考研数学二分类模拟222

考研数学二分类模拟222一、选择题1.

已知矩阵那么下列矩阵中

与矩阵A相似的矩阵个数为______A.1B.2C.3D.4正确答案：C[解析]二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3，因此那么只要和矩阵Λ有相同的特征值，它就一定和Λ相似，也就一定与A相似。

①和②分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3，所以它们均与A相似，对于③和④，由

可见④与A相似，而③与A不相似。故选C。

2.

设矩阵则______A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C不相似正确答案：B[解析]由|λE-A|=0可知，矩阵A的特征值为1，2，2。又因为

所以3-r(2E-A)=2，故矩阵A可相似对角化，且

由|λE-B|=0可知，矩阵B的特征值为1，2，2。又因为

所以3-r(2E-B)=1，故矩阵B不可相似对角化。

矩阵C本身就是对角矩阵，且其特征值为1，2，2，所以A与C相似，B与C不相似。

如果已知矩阵A为对角矩阵，判断其他矩阵与A是否相似，则先求出其他矩阵的特征值并判断这些矩阵是否可相似对角化。在能相似对角化的前提下，某矩阵的特征值与A相同，则其与A相似，否则，其与A不相似。

3.

矩阵相似的充分必要条件为______A.a=0，b=2B.a=0，b为任意常数C.a=2，b=0D.a=2，b为任意常数正确答案：B[解析]易知的特征值是2，b，0，则的特征值也应该是2，b，0。

事实上，

将a=0代入可知，A的特征值是2，b，0。因此两个矩阵相似，且与b的取值是无关的，故选B。

4.

下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。

选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。

选项c是秩为1的矩阵，由|λE-A|=λ3-4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0。对于二重根λ=0，由秩r(0E-A)=r(A)=1可知齐次方程组(0E-A)x=0的基础解系有3-1=2个线性无关的解向量，即λ=0时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。

选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，-1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由

可知齐次线性方程组(E-A)x=0只有3-2=1个线性无关的解向量，即λ=1时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵不能相似对角化。故选D。

5.

设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，则P-1AP=______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]由Aα2=3α2，有A(-α2)=3(-α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，-α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2%仍是矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量。

当P-1AP=Λ时，P由A的特征向量构成，Λ由A的特征值构成，且P中特征向量与Λ中特征值的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，-2，故对角矩阵Λ应当由1，3，-2构成，因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=-2的特征向量，所以-2在对角矩阵Λ中应当是第二列。故选A。

6.

已知α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不可能是______A.(α1，-α2，α3)B.(α1，α2+α3，α2-2α3)C.(α1，α3，α2)D.(α1+α2，α1-α2，α3)正确答案：D[解析]若P=(α1，α2，α3)，则有AP=PΛ，即

(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，

可见αi是矩阵A属于特征值λi(i=l，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。

若α是属于特征值λ的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。

若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与α的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2-2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3线性无关，故选项B正确。

对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。故选项C正确。

由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1-α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误。故选D。

7.

已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3-2A2，则r(B)=______A.1B.2C.3D.不能确定正确答案：A[解析]因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得

于是

则矩阵B的三个特征值分别为0，O，-1，故r(B)=1。故选A。

8.

设A为n阶实对称矩阵，则______A.A的n个特征向量两两正交B.A的n个特征向量组成单位正交向量组C.对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E-A)=n-kD.对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E-A)=k正确答案：C[解析]实对称矩阵A必可相似对角化，A的属于k重特征值λ。的线性无关的特征向量必有k个，故r(λ0E-A)=n-k。

需要注意的是：实对称矩阵A的特征向量不一定两两正交，但属于不同特征值的特征向量一定正交；n个特征向量不一定是单位正交向量组。故选C。

二、填空题1.

若矩阵只有一个线性无关的特征向量，则这个线性无关的特征向量是______。正确答案：k(1，0，1)T，k≠0[解析]因A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必是三重的，且r(λE-A)=2。由tr(A)=λ1+λ2+λ3=9可得λ1=λ2=λ3=3。于是

显然a≠1。再由(3E-A)x=0的解得特征值λ=3对应的特征向量为(1，0，1)T。故线性无关的特征向量是k(1，0，1)T，k≠0。

2.

已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=______。正确答案：-1[解析]A的特征多项式为

所以矩阵A的特征值是-1，且为三重特征值，但是A只有两个线性无关的特征向量，故

r(-E-A)=1，

因此a=-1。

3.

设矩阵的一个特征向量为则a=______。正确答案：-1[解析]根据特征向量的定义可得即3+2a=1，可得a=-1。

如果α是矩阵A的特征向量，则Aα和向量α线性相关，且它们的对应分量成正比。

4.

已知有三个线性无关的特征向量，则x=______。正确答案：0[解析]由A的特征方程

可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=-1。

因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E-A)=3-2=1，根据

得x=0。

5.

已知矩阵和对角矩阵相似，则a=______。正确答案：-2[解析]因为

所以矩阵A的特征值分别为2，3，3。因为矩阵A和对角矩阵相似，所以对应于特征值3有两个线性无关的特征向量，即(3E-A)x=0有两个线性无关的解，因此矩阵3E-A的秩为1。

可见a=-2。

6.

设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P-1AP=______。正确答案：[解析]因为3α3，α1，2α2分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以

7.

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量组，若Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=-α2+α3，则A的实特征值为______。正确答案：2[解析]由Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α1+α3，可得

由于α1，α2，α3线性无关，故从而A与B有相同的特征值。

因

故A的实特征值为2。

如果某些矩阵的特征值不容易求出，则可以根据相似矩阵必具有相同的特征值，将该矩阵转化为与之相似的另一个容易求特征值的矩阵。

8.

设A是三阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T，则特征值2对应的特征向量是______。正确答案：t(-1，0，1)T，t≠0[解析]设所求的特征向量为α=(x1，x2，x3)T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有

所以对应于特征值2的特征向量是t(-1，0，1)T，t≠0。

9.

设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1，属于λ1的特征向量为(1，-1)T，若|A|=-2，则A=______。正确答案：[解析]设矩阵A的特征值λ1=1和λ2对应的特征向量分别为α1=(1，-1)T和α2=(x1，x2)T。

实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使得而相似矩阵的行列式相等，所以即λ2=-2。

又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以，即x1-x2=0。方程组x1-x2=0的基础解系为α2=(1，1)T。

三、解答题1.

已知a是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵B=

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P。正确答案：解：(Ⅰ)由题意可知：矩阵A与B是等价的，故r(A)=r(B)。

对矩阵A和B分别进行初等行变换，即

显然，r(A)=2，故a=2。

(Ⅱ)令

P=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，

由AP=B可知Aξi=βi，i=1，2，3，即ξi为Ax=βi的解。

因为

所以导出组的基础解系为(-6，2，1)T，三个非齐次线性方程组的特解分别为(3，-1，0)T，(4，-1，0)T，(4，-1，0)T，故三个线性方程组的通解分别为

ξ1=(3，-1，0)T+k1(-6，2，1)T，

ξ2=(4，-1，0)T+k2(-6，2，1)T，

ξ3=(4，-1，0)T+k3(-6，2，1)T，

则

对P作初等行变换可得

由于P可逆，故k2≠k3。

2.

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且

(Ⅰ)求矩阵A的所有特征值与特征向量；

(Ⅱ)求矩阵A。正确答案：解：(Ⅰ)由即特征值λ1=-1，λ2=1对应的特征向量为

又由r(A)=2＜3可知，A有一个特征值为0。设λ3=0对应的特征向量为与两两正交，于是得是特征值0对应的特征向量。

因此k1α1，k2α2，k3η依次是对应于特征值-1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3为任意非零常数。

(Ⅱ)设有

则有

3.

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。

(Ⅰ)求矩阵A的特征值与特征向量；

(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。正确答案：解：(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有

则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为

kα=k(1，1，1)T，其中k是不为零的常数。

又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0·α1，Aα2=0·α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为

k1α1+k2α2=k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T，

其中k1，k2是不全为零的常数。

(Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，只需将α1与α2正交化。

由施密特正交化法，取

再将α，β1，β2单位化，得

令Q=(η1，η2，η3)，则Q-1=QT，且

[解析]求正交相似对角化中正交矩阵的基本步骤：

(1)先求出A的所有特征值及其对应的线性无关的特征向量。

(2)如果特征值是重根，有多个线性无关的特征向量，则将这些特征向量正交化再单位化；如果特征值是单根，仅有一个线性无关的特征向量，则直接将该特征向量单位化。

(3)以上述正交单位向量组为列向量的矩阵即为所求的正交矩阵。

4.

设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0，1，1)T，求矩阵A。正确答案：解：设矩阵A的属于特征值λ=1的特征向量为x=(x1，x2，x3)T。

实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以，即x2+x3=0。方程组x2+x3=0的基础解系为ξ2=(1，0，0)T，ξ3=(0，-1，1)T。

5.

设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=-1，λ3=0；对应λ1，λ2的特征向量依次为p1=(1，2，2)T，p2=(2，1，-2)T，求矩阵A。正确答案：解：因为A为实对称矩阵，故必存在正交矩阵Q=(q1，q2，q3)，使

将对应于特征值λ1，λ2的特征向量单位化，得

由正交矩阵的性质，q3可取为

的单位解向量，则由

可知因此

6.

设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A。正确答案：解：由r(A)=2知，|A|=0，所以λ=0是A的另一特征值。

因为λ1=λ2=6是实对称矩阵的二重特征值，故A属于λ=6的线性无关的特征向量有两个，因此α1，α2，α3必线性相关，显然α1，α2线性无关。

设矩阵A属于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有

解得此方程组的基础解系α=(-1，1，1)T。

根据A(α1，α2，α)=(6α1，6α2，0)得

7.

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。

(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求矩阵B的全部特征值与特征向量；

(Ⅱ)求矩阵B。正确答案：解：(Ⅰ)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A5α1=α1，故

Bα1=(A5-4A3+E)α1=A5α1-4A3α1+α1=-2α1，

即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。

由关系式B=A5-4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的三个特征值为μ1=-2，μ2=1，μ3=1。

设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是

对称矩阵，因此α1与α2，α3正交