高中数学 1.7.2 柱、锥、台的体积基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学1.7.2柱、锥、台的体积基础巩固北师大版必修2一、选择题1．(·新课标Ⅱ文，7)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq\r(3)，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A．3 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(\r(3),2)[答案]C[解析]本题考查三棱柱、三棱锥的体积问题．由条件知底面B1DC1的面积为侧面面积的一半，即为eq\r(3)，而高为底面等边三角形的高，为eq\r(3)，∴VA－B1DC1＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.2．(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8[答案]B[解析]由正视图知四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，又因为侧棱长相等，所以棱锥是正四棱锥，斜高h′＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，侧面积S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，体积V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3).3．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，高为3，底面为边长是1的正三角形，则三棱锥B′－ABC的体积为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(3),4)[答案]D[解析]∵BB′⊥平面ABC，∴VB′－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)S△ABC·BB′＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).4．(·浙江文，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．72cm3 B．90cm3C．108cm3 D．138cm3[答案]B[解析]本题考查三视图与几何体的体积计算．考查空间想象能力与计算能力．该几何体的直观图为左边是一个横放的棱柱，右边是一个长方体．V＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×6×3＝18＋72＝90cm3.5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D．eq\f(2π,3)[答案]A[解析]本小题考查几何体的三视图与体积计算，此几何体为正方体内有一倒置圆锥．∴V＝2×2×2－eq\f(1,3)×π×2＝8－eq\f(2,3)π.6．三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1A．1∶1∶1 B．1∶1∶2C．1∶2∶4 D．1∶4∶4[答案]C[解析]设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh，又V台＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.∴体积比为1∶2∶4.∴应选C.二、填空题7．(·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．[答案]eq\f(3,2)[解析]本题考查圆柱的侧面积及体积．设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r1、h1，r2、h2，则2πr1h1＝2πr2h2，eq\f(h1,h2)＝eq\f(r2,r1)，又eq\f(S1,S2)＝eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2)，则eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))·eq\f(r2,r1)＝eq\f(3,2).8．棱台的上底面积为16，下底面积为64，则棱台被它的中截面分成的上、下两部分体积之比为________．[答案]19∶37[解析]将棱台恢复成棱锥，如右图所示，AA1，BB1，CC1分别是小棱锥，中棱锥，大棱锥底面上的对应线段，则V小∶V中∶V大＝43∶63∶83＝23∶33∶43＝8∶27∶64，所以(V中－V小)∶(V大－V中)＝(27－8)∶(64－27)＝19∶37，即上、下两部分体积之比为19∶37.三、解答题9．如图所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点．(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2eq\r(3)，求此圆锥的体积．[解析](1)证明：连接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC.∵OH平面SOC，∴QB⊥OH.又OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB.(2)解：连接AQ，∵Q为底面圆周上一点，AB为直径，∴AQ⊥QB.在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2eq\r(3)，∴AB＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4.∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝eq\f(1,2)AB＝2.∴V圆锥＝eq\f(1,3)π·OA2·SO＝eq\f(8,3)π.一、选择题1．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是()A．eq\f(\r(3),24)πR3 B．eq\f(\r(3),8)πR3C．eq\f(\r(5),24)πR3 D．eq\f(\r(5),8)πR3[答案]A[解析]令母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr，∴l＝2r，又∵l＝R，∴r＝eq\f(1,2)R，高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(R2－\f(1,4)R2)＝eq\f(\r(3),2)R.∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π·eq\f(1,4)R2·eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(\r(3),24)πR3.2．(·新课标Ⅱ理，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A．eq\f(17,27) B．eq\f(5,9)C．eq\f(10,27) D．eq\f(1,3)[答案]C[解析]本题考查立体几何的三视图及体积的求法．∵加工前的零件半径为3，高为6，∴体积V1＝9π·6＝54π.∵加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高为4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，∴体积V2＝7π·4＋9π·2＝34π.∴削掉部分的体积与原体积之比＝eq\f(54π－34π,54π)＝eq\f(10,27).故选C.二、填空题3．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14cm3，则棱台的高为________cm.[答案]2[解析]由题意设正四棱台的斜高与上，下底面边长分别为5x,2x,8x，则高h＝eq\r(5x2－4x－x2)＝4x.由棱台的体积公式可得eq\f(1,3)·4x(4x2＋16x2＋64x2)＝14，解得x＝eq\f(1,2).所以h＝2cm.4．如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.[答案]4[解析]该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×5×6))×h＝20，∴h＝4cm.三、解答题5．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B、D、A1(1)求此三棱锥的体积；(2)以BDA1为底面时，求此三棱锥的高．[解析](1)若三棱锥以△ABD为底面，则AA1就是高，所以V＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,6)a3.(2)若以△BDA1为底面，设高为h，则V＝eq\f(1,3)S△BDA1·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)·(eq\r(2)a)2·h＝eq\f(\r(3),6)a2h，又由(1)有V＝eq\f(1,6)a3，所以eq\f(\r(3),6)a2h＝eq\f(1,6)a3，解得h＝eq\f(\r(3),3)a.6．(新课标Ⅱ高考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱锥C－A1DE的体积．[解析](1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF因为DF平面A1CD，BC1⃘平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)得∠ACB＝90°，CD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(6)，DE＝eq\r(3)，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D所以VC－A1DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(3)×eq\r(2)＝1.7．(·辽宁文，19)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高．[解析]思路分析：(1)由三角形全等、等腰三角形的三线合一及线面垂直的判断定理可求得结论1；(2)通过作辅助线求得三棱锥A－BCD的高，从而求了三棱锥G－BCD的高，最后求出此三棱锥的体积．证明：(1)由已知得△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，又G为AD的中点，∴C