高中数学 2.1 从位移、速度、力到向量基础巩固 北师大版必修4

【成才之路】-学年高中数学2.1从位移、速度、力到向量基础巩固北师大版必修4一、选择题1．两列火车从同一站台沿相反方向开走，走了相同的路程．设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题错误的是()A．a与b为平行向量 B．a与b为模相等的向量C．a与b为不相等的向量 D．a与b为相等的向量[答案]D[解析]由于a和b的大小相等，方向相反，所以|a|＝|b|，且a∥b.2．若向量a与b不相等，则a与b()A．不共线 B．长度不相等C．不可能都是单位向量 D．不可能都是零向量[答案]D[解析]若a＝b＝0，则a＝b.3．关于非零向量a的方向上的单位向量a0说法不正确的是()A．a0唯一 B．a0与a方向一致C．a0＝1 D．a0与a是共线向量[答案]C[解析]应写为|a0|＝1.4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所组成的图形是()A．一条线段 B．一段圆弧C．圆上一群孤立点 D．一个圆[答案]D[解析]单位向量长度是一个单位，但方向任意，当把单位向量归结到同一个始点，其终点构成一个圆，即半径为1的圆．故选D.5．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量是零向量②零向量的方向都是相同的③单位向量的长度都相等④单位向量都是同方向的⑤任意向量与零向量都共线A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤[答案]D[解析]由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③⑤正确，④不正确，所以答案是D.6．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是()A．与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))B．与向量eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))C．eq\o(BD,\s\up6(→))的模恰为eq\o(DA,\s\up6(→))的模的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))不共线[答案]D[解析]由有关概念逐一验证知，选项A，B，C正确．二、填空题7．如图，在平行四边形ABCD中，与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量是________，与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量是________．[答案]eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))eq\o(DC,\s\up6(→))8．给出下列说法．①若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；②在平行四边形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号为________．[答案]②③[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确．在平行四边形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故②正确．若a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；若b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以a＝c，故③正确．对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④不正确．三、解答题9．如图所示，在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，N，M分别是AD，BC上的点，且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→)).求证：eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).[证明]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB.又∵eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))方向相同，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))，∴|eq\o(CN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MA,\s\up6(→))|且CN∥MA.∴四边形CNAM是平行四边形．∴|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(NA,\s\up6(→))|，且CM∥NA.又eq\o(CM,\s\up6(→))与eq\o(NA,\s\up6(→))方向相同，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→))，∴eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→)).一、选择题1．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题错误的是()A．CA B．A∩B＝{a}C．CB D．A∩B{a}[答案]B[解析]因为A∩B是由与a共线且与a的模相等的向量构成的集合，即由与a的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，所以A∩B＝{a}是错误的．2．下列说法正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则eq\o(AB,\s\up6(→))所在直线平行于eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直线B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等D．单位向量都相等[答案]C[解析]对于A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上；对于B，由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量，其方向是不确定的；对于C；向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))方向相反，但长度相等；对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．故选C.二、填空题3．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)与向量eq\o(ED,\s\up6(→))相等的向量为______；(2)若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，则向量eq\o(EC,\s\up6(→))的模等于________．[答案](1)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)6[解析](1)利用平行四边形的性质，确定与|eq\o(ED,\s\up6(→))|相等的向量，再确定与eq\o(ED,\s\up6(→))的方向相同．(2)要求|eq\o(EC,\s\up6(→))|需建立|eq\o(EC,\s\up6(→))|与|eq\o(AB,\s\up6(→))|的联系．因为eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以E、D、C三点共线，从而问题解决．(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴应填：eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→)).(2)由(1)知，eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以E、D、C三点共线，|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6.∴应填：6.4．下列命题正确的是________．(1)零向量没有方向；(2)单位向量都相等；(3)向量就是有向线段；(4)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(5)若a＝b，b＝c，则a＝c；(6)若四边形ABCD是平行四边形，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).[答案](4)(5)[解析](1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；(2)该命题不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没要求；(3)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(4)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(5)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；(6)该命题不正确．显然有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，但eq\o(BC,\s\up6(→))≠eq\o(DA,\s\up6(→)).三、解答题5．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，N，M分别是AD，BC上的点，且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))，证明：四边形DNBM是平行四边形．[证明]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD，BC平行且相等．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))，∴四边形CNAM为平行四边形，∴AN，MC平行且相等，∴AD－AN＝BC－MC，即DN＝MB，∴DN，MB平行且相等，∴四边形DNBM是平行四边形．6．一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达C点，求此人从C点走回A点的位移．[解析]如图所示，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝100m，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝100m，∠ABC＝45°＋15°＝60°，∴△ABC为正三角形．∴|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝100m，即此人从C点返回A点所走的路程为100m.∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100m.7．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：求：(1)写出相等的向量；(2)与eq\o(AO,\s\up6(→))共线的向量；(3)模相等的向量；(4)eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(CO,\s\up6(→))是否为相等向量．[解析](1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→)).(2)与eq\o(AO,\s\up6(→))共线的向量为：eq\o(BF,\s\