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【成才之路】-学年高中数学1.3.1第2课时柱体、锥体、台体的体积强化练习新人教A版必修2一、选择题1.长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是()A.6eq\r(3) B.3eq\r(6)C.11 D.12[答案]A[解析]设长方体长、宽、高分别为a、b、c,则ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,∴V=abc=6eq\r(3).2.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为()A.3 B.4C.5 D.6[答案]A[解析]由题意,V=eq\f(1,3)(π+2π+4π)h=7π,∴h=3.3.(~学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,直角边长为1,则这个几何体的体积为()A.1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)[答案]D[解析]由三视图知,该几何体是三棱锥.体积V=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1=eq\f(1,6).4.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是()A.6π B.5πC.4π D.3π[答案]D[解析]如图过A作AD垂直BC于点D,此几何体为一个大圆锥挖去一个小圆锥V=eq\f(1,3)π×(eq\r(3))2×4-eq\f(1,3)π×(eq\r(3))2×1=3π.故选D.5.(·广东)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()A.4 B.eq\f(14,3)C.eq\f(16,3) D.6[答案]B[分析]根据三视图可知此几何体为棱台,分别确定棱台的底面面积和高即可求得体积.[解析]由四棱台的三视图可知,台体上底面积S1=1×1=1,下底面积S2=2×2=4,高h=2,代入台体的体积公式V=eq\f(1,3)(S1+eq\r(S1S2)+S2)h=eq\f(1,3)×(1+eq\r(1×4)+4)×2=eq\f(14,3).6.如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为20cm,当这个几何体如图(3)水平放置时,液面高度为28cm,则这个简单几何体的总高度为()A.29cm B.30cmC.32cm D.48cm[答案]A[解析]图(2)和图(3)中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个简单几何体的总高度为h,则有π×12(h-20)=π×32(h-28),解得h=29(cm).二、填空题7.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r=________.[答案]eq\r(3)[解析]设底面半径为r,则eq\f(1,3)πr2×4=4π,解得r=eq\r(3),即底面半径为eq\r(3).8.(·江苏)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V[答案]124[分析]找到棱锥的底、高与棱柱的底、高之间的关系,从而可以得出它们的体积之比.[解析]设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h,底面三角形ABC的面积为S,则V1=eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S×eq\f(1,2)h=eq\f(1,24)Sh=eq\f(1,24)V2,即V1V2=124.9.(·全国高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的的侧面积相等且S1S2=94,则V1V2=________.[答案]32[解析]设甲圆柱底面半径r1,高h1,乙圆柱底面半径r2,高h2,eq\f(S1,S2)=eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))=eq\f(9,4),∴eq\f(r1,r2)=eq\f(3,2),又侧面积相等得2πr1h1=2πr2h2,∴eq\f(h1,h2)=eq\f(2,3).因此eq\f(V1,V2)=eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)=eq\f(3,2).三、解答题10.已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.[解析]如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r,R,l,高为h.作A1D⊥AB于点D,则A1D=3.又∵∠A1AB=60°,∴AD=A1D·eq\f(1,tan60°),即R-r=3×eq\f(\r(3),3),∴R-r=eq\r(3).又∵∠BA1A=90°,∴∠BA1D∴BD=A1D·tan60°,即R+r=3×eq\r(3),∴R+r=3eq\r(3),∴R=2eq\r(3),r=eq\r(3),而h=3,∴V圆台=eq\f(1,3)πh(R2+Rr+r2)=eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2+2eq\r(3)×eq\r(3)+(eq\r(3))2]=21π.所以圆台的体积为21π.11.已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.[分析]应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解.解题流程:eq\x(\a\al(△ABC,的特征))eq\o(→,\s\up7(AC⊥BC))eq\x(\a\al(旋转体是两,个同底圆锥))eq\o(→,\s\up7(底面半),\s\do5(径为CD))eq\x(\a\al(求表,面积))eq\o(→,\s\up7(高BD,),\s\do5(AD))eq\x(求体积)[解析]如图,在△ABC中,过C作CD⊥AB,垂足为D.由AC=3,BC=4,AB=5,知AC2+BC2=AB2,则AC⊥BC.所以BC·AC=AB·CD,所以CD=eq\f(12,5),记为r=eq\f(12,5),那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥,且底面半径r=eq\f(12,5),母线长分别是AC=3,BC=4,所以S表面积=πr·(AC+BC)=π×eq\f(12,5)×(3+4)=eq\f(84,5)π,V=eq\f(1,3)πr2(AD+BD)=eq\f(1,3)πr2·AB=eq\f(1,3)π×(eq\f(12,5))2×5=eq\f(48,5)π.[特别提醒]求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面,将空间问题转化为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题,要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的,然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长,再分别代入公式求各自的表面积或体积.12.(·
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