高中数学 1.3.2 奇偶性 第2课时 习题课课后强化作业 新人教A版必修1

【成才之路】-学年高中数学1.3.2奇偶性第2课时习题课课后强化作业新人教A版必修1一、选择题1．(·全国高考卷Ⅰ)设函数f(x)、g(x)定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)·g(x)|是奇函数[答案]C[解析]设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故A错，同理可知B、D错，C正确．2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是()A．f(x)＝x＋eq\f(1,x) B．f(x)＝x2－eq\f(1,x)C．f(x)＝eq\r(1－x2) D．f(x)＝x3[答案]D[解析]∵对于A，f(－x)＝(－x)＋eq\f(1,－x)＝－(x＋eq\f(1,x))＝－f(x)；对于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，∴A、D选项都是奇函数．易知f(x)＝x3在(0,1)上递增．3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)上的表达式为()A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2)C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2)[答案]D[解析]当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋2x.又f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.))∴f(x)＝x(|x|－2)．故选D.4．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为()A．－5 B．－1C．－3 D．5[答案]B[解析]解法一：令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，则F(x)为奇函数．∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，∴x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3.又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴F(－x)≤3⇔－F(x)≤3⇔F(x)≥－3.∴h(x)≥－3＋2＝－1，选B.5．函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x＞0时，f(x)＞1，且f(3)＝4，则()A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2[答案]D[解析]设任意x1，x2∈R，x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1.∵x2－x1＞0，又已知当x＞0时，f(x)＞1，∴f(x2－x1)＞1.∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在R上是增函数．∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，∴f6．(～胶州三中高一模块测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[答案]D[解析]奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，eq\f(fx－f－x,x)＝eq\f(2fx,x)<0.由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．二、填空题7．(～上海大学附中高一期末考试)设函数f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________.[答案]－1[解析]f(x)＝eq\f(1,x)(x＋1)(x＋a)为奇函数⇔g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.8．(～山东冠县武训中学月考试题)对于函数f(x)，定义域为D＝[－2,2]以下命题正确的是________(只填命题序号)①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)在D上为偶函数②若f(－1)＜f(0)＜f(1)＜f(2)，则y＝f(x)在D上为增函数③若对于x∈[－2,2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)在D上是奇函数④若函数y＝f(x)在D上具有单调性且f(0)＞f(1)则y＝f(x)在D上是递减函数[答案]③④[解析]显然①②不正确，③④正确．9．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是______．[答案]f(x1)>f(x2)[解析]∵x1<0，∴－x1>0，又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)，又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．三、解答题10．设函数f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．[解析]由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴eq\f(ax2＋1,bx＋c)＋eq\f(ax2＋1,c－bx)＝0，∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，∵f(2)<3，∴eq\f(4a＋1,2b)<3，∴eq\f(4a＋1,a＋1)<3，解得：－1<a<2，∴a＝0或1，∴b＝eq\f(1,2)或1，由于b∈Z，∴a＝1，b＝1，c＝0.11．已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．[分析](1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．[解析](1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．∴f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x1<x2，则有f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)＋eq\f(a,x1)－xeq\o\al(2,2)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)·[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则需f(x1)－f(x2)<0恒成立．∵x1－x2<0，x1x2>4，∴只需使a<x1x2(x1＋x2)恒成立．又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，故a的取值范围是(－∞，16]．12．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(1)；(2)证明f(x)在定义域上是增函数；(3)如果f(eq\f(1,3))＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．[分析](1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f[g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．[解析](1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(2)证明：令y＝eq\f(1,x)，得f(1)＝f(x)＋f(eq\f(1,x))＝0，故f(eq\f(1,x))＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(eq\f(1,x1))＝f(eq\f(x2,x1))．由于eq\f(x2,x1)>1，故f(eq\f(x2,x1))>0，从而f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由于f(eq\f(1,3))＝－1，而f(eq\f(1,3))＝－f(3)，故f(3)＝1.在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤eq\f(9,4)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,x－2>