专题05 反比例函数性质及性质应用问题（专项训练）（解析版）-二轮基础过关与直击中考

专题05反比例函数性质及性质应用问题专项训练【基础过关|直击中考】1.（2021·四川广安市·中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数中k＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵-3＜0，-1＜0，∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵-3＜-1＜0，∴0＜y1＜y2．∵2＞0，∴点C（2，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故选：A．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．2．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0；∵0＜1＜3，-2＜0∴y2＜y1＜0，y3＞0∴．故选A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．3．（2021·浙江金华市·中考真题）已知点在反比例函数的图象上．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的图象与性质解题．【详解】解：反比例函数图象分布在第二、四象限，当时，当时，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·湖南中考真题）正比例函数与反比例函数的图象或性质的共有特征之一是（）A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点【答案】B【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．【详解】A、正比例函数，函数值随的增大而增大；反比例函数，在每一象限内，函数值随的增大而减小，则此项不符题意；B、正比例函数的图象在第一、三象限都有分布，反比例函数的图象在第一、三象限都有分布，则此项符合题意；C、正比例函数的图象与坐标轴的交点为原点，反比例函数的图象与坐标轴没有交点，则此项不符题意；D、正比例函数，当时，，即其图象经过点，不经过点，则此项不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数和反比例函数的图象与性质是解题关键．5．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数图像的增减性分析解答．【详解】解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，∴当时，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键．6．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知反比例函数，当时，随的增大而减小，那么一次的数的图像经过第（）A．一，二，三象限 B．一，二，四象限C．一，三，四象限 D．二，三，四象限【答案】B【分析】根据反比例函数的增减性得到，再利用一次函数的图象与性质即可求解．【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小，∴，∴的图像经过第一，二，四象限，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．7．（2021·浙江丽水市·中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学【答案】B【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键．8．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若，则ME的长为（）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据菱形的性质得出D点的坐标，利用反比例函数的图象经过线段DC的中点N，求出C点的坐标，进而得出；根据菱形的性质可得，，可判定是等边三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之间的数量关系求解．【详解】∵菱形ABCD，∴∴D点的坐标为（0，2）设C点坐标为（，0）∵线段DC的中点N∴设N点坐标为（，1）又∵反比例函数的图象经过线段DC的中点N∴，解得即C点坐标为（，0），在中，∴∵菱形ABCD∴，，∴是等边三角形又∵于E点，于O点∴，∵，，∴∴又∵在中，∴∴故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角的三角函数．菱形的性质，四边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分一组对角．等边三角形的判定，有一个角为角的等腰三角形是等边三角形．特殊角的三角函数，，，．9．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．10．（2021·湖北宜昌市·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．【详解】解：当m一定时，与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选：B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．11．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①【答案】B【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），∴PC==，PD==，∵，，即，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正确；△PDC的面积===，故③正确；=====，故②错误；故选B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．12．（2021·湖南娄底市·中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标所在的范围．【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：由图知，显然，当时，将其分别代入与计算得；，，此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是：准确画出函数的图象，再通过关键点得出答案．13．（2021·陕西中考真题）若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是______（填“>”、“=”或“<”）【答案】<【分析】先根据不等式的性质判断，再根据反比例函数的增减性判断即可．【详解】解：∵∴即∴反比例函数图像每一个象限内，y随x的增大而增大∵1<3∴<故答案为：<．【点睛】本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键．14．（2021·贵州铜仁市·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，矩形的面积为3，则______________；【答案】3【分析】根据反比例函数k的几何意义，|k|=S矩形ABOC，再根据图像在第一象限，所以k＞0，即可求得k的值．【详解】由题可知，S矩形ABOC=|k|=3，又∵反比例图像过第一象限，∴k＞0，∴k=3，故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题关键是知道过反比例图像上任意一点作x轴和y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|．15．（2021·甘肃武威市·中考真题）若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“<”或“=”）【答案】【分析】先确定的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，再利用反比例函数的性质可得答案．【详解】解：＞的图像在一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，＞＜故答案为：【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握利用反比例函数的图像与性质比较函数值的大小是解题的关键．16．（2021·海南中考真题）若点在反比例函数的图象上，则____（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】>【分析】根据反比例函数的增减性即可得．【详解】解：反比例函数中的，在内，随的增大而减小，又点在反比例函数的图象上，且，，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．17．（2021·浙江宁波市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．【答案】或【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．【详解】解：根据题意，∵点称为点的“倒数点”，∴，，∴点B不可能在坐标轴上；∵点A在函数的图像上，设点A为，则点B为，∵点C为，∴，①当点B在边DE上时；点A与点B都在边DE上，∴点A与点B的纵坐标相同，即，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；②当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，∴，解得：，经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．18．（2021·北京）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________．【答案】【分析】由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．【详解】解：把点代入反比例函数得：，∴，解得：，故答案为-2．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．19．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．（1）求k的值；（2）求直线MN的解析式．【答案】（1）6；（2）【分析】（1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值；（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式．【详解】解：（1）设点A坐标为（m，n），∵∠ABO=90°，∴B（m，0），又AN=，∴N（m，），∵△AOB的面积为12，∴，即，∵M为OA中点，∴M（，），∵M和N在反比例函数图像上，∴，化简可得：，又，∴，解得：，∴，∴M（2，3），代入，得；（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），设直线MN的表达式为y=ax+b，则，解得：，∴直线MN的表达式为．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求出相应的点的坐标是解决问题的关键．20．（2021·河南中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．【详解】解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，设B(a，a)，则有，∴，即B(，)，∴小正方形的边长为，∴小正方形的面积为，大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，∴大正方形的面积为，∴图中阴影部分的面积为16-8=8．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式．21．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点．（1）若点的坐标为，①求，的值．②当时，直接写出的取值范围．（2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值．【答案】（1）①，；②；（2）0【分析】（1）①根据点A关于轴的对称点为点，可求得点A的坐标是，再将点A的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得，；②观察图象可解题；（2）将点B代入，解得的值即可解题．【详解】解（1）①由题意得，点A的坐标是，因为函数的图象过点A，所以，同理．②由图象可知，当时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，即当时，．（2）设点A的坐标是，则点的坐标是，所以，，所以．【点睛】本题考查关于y轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．【答案】（1）,；（2）【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．【详解】（1）四边形是矩形，，为线段的中点将代入，得将，代入，得：，解得（2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P当三点共线时，有最小值，设直线的解析式为将，代入，得，解得令，得【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键．1．（2021·山西中考真题）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（）A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小【答案】D【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键．2．（2021·天津中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出的值，即可比较得出答案．【详解】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：、、．则．故选B．【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．3．（2021·湖南娄底市·中考真题）根据反比例函数的性质、联系化学中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数（a为常数且）的性质表述中，正确的是（）①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③；④A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】该函数可改写为（a为常数且），此时可以类比反比例函数的性质进行判断，或者利用赋值法也可快速进行选择，选择正确的选项即可．【详解】解：，又∵，∴随着x的增大，也会随之增大，∴随着x的增大而减小，此时越来越小，则越来越大，故随着x的增大y也越来越大．因此①正确，②错误；∵，∴，∴，故，因此③正确，④错误；综上所述，A选项符合．故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是将已知函数的形式进行化简整理转化为反比例函数进行判断．4．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．5．（2021·江苏无锡市·中考真题）一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，且的面积为1，则m的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先求出B的坐标，结合的面积为1和，列出方程，再根据在一次函数图像上，得到另一个方程，进而即可求解．【详解】∵一次函数的图象与x轴交于点B，∴B(-n，0)，∵的面积为1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，∴，∴或，解得：n=-2或n=1或无解，∴m=2或-1（舍去），故选B．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．6．（2021·四川自贡市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（）A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18VC．当时， D．当时，【答案】C【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．【详解】解：设，将代入可得，故A错误；∴蓄电池的电压是36V，故B错误；当时，，该项正确；当当时，，故D错误，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．7．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点B关于直线的对称点，易得求出a的值，再根据勾股定理得到两点间的距离，即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴直线OA的解析式为，∵，∴设直线CD的解析式为，则，设点B关于直线的对称点，则①，且，即，解得，代入①可得，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．8．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解．【详解】解：设D点坐标为，∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，∴E点坐标为，同理可得C点坐标为，∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，∵点E为AC的中点，的面积为1，∴，即，可得，，解得，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程．9．（2021·云南中考真题）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．【答案】【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．【详解】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），∵函数经过点（1，-2），∴，得k=-2，∴反比例函数解析式为，故答案为：．【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．10．（2021·山东威海市·中考真题）已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________．【答案】或【分析】设点A坐标为，则点B的坐标为，将点B坐标代入，解出x的值即可求得A点坐标．【详解】解：∵点A为直线上一点，∴设点A坐标为，则点B的坐标为，∵点B在双曲线上，将代入中得：，解得：，当时，，当时，，∴点A的坐标为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数综合问题，用到了关于一条直线的两个点的坐标关系，熟知对称点坐标的关系是解决问题的关键．11．（2021·福建中考真题）若反比例函数的图象过点，则k的值等于_________．【答案】1【分析】结合题意，将点代入到，通过计算即可得到答案．【详解】∵反比例函数的图象过点∴，即故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的性质，从而完成求解．12．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，过反比例函数图象上的四点，，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，，再过，，，分别作轴，，，的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为，，，，，则与的数量关系为_____________．【答案】．【分析】设=m，则O=2m，O=3m，O=4m，由点，，，都在反比例函数图象上，可求得，，，，根据矩形的面积公式可得，，，，由此即可得．【详解】设=m，则O=2m，O=3m，O=4m，∵点，，，都在反比例函数图象上，∴，，，，∴，，，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上点的特征求得、、、是解决问题的关键．13．（2021·四川广安市·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．【详解】解：（1）由题意可得：点B（3，-2）在反比例函数图像上，∴，则m=-6，∴反比例函数的解析式为，将A（-1，n）代入，得：，即A（-1，6），将A，B代入一次函数解析式中，得，解得：，∴一次函数解析式为；（2）∵点P在x轴上，设点P的坐标为（a，0），∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，∴直线AB与x轴交于点（2，0），由△ABP的面积为4，可得：，即，解得：a=1或a=3，∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．14．（2021·山东东营市·中考真题）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；（3）直接写出不等式的解集．【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）或【分析】（1）过点A作轴于点E，根据三角函数的性质，得点A，将点A代入，得；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）连接OB、、，结合（1）的结论，得点B；结合题意得；把代入，得点C；设点的坐标为，通过计算即可得到答案；（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案．【详解】（1）如图，过点A作轴于点E，∵，，∴，，

∴点A，∴双曲线的解析式为，把，分别代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为；（2）如图，连接OB、、把代入，得，∴点B，∴，∴，把代入，得，∴点C设点的坐标为，∵∴，∵，∴点P的坐标为；（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A、点B∴或．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二元一次方程组、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数的性质，从而完成求解．15．（2021·四川乐山市·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解