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文档简介

考研数学二分类模拟261解答题1.

计算二重积分,其中D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}.正确答案:解:令u=x-1,v=y-1,则D变为D'={(u,v)|u2+v2≤2,v≥u},且于是

[考点]二重积分的计算.

[解析]本题的积分区域较复杂,可先换元再计算二重积分.

2.

设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y'(x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,在区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为S2,并设2S1-S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.正确答案:解:y=y(x)在点P处的切线方程为Y-y=y'(X-x).令Y=0,则于是,故由2S1-S2=1知

两边对x求导,得从而yy"-(y')2=0.

令y'=p(y),则

由于y(0)=1,又对令x=0得y'(0)=1,从而C1=1,C2=0,故所求曲线方程为y=ex.[考点]微分方程的几何应用,可降阶的微分方程的解法.

[解析]根据2S1-S2=1,便能得到一个含变限积分的等式,两边求导,就能得到一个形如y"=f(y,y')的可降阶的微分方程.

对令x=0可得y'(0)=1,用于确定通解中一个任意常数的取值.

3.

设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导,且求f(0),f'(0),f"(0)的值.正确答案:解:由题意得

只有f(0)=-1,f'(0)=0,从而求得f'(0)=-1,f'(0)=0,[考点]已知极限求抽象函数的导数.

[解析]利用泰勒公式求解.

4.

设不定积分的结果中不含对数函数,求常数α,β,γ,δ应满足的充分必要条件,并计算此不定积分.正确答案:解:对于部分分式

若A≠0,则积分之后会出现对数函数;若C≠0,则也会出现对数函数,因此A=0且C=0.

将它们代入式①后通分,并令两边分子相等,得

αx3+βx2+γx+δ=B(x2+x+1)+D(x-1)2

=(B+D)x2+(B-2D)x+(B+D).

所以α=0,β=B+D,γ=B-2D,δ=B+D,从而推得α=0,β=δ以及γ可以任意.

当满足上述条件时,被积函数为,因此,

[考点]有理分式的不定积分求解.

[解析]用待定系数法进行分式分解求不定积分.

计算有理函数的积分时,要将有理分式分解为部分分式,但必须熟悉分解原理,最终将其化为

这4种形式.

已知函数f(x)=e-xsinx,求:5.

∫f(x)dx.正确答案:解:由分部积分知[考点]有关周期函数定积分的计算.

[解析]根据函数的周期性利用区间的可加性求解.

这是一道综合性较强的题目,先根据|sinx|的周期性划分积分区间,去掉被积函数中的绝对值,然后再计算定积分.

6.

正确答案:解:令,又因为

|sinx|=(-1)(k+1)sinx,x∈[(k-1)π,kπ],

coskπ=(-1)k,sinkπ=0,

所以

[考点]有关周期函数定积分的计算.

7.

证明:.正确答案:证明:由题意,有

[考点]周期函数的定积分与旋转体的体积.

[解析]根据周期性证明积分等式,利用定积分确定旋转体的体积,并求相关极限值.

这是一道综合性较强的题目,根据|sinx|的周期性划分积分区间,利用已证明的等式求极限.

8.

设f(x)=|sinx|在[0,(2n-1)π](n≥1)上与x轴所围区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为Vn,求.正确答案:解:如下图所示,有

所以

[考点]周期函数的定积分与旋转体的体积.

9.

求积分正确答案:解:因为

[考点]定积分的计算.

[解析]用对称区间上定积分的性质求解.

设f(x)连续,则常见的积分等式为

10.

设矩阵证明AX=B有解,但BY=A无解的充分必要条件是a≠2,b=2.正确答案:解:首先容易得|A|=12(a-2),且

所以当a≠2,b=2时,矩阵A可逆,B不可逆,那么矩阵方程AX=B一定有解X=A-1B.而若矩阵方程BY=A有解,不妨设为Y0,那么对BY0=A取行列式可得|B||Y0|=|A|≠0,由此可知B也可逆,矛盾,所以矩阵方程BY=A无解.

反之,若b≠2,则矩阵B可逆,所以矩阵方程BY=A一定有解y=B-1A,于是若BY=A无解,则b=2,在此情况下,对(A,B)进行初等行变换,化为阶梯形,有

当a≠2时,显然r(A)=r(A,B)=3,所以矩阵方程AX=B有解.

当a=2时,继续作初等行变换,有

由此可知r(A)=2<3=r(A,B),所以矩阵方程AX=B无解,即AX=B有解的充分必要条件是a≠2.

综上可知,矩阵方程AX=B有解,但BY=A无解的充分必要条件是a≠2,b=2.[考点]矩阵方程.

[解析]利用矩阵方程解的判别条件证明.

矩阵方程是线性代数的一个重要题型,实际上也是线性方程组的一种变形考查.本题用到了判别条件:

矩阵方程AX=B有解r(A)=r(A,B)

B的列向量可由A的列向量线性表示.

下面的证明过程可以看出矩阵方程与线性方程组的密切联系.

令X=(x1,x2,…,xn),B=(b1,b2,…,bn),则

AX=B有解Axi=bi都有解(i=1,…,n)

r(A)=r(A,bi)(i=1,…,n)

r(A)=r(A,B).

11.

设φ(x)是在[-a,a]上的连续正值函数,且定义

证明:曲线y=f(x)在[-a,a]上是凹的.正确答案:证明:利用定积分的性质,得

所以

f"(x)=φ(x)-[-φ(x)]=2φ(x)>0,x∈[-a,a].

因此曲线y=f(x)在[-a,a]上是凹的.[考点]含绝对值的积分的求解及函数的凸性.

[解析]利用变限积分的性质,求函数的二阶导数.

本题的关键是先根据区间的可加性,去掉被积函数中的绝对值,然后再根据变限积分的性质求导数.

12.

计算二重积分正确答案:解:

因为f(-x,y)=-f(x,y),且D关于y轴对称,故

因为g(-x,y)=g(x,y),且D关于y轴对称,故其中D1={(x,y)|x2+y2≤1,y≥x≥0}.

于是

[考点]二重积分的计算.

[解析]本题可先利用二重积分的对称性,再利用极坐标计算二重积分.

本题应注意三角函数积分的计算.

设方程组Ax=0的基础解系为α1=(1,1,1,0,2)T,α2=(1,1,0,1,1)T,α3=(1,0,1,1,2)T,方程组Bx=0的基础解系为β1=(1,1,-1,-1,1)T,β2=(1,-1,1,-1,2)T,β3=(1,-1,-1,1,1)T.13.

问线性方程组Ax=0和Bx=0是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.正确答案:解:考虑线性方程组对系数矩阵(α1,α2,α3,β1,β2,β3)作初等行变换化为行最简形矩阵

因而得到方程组的基础解系(-2,0,2,-1,0,1)T,代入后得到的基础解系为ξ=-2α1+2α3=(0,-2,0,2,0)T,求得通解为x=(0,-k,0,k,0)T,其中k为任意非零常数.[考点]线性方程组的公共解.

[解析]两个齐次线性方程组的公共解可以分别被两个方程组的基础解系线性表示,从而得到一个新的齐次线性方程组,求解即得公共解.

公共解和同解的问题也是线性方程组的变形考查内容.

1.公共解问题.

(1)已知两个方程组的一般形式,联立即可求得公共解.

(2)已知一个方程组的通解和另一个方程组的一般形式,代入即可求得公共解.

(3)已知Ax=0和Bx=0的基础解系分别为ξ1,ξ2,…,ξs和η1,η2,…,ηt,则公共解γ满足γ=x1ξ1+x2ξ2+…+xsξs=y1η1+y2η2+…+ytηt,则有齐次线性方程组

x1ξ1+x2ξ2+…+xsξs-y1η1-y2η2+…-ytηt=0,解得xi或yi即可求得γ.

2.同解问题.

(1)齐次线性方程组Ax=0和Bx=0同解

(2)非齐次线性方程组Ax=b1和Bx=b2有解,则Ax=b1和Bx=b2同解

14.

求矩阵C=(AT,BT)的秩.正确答案:解:由此可见,矩阵C=(AT,BT)的秩为4.[考点]线性方程组的公共解.

求数列极限:15.

.正确答案:解:因为而由夹逼定理知

[考点]n项和极限的求法.

[解析]夹逼定理求数列极限.

16.

正确答案:解:因为f(x)=sinx在内单调增加,则当n>2时,

由夹逼定理知,

[考点]n项和极限的求法.

17.

求微分方程y"+4y'+4y=eax的通解,其中a为常数.正确答案:解:对于y"+4y'+4y=0,解特征方程r2+4r+4=0得r1=r2=-2,故其通解为Y=(C1+C2x)e-2x.

当a≠-2时,设y*=b0eax,代入原方程得(a2+4a+4)b0=1,即

当a=-2时,设y*=b0x2e-2x,代入原方程得2b0=1,即

所以,原方程的通解为[考点]二阶常系数非齐次线性方程的求解.

[解析]原方程为自由项形如f(x)=eλxPm(x)(λ为常数,Pm(x)为x的一个m次多项式)的二阶常系数非齐次线性方程,应先求其对应齐次线性方程的通解,再求其自身的一个特解.

值得注意的是,本题中参数a的取值影响了特解的形式,故应对其进行分类讨论.

18.

试确定常数A,B,C的值,使正确答案:解:由题意得,则A=2.

[考点]已知极限求待定系数.

[解析]利用常见结论:

已知极限存在确定待定常数的问题是考研数学的常考题型,其主要方法是将其转化为相应的极限求解.

设求:19.

正交矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.正确答案:解:得λ1=a+2,λ2=λ3=a-1.

当λ1=a+2时,

得特征向量为

当λ2=λ3=a-1时,

得特征向量为

[考点]实对称矩阵的正交相似对角化,正定矩阵的性质.

20.

正定矩阵C,使得C2=(a+3)E-A.正确答案:解:

[考点]实对称矩阵的正交相似对角化,正定矩阵的性质.

[解析]先把C2对角化,再反求矩阵C.

本质上是相似对角化的应用问题,即已知相似对角化,反求矩阵,因此先把C2对角化,再反求矩阵C.

21.

设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得

正确答案:证明:令,将f(x)在x=c处进行泰勒展开,得

其中,η介于x与c之间,取x=a,x=b,则

其中,ξ1介于a与c之间,ξ2介于c与b之间.

式①+式②得

其中,m,M分别为f"(x)在[ξ1,ξ2]上的最小值和最大值.

由介值定理可知,存在,使得

[考点]有关中值等式的证明问题.

[解析]利用泰勒公式证明.

22.

已知问:

(1)当a,b,c为何值时,方程组只有零解?

(2)当a,b,c为何值时,方程组有无穷多解?并求通解.正确答案:解:系数行列式

(1)当a≠b,b≠c,c≠a时,D≠0,方程组仅有零解x1=x2=x3=0.

(2)下面分4种情况:

1)当a=b≠c时,同解方程组为

方程组有无穷多解,全部解为k1(1,-1,0)T,其中k1为任意常数.

2)当a=c≠b时,同解方程组为

方程组有无穷多解,全部解为k2(1,0,-1)T,其中k2为任意常数.

3)当b=c≠a时,同解方程组为

方程组有无穷多解,全部解为k3(0,1,-1)T,其中k3为任意常数.

4)当a=b=c时,同解方程组为

x1+x2+x3=0.

方程组有无穷多解,全部解为k4(-1,1,0)T+k5(-1,0,1)T,其中k4,k5为任意常数.[考点]具体型齐次线性方程组的求解.

[解析]先利用克拉默法则确定参数的范围,再对参数的不同取值用消元法求解.

具体型线性方程组的求解难度不高,但需要注意两点:

(1)如果系数矩阵是方阵,而且系数行列式容易求解,则先考虑克拉默法则;

(2)含参数方程组的计算量相对较大,这也是近年来命题的一个趋势,所以必须计算过关!

23.

设半径为R的圆形闸门,水面与其闸顶平齐,如下图所示,求闸门一侧所受的水压力(水密度为ρ,重力加速度为g).

正确答案:解:如下图所示,由微元法知

故水压力为

根据定积分的几何意义和奇函数在对称区间上积分的性质知(也可用换元法x=Rsint求解)

P=ρgπR3+0=ρgπR3.

[考点]定积分的物理应用.

[解析]用微元法求水压力问题.

24.

设f(x)在[0,1]上可导,f'(x)>0,0≤t≤1,记S1(t)为y=f(x),y=f(t),x=0所围区域的面积,S2(t)为y=f(x),y=f(t),x=1所围区域的面积,证明:存在唯一的ξ∈(0,1),使得

S1(ξ)=kS2(ξ),k>0.正确答

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