高中数学 1.3.1 第2课时 正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）基础巩固 新人教B版必修4

【成才之路】-学年高中数学1.3.1第2课时正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．函数y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋\f(π,6)))的最小正周期是()A．eq\f(2,5)π B．eq\f(5,2)πC．5π D．eq\f(π,6)[答案]C[解析]T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,\f(2,5))＝5π.2．(·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)曲线y＝sin(2x＋eq\f(π,6))的一条对称轴是()A．－eq\f(5π,12) B．x＝eq\f(5π,12)C．x＝－eq\f(7π,6) D．x＝eq\f(7π,6)[答案]D[解析]令2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴x＝eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.当k＝2时，x＝eq\f(7π,6)，故选D.3．下列表示最值是eq\f(1,2)，周期是6π的三角函数的表达式是()A．y＝eq\f(1,2)sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6)) B．y＝eq\f(1,2)sin(3x＋eq\f(π,6))C．y＝2sin(eq\f(x,3)－eq\f(π,6)) D．y＝eq\f(1,2)sin(x＋eq\f(π,6))[答案]A[解析]函数y＝eq\f(1,2)sin(eq\f(x,3)＋eq\f(π,6))的最大值为eq\f(1,2)，周期为6π，初相为eq\f(π,6)，故选A.4．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x＝eq\f(π,3)对称的是()A．y＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)) B．y＝sin(2x＋eq\f(π,6))C．y＝sin(2x－eq\f(π,3)) D．y＝sin(2x－eq\f(π,6))[答案]D[解析]∵函数的最小正周期为π，排除A，又∵函数图象关于x＝eq\f(π,3)对称，∴当x＝eq\f(π,3)时，函数取最大值或最小值，只有选项D满足，故选D.5．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在区间[0，π]内的一个单调递减区间是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(11π,12))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))[答案]B[解析]由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)得eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(7π,12)＋kπ(k∈Z)，∴选B.6．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是eq\f(π,4)，则f(x)的最小正周期是()A．2π B．πC．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)[答案]B[解析]由题意知eq\f(T,4)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，故选B.二、填空题7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝________.[答案]0[解析]由图象知，T＝eq\f(2π,3)，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(T,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0.8．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则y＝________.[答案]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))[解析]eq\f(T,4)＝2，∴T＝8，ω＝eq\f(π,4)，将点(1,1)代入y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ))中得eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，∵0≤φ<2π，∴φ＝eq\f(π,4).三、解答题9．(·山东潍坊重点中学高一期末测试)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的部分图象如图所示，求函数f(x)的解析式．[解析]由图象知，周期T＝2(eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12))＝π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.因为点(eq\f(5π,12)，0)在函数图象上，所以Asin(2×eq\f(5π,12)＋φ)＝0，即sin(eq\f(5π,6)＋φ)＝0.又因为0<φ<eq\f(π,2)，所以eq\f(5π,6)<eq\f(5π,6)＋φ<eq\f(4π,3).从而eq\f(5π,6)＋φ＝π，即φ＝eq\f(π,6).又点(0,1)在函数图象上，所以Asineq\f(π,6)＝1，解得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．INCLUDEPICTURETIF"一、选择题1．将函数y＝sin(x－eq\f(π,3))图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移eq\f(π,3)个单位，得到图象的解析式是()A．y＝sin(2x＋eq\f(π,3)) B．y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,2))C．y＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)) D．y＝sin(2x－eq\f(π,6))[答案]C[解析]将函数y＝sin(x－eq\f(π,3))图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,3))的图象，再将所得函数图象向左平移eq\f(π,3)个单位，得到函数y＝sin[eq\f(1,2)(x＋eq\f(π,3))－eq\f(π,3)]＝sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,6))的图象，故选C.2．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为()A．y＝2sin(2x＋eq\f(2π,3)) B．y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))C．y＝2sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,3)) D．y＝2sin(2x－eq\f(π,3))[答案]A[解析]由图象可知，A＝2，T＝2[eq\f(5π,12)－(－eq\f(π,12))]＝π，∴ω＝2.∴y＝2sin(2x＋φ)，又∵2×(－eq\f(π,12))＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(2π,3)，∴y＝2sin(2x＋eq\f(2π,3))．3．函数y＝sin|x|的图象是()[答案]B[解析]令f(x)＝sin|x|，x∈R，∴f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴函数f(x)＝sin|x|为偶函数，排除A；又当x＝eq\f(π,2)时，y＝sin|eq\f(π,2)|＝sineq\f(π,2)＝1，排除D；当x＝eq\f(3π,2)时，y＝sin|eq\f(3π,2)|＝sineq\f(3π,2)＝－1，排除C，故选B.4．为了得到函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点()A．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,3)倍(纵坐标不变)B．向右平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,3)倍(纵坐标不变)C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D．向右平移eq\f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)[答案]C[解析]将y＝2sinx的图象向左平移eq\f(π,6)个单位得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象，将y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))图象上各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，则得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的图象，故选C.二、填空题5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是eq\f(2π,7)，初相是eq\f(π,6)，则这个函数的解析式为________．[答案]y＝3sin(7x＋eq\f(π,6))[解析]由题意，知A＝3，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,\f(2π,7))＝7，φ＝eq\f(π,6)，∴y＝3sin(7x＋eq\f(π,6))．6．函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图象C关于直线x＝eq\f(11π,12)对称；②图象C关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))对称；③函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；④由y＝3sin2x的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度可以得到图象C.[答案]①②③[解析]feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝3sineq\f(3π,2)＝－3，①正确；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝3sinπ＝0，②正确；f(x)的增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，令k＝0得增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))，③正确；由y＝3sin2x的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度可以得到图象C，④错误．三、解答题7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的图象的一个最高点为(2,2eq\r(2))，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点(6,0)，试求这个函数的解析式．[解析]已知函数最高点为(2,2eq\r(2))，∴A＝2eq\r(2).又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与x轴相交于点(6,0)，而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为eq\f(1,4)个周期长度，∴eq\f(T,4)＝6－2＝4，即T＝16.∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,8).∴y＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,8)x＋φ)．将点(6,0)的坐标代入，有2eq\r(2)(eq\f(π,8)×6＋φ)＝0，∴sin(eq\f(3π,4)＋φ)＝0，又∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).∴函数的解析式为y＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(π,4))．8．已知函数f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))＋a＋1(其中a为常数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈[0，eq\f(π,2)]时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合．[解析](1)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)．∴函数f(x)的单调增区间为[－eq\f(π,3)＋kπ，eq\f(π,6)＋kπ](k∈Z)．由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z.∴函数f(x)的单调减区间为[eq\f(π,6)＋kπ，eq\f(2π,3)＋kπ](k∈Z)．(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f