考研数学二分类模拟242

考研数学二分类模拟242解答题设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A.

求：1.

二次型xTAx的标准形；正确答案：解：因为A2=A，所以|A||E-A|=0，即A的特征值为0或者1（江南博哥），因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，则二次型xTAx的标准形为．[考点]二次型

2.

|E+A+A2+…+An|的值．正确答案：解：令

B=E+A+A2+…+An

则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(n-r重)，故

|E+A+A2+…+An|=|B|=(n+1)r[考点]二次型

3.

求微分方程的通解．正确答案：解：原方程可写为

y"+2y'+2y=e-x+e-xcosx

那么只需分别求解下列微分方程

y"+2y'+2y=e-x

y"+2y'+2y=e-xcosx

以上方程对应齐次方程的特征方程

r2+2r+2=0

的特征根r1，2=-1±i，对应齐次方程的通解

Y(x)=e-x(C1cosx+C2sinx)

由待定系数法可求得方程

y"+2y'+2y=e-x

的特解为，方程

y"+2y'+2y=e-xcosx

的特解为．

于是所求方程的通解

[考点]常微分方程及其应用

4.

求极限．正确答案：解：记，则

所以原极限等于．[考点]函数、极限

5.

设，证明：存在．正确答案：证明：

所以{xn}单调递减．

由于

则

即{xn}有下界．故{xn}收敛．[考点]函数、极限

6.

设

求正交矩阵T，使得T-1AT为对角矩阵．正确答案：解：

因此A的全部特征值是3(三重)，7．

对于特征值3，求得(3E4-A)x=0的一个基础解系

把α1，α2，α3施密特正交化，得

把β1，β2，β3分别单位化，得

对于特征值7．求得(7E4-A)x=0的一个基础解系：α4=(1，-1，-1，1)T．

把α4单位化，得

令T=(η1，η2，η3，η4)，则T是正交矩阵，且T-1AT=diag{3，3，3，7}．[考点]特征值与特征向量

7.

设非零n维列向量α，β正交且A=αβT．证明：A不可相似对角化．正确答案：证明：令λ为矩阵A的特征值，x为λ所对应的特征向量，则Ax=λx，显然A2x=λ2x，因为α，β正交．所以

A2=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=0

于是λ2x=0，而x≠0，故矩阵A的特征值为λ1=λ2=…=λn=0．

又由α，β都是非零向量得A≠0，且r(0E-A)=r(A)≥1，故

n-r(0E-A)≤n-1＜n

所以A不可相似对角化．[考点]特征值与特征向量

8.

已知f(x)在(2，+∞)内可导，f(x)＞0，且，k为常数，试证：在(2，+∞)内f(x)≤Ax-(k+1)，其中A为与x无关的常数．正确答案：证明：由题设得

xf'(x)+f(x)≤-kf(x)

即

不等式两边同时在(2，x)上积分，得

即

lnf(x)≤-(k+1)lnx+[lnf(2)+ln2k+1]

令lnf(2)+ln2k+1=lnA，则显然有lnf(x)≤ln(Ax-(k+1))，从而f(x)≤Ax-(k+1)．[考点]一元函数微积分

9.

计算，其中D：x2+y2≤1．正确答案：解：令x=rcosθ，y=rsinθ，0≤θ≤2π，0≤r≤1．则

[考点]二重积分

10.

设f(x)，g(x)为(a，b)内的单调递减函数，令

F(x)=max{f(x)，g(x)}，G(x)=min{f(x)，g(x)}

证明：F(x)，G(x)都是(a，b)内的单调递减函数．正确答案：证明：，若x1＜x2，则f(x1)＞f(x2)，g(x1)＞g(x2)，从而

F(x1)=max{f(x1)，g(x1)}＞max{f(x2)，g(x2)}=F(x2)

G(x1)=min{f(x1)，g(x1)}＞min{f(x2)，g(x2)}=G(x2)

即证得F(x)，G(x)都是(a，b)内的单调递减函数．[考点]函数、极限

11.

设A是n阶方阵且满足A2=A，证明：(A+E)k=E+(2k-1)A，其中k是正整数，E是n阶单位矩阵．正确答案：证明：注意到(A+E)k=(E+A)k且Am=A(m=1，2，…，k)．

由二项式公式展开，可得

[考点]矩阵

12.

证明：函数

在x=0的任何空心邻域内都有不可微点，但在x=0是可微的．正确答案：证明：

故f'(0)=0，即在x=0处函数f(x)是可微的．

下面我们指出在x=0处的任何邻域(-δ，δ)(其中δ＞0)中，函数f(x)总有不可微点．事实上，令，则当n充分大时，总可使0＜xn＜δ，从而点xn∈(-δ，δ)．

注意到，故，所以f(x2n)=0且当时，．

则

同理可得f'+(x2n)=π．所以f'-(x2n)≠f'+(x2n)．

于是，函数f(x)在点x2n处不可微，即函数f(x)在x=0的任何空心邻域内都有不可微点．[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

13.

设函数f(x)在(a，b)内可微，a＞0，b＞0且f(a+0)，f(b-0)均存在，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

①正确答案：解：提示：补充定义，令f(a)=f(a+0)，f(b)=f(b-0)，则f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．欲证明的式①可改写成

亦即

因此，对函数，在[a，b]上应用柯西中值定理即得．[考点]一元函数微积分

14.

研究函数

在x=0处的极值．正确答案：解：由于当x≠0时，恒有f(x)＞f(0)，故当x=0时函数有极小值f(0)=0．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

15.

求全微分的原函数u(x，y)．正确答案：解：因为

在整个坐标平面上成立，所以存在定义在整个坐标平面上的函数u(x，y)，使得

由于

所以

其中C为任意常数．[考点]多元函数微积分

16.

求极限．正确答案：解：因为，所以

同理

所以

[考点]多元函数微分学

设A是n阶实对称矩阵．17.

证明若|A|＜0，则存在n维列向量ξ0，使得；正确答案：证明：，故有特征值小于零，设为λ1＜0，对应的特征向量为ξ0，则有，因λ1＜0且，故．[考点]二次型

18.

若|A|＞0，是否对任何n维向量ξ，均有ξTAξ＞0，说明理由．正确答案：解：不是A正定的充分条件，因可能有偶数个负特征值可使题中不等式成立，设λ1＜0，λ2＜0，λi＞0，i=3，…，n，λ1，λ2对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，则有

[考点]二次型

19.

．正确答案：解：令，则x=(u-1)4，dx=4(u-1)3du．于是，有

[考点]一元函数微积分

20.

设f(x)二次可微，f(0)=f(1)=0，，试证：．正确答案：证明：因f(x)在[0，1]上连续，故有最大值．又因，f(0)=f(1)=0，故最大值在(0，1)内部达到．所以存在x0∈(0，1)，使得．于是f(x0)为极大值．由费马定理，有f'(x0)=0．

在x=x0处按泰勒公式展开，存在ξ，η∈(0，1)，使得

因此

而当时

当时