考研数学二分类模拟200

考研数学二分类模拟200一、选择题1.

设，则______A.M＞N＞KB.M＞K＞NC.K＞M＞ND.K＞N＞M正确答案：C[解析]

对于N，由故

故K＞M＞N，故选C。

计算积分的时候，结合奇、偶函数在对称区间上的性质简化计算过程，其中奇函数在对称区间上的积分为0，偶函数在对称区间上的积分等于其一半区间积分的两倍。

2.

设则有______A.I1＜I2＜I3B.I3＜I2＜I1C.I2＜I3＜I1D.I2＜I1＜I3正确答案：D[解析]由于当x∈(π，2π)时，sinx＜0，可知则I2-I1＜0，因此I1＞I2。

又由于对作变量代换t=x-π，得

故

由于当x∈(π，2π)时sinx＜0，ex2-e(x+π)2＜0，可知即I3-I1＞0，可知I3＞I1。

综上所述有I2＜I1＜I3，故选D。

3.

设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1，f(0)=-1且f"(x)＞0，则______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]由于f"(x)＞0，可知函数f(x)是凹函数，即

f(x)≤f(0)+[f(1)-f(0)]x=2x-1，x∈(0，1)，

因此

同理

f(x)≤f(0)+[f(0)-f(-1)]x=-2x-1，x∈(-1，0)，

因此

从而故选B。

根据f"(x)＞0可知函数f(x)是凹函数，而凹函数上任意两点之间的线段都在曲线上方，由此可以找到与f(x)作比较的函数，再结合定积分的比较定理及区间可加性得出结论。

4.

设则______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有从而

可见有I1＞I2，又由知，故选B。

定积分的比较定理：若当x∈[a，b]时，f(x)≥g(x)，则。该定理也可以用于判断定积分的正负：若当x∈[a，b]时，f(x)≥0，则。

5.

设则I，J，K的大小关系为______A.I＜J＜KB.I＜K＜JC.J＜I＜KD.K＜J＜I正确答案：B[解析]当时，因为0＜sinx＜cosx，所以ln(sinx)＜ln(cosx)，因此

同时，又因为

因为

所以

综上可知，I，J，K的大小关系是I＜K＜J。故选B。

都是以x=0为瑕点的反常积分，利用分部积分法易证它们都是收敛的。

如：

其中为定积分，故I收敛。

6.

设则F(x)______A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数正确答案：A[解析]由分析可知，F(x)=F(0)，而

故选A。

二、填空题1.

已知∫f'(x3)dx=x3+C(C为任意常数)，则f(x)=______。正确答案：[解析]对等式∫f'(x3)dx=x3+C两边求导得f'(x3)=3x2。令等式两边积分，故

2.

正确答案：[解析]因为

所以

3.

设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f'(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=______。正确答案：1[解析]当x∈[0，2]时，f(x)=∫2(x-1)dx=x2-2x+C，因为f(x)为奇函数，则f(0)=0，可得C=0，即f(x)=x2-2x。又f(x)是周期为4的奇函数，故f(7)=f(-1)=-f(1)=1。

4.

正确答案：[解析]令t=cosx，则

5.

正确答案：[解析]

6.

正确答案：secx-tanx+x+C[解析]

7.

正确答案：[解析]方法一：

方法二：令t=ex+1，则ex=t-1，x=ln(t-1)，

8.

正确答案：[解析]

9.

当a＞0时，正确答案：[解析]令x=asint，则

10.

正确答案：[解析]令x=tant，则dx=sec2tdt，于是

三、解答题1.

计算不定积分正确答案：解：设x=tant，则

又∫etsintdt=-∫etd(cost)

=-(etcost-∫etcostdt)

=-etcost+etsint-∫etsintdt，

故

因此

2.

正确答案：解：由则

3.

正确答案：解：方法一：

所以

方法二：[解析]当积分式中出现反三角函数arctan，arcsin，arccos或是对数函数ln时，一般都需要利用分部积分法∫udv=uv-∫vdu来计算。计算时，一般把反三角函数或是对数函数当成公式中的u，把其余的函数凑成dv。

4.

正确答案：解：方法一：

又因为

所以

方法二：

5.

正确答案：证明：令x2=t，则

对于I2，令t=s+π，则

于是

上述积分中被积函数注意到若补充定义f(0)=0，则f(t)在[0，π]上连续，且f(t)＞0。根据定积分的性质可得I＞0。

6.

(Ⅰ)证明f(x)是以π为周期的周期函数；

(Ⅱ)求f(x)的值域。正确答案：解：(Ⅰ)由题设条件可得设t=u+π，则有

因此f(x)是以π为周期的周期函数。

(Ⅱ)因为|sinx|周期为π，故只需在[0，π]上讨论值域。因为

令f'(x)=0，得且

又有

因此可知f(x)的最小值是最大值是故f(x)的值域是

7.

设f(x)是区间上单调、可导的函数，且满足

其中f-1是f的反函数，求f(x)。正确答案：解：在的两边同时对x求导得

也就是两边再分别积分得

f(x)=ln|sinx+cosx|+C。

(*)

将x=0代入题中的已知方程可得

由于f(x)是区间上单调、可导的函数，则f-1(x)的值域为且为单调非负的，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln|sinx+cosx|。

8.

设f(x)连续，且正确答案：解：令2x-t=u，则原等式变为

两边同时