角形的性质. 2.等边三角形的判定.教学反思本节课利用等腰三角形的知识，推出等边三角形的特殊性质和判定方法，巩固了学生旧知的同时，也提升了学生的推理能力，并让他们掌握了有关等边三角形的新知识．部分学生在推导等边三角形的性质和判定方法时，依靠直观感受，欠缺用数学知识严格推理的理念，今后要对他们的思维习惯进行适当引导.解题大招一利用等边三角形求角度等边三角形的每一个内角都为60°.解题时要仔细观察图形特点，结合其他条件灵活解题．看到垂直可想到互余，看到三角形可想到三角形内角和定理及外角．有时题目未直接给出等边三角形，需要先判定三角形是等边三角形再解题．例1如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（B）A．92°B．102°C．112°D．114°解析：如图，设AB，AC分别交直线a于点D，E.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°.又∠ADE＝∠1＝42°，∴∠DEC＝∠ADE＋∠A＝102°.又a∥b，∴∠2＝∠DEC＝102°.故选B.例2如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（C）A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，连接AB，根据题意得OB＝OA＝AB，∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝60°.故选C.解题大招二利用等边三角形求线段长等边三角形的三条边相等．实际解题时，常常需将等边三角形的判定与性质结合起来，先判定三角形是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．判定等边三角形的关键是找出题中的相等线段和60°角．例3由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝18cm.若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是（C）A．9cmB．16cmC．18cmD．20cm解析：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形．∴AB＝OA＝OB＝18cm，故选C.例4如图是一个残缺不全的三角形纸片，小明通过测量发现AB＝10cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，则三角形纸片破损前的周长为30cm.解析：如图，延长AC，BD相交于点E.∵∠CAB＋∠DBA＋∠E＝180°，∠CAB＝∠DBA＝60°，∴∠E＝60°.∴∠CAB＝∠DBA＝∠E.∴△ABE为等边三角形．∴AE＝BE＝AB＝10cm.∴△ABE的周长＝AE＋BE＋AB＝30cm，即三角形纸片破损前的周长为30cm.例5将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C对应的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为2cm.解析：∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°.∴∠A＝∠ABC＝∠ACB.∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝3－1＝2(cm)．例6如图，在△ABC与△DBC中，AB＝AC＝10cm，DB＝DC，连接AD交BC于点E.若∠ABC＝60°，求BE的长．解：∵AB＝AC＝10cm，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴BC＝AB＝AC＝10cm.∵AB＝AC，DB＝DC，∴点A，D都在BC的垂直平分线上．∴AD是BC的垂直平分线．∴BE＝eq\f(1,2)BC＝5cm.培优点等边三角形、全等三角形的综合问题例1如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交NC于点F.求证：(1)AN＝BM；(2)△CEF为等边三角形．分析：证明：(1)∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°.∴∠ACM＋∠MCN＝∠NCB＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝MC，,∠ACN＝∠MCB，,NC＝BC，))∴△ACN≌△MCB(S