2024-2025学年度九年级数学竞赛辅导系列讲座八-相似形

2025学年度九年级数学竞赛辅导系列讲座八——相似形1、在正三角形ABC的边BC、AC上分别有点E、F，且满足BE=CF=a，EC=FA=b（a>b），当BF平分AE时，则eq\f(a,b)的值为（）A、eq\f(\r(,5)-1,2) B、eq\f(\r(,5)-2,2) C、eq\f(\r(,5)+1,2) D、eq\f(\r(,5)+2,2)2、设AD、BE、CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（）A、eq\f(18,5) B、4 C、eq\f(21,5) D、eq\f(24,5)3、O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）A、a：b：c B、eq\f(1,a)：eq\f(1,b)：eq\f(1,c) C、CosA：CosB：CosC D、SinA：SinB：SinC4、如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分面积为（）A、4 B、2eq\r(,3) C、3eq\r(,3) D、4eq\r(,3)5、在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n，则以x、m、n为边长的三角形形状是（）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、随x、m、n的变化而变化6、△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD=DC=FC=1，则AC=（）A、eq\r(,2) B、eq\r(,3) C、eq\r(3,2) D、eq\r(3,3)7、Rt△ABC中，∠C=Rt∠，CD是斜边AB上的高，在BC和CA上分别取点E和F，使△EFD和△ABC相似，这样的△FED有（）个A、1 B、2 C、3 D、多于38、设锐角△ABC的三条高AD、BE、CF相交于H，若BC=a，AC=b，AB=c，则AH·AC+BH·BE+CH·CF的值是（）A、 B、 C、 D、9、设D是△ABC的边AB上的一点，作DE∥BC交AC于点E，作DF∥AC交BC于点F，已知△ADE，△DBF的面积为m和n，则四边形DECF的面积为__________．10、如图，ABCD的对角线相交于O，在AB的延长线上任取一点E，连结OE，交BC于F，若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=___________．11、已知△ABC为锐角三角形，其最大边AC上有一点P（P与A、C不重合），过P作直线l，使l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，则这样的直线可以作______条．12、正方形ABCD边长为1，M、N为BD所在直线上两点，且AM=eq\r(,5)，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为________．13、如图，已知△ABC的面积为1，D为BC的中点，E、F分别在AC、AB上，且S△BDF=eq\f(1,5)，S△CDE=eq\f(1,3)，则S△DEF=_________．14、△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC上的两点，且∠ABC=eq\f(1,2)∠ADC=eq\f(1,3)∠AEC，若BD=11，DE=5，则AC=______．15、如图，已知边长为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形，其中a、b、c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则=___________．16、如图，△ABC中，AB=2，AC=eq\r(,3)，∠A=∠BCD=45°，则BC的长为______，△BDC的面积为______．17、设CD是Rt△ABC斜边AB上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，AC=3，BC=4，求I1I2．18、如图，在△ABC，D、E分别是AC、BC的中点，BF=eq\f(1,3)AB，BD与FC相交于G，（1）求证：EG∥AC；（2）求的比值．19、已知线段AB，只用圆规把线段AB二等分．20、分别以锐角△ABC的三边为边向外作正△ABC、正△BCE、正△CAF，三个正三角形的中心分别为O1、O2、O3，求证：△O1O2O3是正三角形．21、如图，在平行四边形ABCD中，P1、P2、……、Pn-1分别是BD的n等分点，连结AP2并延长交BC于点E，连结APn-2并延长交CD于点F，（1）求证：EF∥BD；（2）若平行四边形ABCD的面积为S，且S△AEF=eq\f(3,8)S，求n的值．22、是否存在一个边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角是另一个内角的2倍的△ABC？证明你的结论．23、如图，在直角梯形ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC与BD交于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为AB中点，且EF+EO=8，求AD+BC的值．24、已知点D在△ABC的边BC上，且与B、C不重合，过D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F，又已知BC=5，①设△ABC的面积为S，若四边形AEDF的面积为eq\f(2,5)S，求BD的长；②若AC=eq\r(,2)AB，且DF经过△ABC的重心G，求EF两点间的距离．25、如图，O是四边形ABCD对角线交点，已知∠BAD+∠BCA=180°，AB=5，AC=4，AD=3，eq\f(BO,DO)=eq\f(7,6)，求BC．26．如图是由四个大小不等的、顶角为120o的等腰三角形拼接而成．已知三角形ABC面积为100，三角形ACD面积为33，三角形ABF面积为35．组成图形的四个等腰三角形中，求最小的一个面积是多少?27．如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，E是CD上一点，且∠EBC=∠ABD．（1）若BC=x，CE=y．求y关于x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；（2）连结AE，是否存在x，使⊿ABE与⊿DBC相似．若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．28．29．如图，正方形ABCD和正方形EFGH中，O为BC、FG的中点，且点F在正方形ABCD内，连AE、BF，则AE：BF的值为．30．如图所示，在⊿ABC的两侧向形外作正⊿ABP和⊿ACQ，点E、F是这两个正三角形的中心，再以EF为一边向上作正三角形DEF．求证：（1）BC=AD；（2）AD⊥BC．31．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若⊿CDF为等腰三角形，则．32．在⊿ABC中，∠A=，∠B=，在边AB上有一点D，使BD=AC，连结CD．求∠BDC的度数．33．（2011年北京市中考）如图在Rt△中，，，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设，，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是()34.等腰梯