2024年中考数学压轴题型（江苏专用）专题05 几何中的尺规作图（解答压轴题）（含解析）

PAGE专题05几何中的尺规作图（解答压轴题）通用的解题思路：尺规作图的解题思路主要包括以下几个步骤：1.理解题目要求：首先，你需要清楚理解题目要求你做什么。这可能涉及到绘制特定的图形，如等边三角形、正方形或圆，或者可能涉及到构造特定的线段或角度。2.分析已知条件：接下来，你需要分析题目给出的已知条件。这可能包括特定的线段长度、角度大小或其他几何信息。这些信息将是你进行作图的基础。3.确定作图步骤：基于题目要求和已知条件，你需要确定作图的步骤。这可能涉及到使用直尺和圆规来绘制线段、作角、作垂线等。4.执行作图步骤：在确定了作图步骤后，你需要按照步骤来执行。在执行过程中，你需要保持精确，确保每一步都符合题目要求和几何原理。5.检查答案：最后，你需要检查你的答案。这可能涉及到验证你的作图是否满足题目要求，或者验证你的作图是否符合几何原理。1．（2023·江苏·中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．

(1)尺规作图：作SKIPIF1<0，使得圆心SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与边SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重叠部分的面积．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）作SKIPIF1<0的角平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径作SKIPIF1<0，即可；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是等边三角形，进而根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，SKIPIF1<0即为所求；

（2）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，如图所示，设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，如图所示，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重叠部分的面积为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键．2．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求出对角线SKIPIF1<0的长；(2)尺规作图：将四边形SKIPIF1<0沿着经过SKIPIF1<0点的某条直线翻折，使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0边上的点SKIPIF1<0处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)作图见解析【分析】（1）连接SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图所示，由勾股定理先求出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中再由勾股定理，SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0，根据轴对称性质，过点SKIPIF1<0尺规作图作线段SKIPIF1<0的垂直平分线即可得到答案．【详解】（1）解：连接SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图所示：

SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）解：如图所示：

【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键．3．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，已知SKIPIF1<0，点M是SKIPIF1<0上的一个定点．

(1)尺规作图：请在图1中作SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0与射线SKIPIF1<0相切于点M，同时与SKIPIF1<0相切，切点记为N；(2)在（1）的条件下，若SKIPIF1<0，则所作的SKIPIF1<0的劣弧SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所围成图形的面积是_________．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先作SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0，再过M点作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0于点O，接着过O点作SKIPIF1<0于N点，然后以O点为圆心，SKIPIF1<0为半径作圆，则SKIPIF1<0满足条件；（2）先利用切线的性质得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据切线长定理得到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出SKIPIF1<0，然后根据扇形的面积公式，利用SKIPIF1<0的劣弧SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所围成图形的面积SKIPIF1<0进行计算．【详解】（1）解：如图，SKIPIF1<0为所作；

；（2）解：∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的劣弧SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所围成图形的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．4．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)用直尺和圆规作图：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据边角边证明SKIPIF1<0即可证明结论成立；（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：所作图形如图，．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键．5．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，SKIPIF1<0分别表示门框和门所在位置，M，N分别是SKIPIF1<0上的定点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度固定，SKIPIF1<0的大小可变．

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度数．(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置SKIPIF1<0．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)在门开合的过程中，SKIPIF1<0的最大值为______．（参考数据：SKIPIF1<0）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）在SKIPIF1<0中，利用锐角三角函数求得结果；（2）以点O为圆心、SKIPIF1<0的长为半径画弧，与以点F为圆心、SKIPIF1<0的长为半径的弧交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0得出门SKIPIF1<0的位置；（3）当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，SKIPIF1<0最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，SKIPIF1<0最大，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．【详解】（1）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（2）门的位置SKIPIF1<0如图1中SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所示．（画出其中一条即可）

（3）如图2，连接SKIPIF1<0，过点O作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点H．

∵在门的开合过程中，SKIPIF1<0在不断变化，∴当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0的值最大．由图2可知，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0取得最大值，此时SKIPIF1<0最大，∴SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．6．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为SKIPIF1<0；环的“肉”的面积为SKIPIF1<0，∴它们的面积之比为SKIPIF1<0；故答案为SKIPIF1<0；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于SKIPIF1<0长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段SKIPIF1<0的垂直平分线，线段SKIPIF1<0的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可

由作图可知满足比例关系为SKIPIF1<0的关系；②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径SKIPIF1<0，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接SKIPIF1<0，然后分别过点C、D作SKIPIF1<0的平行线，交SKIPIF1<0于点F、G，进而以SKIPIF1<0为直径画圆，则问题得解；如图所示：

【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．7．（2022·江苏扬州·中考真题）【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形SKIPIF1<0，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心SKIPIF1<0作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段SKIPIF1<0，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以SKIPIF1<0为斜边的等腰直角三角形SKIPIF1<0；【问题再解】如图3，已知扇形SKIPIF1<0，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点SKIPIF1<0为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形SKIPIF1<0所交的圆弧即为所求．【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆,与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形SKIPIF1<0所交的圆弧CD即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．1．综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．(1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段SKIPIF1<0，将纸片沿线段SKIPIF1<0折叠（如图2）问题1：重叠部分的SKIPIF1<0的形状______（是、不是）等腰三角形．问题2：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则重叠部分SKIPIF1<0的面积为______SKIPIF1<0(2)折纸2：如图3，矩形纸片SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上一点，将SKIPIF1<0沿着直线SKIPIF1<0折叠，使点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0落在边SKIPIF1<0上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图SKIPIF1<0中找出点SKIPIF1<0的位置（保留作图痕迹，不写作法）．(3)折纸3：如图4，矩形纸片SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0为射线SKIPIF1<0上一点，将SKIPIF1<0沿着直线SKIPIF1<0折叠，折叠后点SKIPIF1<0的对应点为SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0的垂直平分线上时，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)是；SKIPIF1<0(2)见解析(3)SKIPIF1<0或15【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理；（1）①设纸片右下角的点为点M，根据平行线的性质以及折叠的性质可得SKIPIF1<0，即可；②过点C作SKIPIF1<0于点H，则SKIPIF1<0，根据勾股定理可得SKIPIF1<0的长，再由三角形的面积公式计算，即可；（2）以点B为圆心，以SKIPIF1<0长度为半径作圆交SKIPIF1<0于点F，作SKIPIF1<0的角平分线SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点E，即可；（3）分两种情况讨论：当点SKIPIF1<0落在长方形纸片SKIPIF1<0的外部时；当点SKIPIF1<0落在长方形纸片SKIPIF1<0的内部时结合锐角三角函数，即可求解．【详解】（1）问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点，∵纸片为矩形，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由折叠的性质知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的形状为等腰三角形，故答案为：是；问题2：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0；（2）以点SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0长度为半径作圆交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0的角平分线SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，作图过程如下：（3）当点SKIPIF1<0落在矩形内部时，如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0的垂直平分线上，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当点SKIPIF1<0落在矩形外部时，如图，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0均落在格点上，以SKIPIF1<0为直径的半圆的圆心为SKIPIF1<0，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（保留作图痕迹）

(1)在图1中线段SKIPIF1<0上确定一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；(2)在图2中作出SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边上的高SKIPIF1<0；(3)在图3中作出SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）如图，设SKIPIF1<0与网格交于点SKIPIF1<0，利用三角形的中位线定理解决问题即可；（2）如图，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0即可；（3）如图，取格点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0即可．【详解】（1）解：如图，线段SKIPIF1<0即为所求；

（2）解：如图，线段SKIPIF1<0即为所求；

（3）解：如图，直线SKIPIF1<0即为所求．

【点睛】本题考查作图，三角形的中位线定理，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．如图，已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以A为圆心，SKIPIF1<0的长为半径作圆，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线与SKIPIF1<0的延长线交于点E．

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接SKIPIF1<0．①试判断直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系，并说明理由；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半径为3，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)①SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，理由见解析；②6【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A与该点并延长交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．（2）①根据垂直平分线性质求得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切；②在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0即可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0即可求解．【详解】（1）如图，SKIPIF1<0为所作垂线；

（2）①SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，理由如下∶SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂线，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分线，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切；②在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0根据勾股定理，得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．4．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)尺规作图：在SKIPIF1<0上找一点P，作SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都相切，与SKIPIF1<0的切点为Q；（保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图中，连接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）结合切线的判定与性质，作SKIPIF1<0的平分线，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0的长为半径画圆即可．（2）由题意可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为等边三角形，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，进而可得答案．【详解】（1）解：如图，作SKIPIF1<0的平分线，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0的长为半径画圆，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为所求．

（2）解：由（1）可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．5．如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0相交于点O．(1)给出下列信息：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．请从上面三个选项中选出两个作为条件，一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．你选择的条件是______，结论是_________．(填序号)(2)在（1）的条件下，已知SKIPIF1<0，请用无刻度的直尺和圆规作菱形SKIPIF1<0，顶点E，F分别在边SKIPIF1<0上(保留作图痕迹，不要求写作法)．【答案】(1)①②，③（答案不唯一）；见解析(2)见解析【分析】（1）条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，证明全等三角形，推出四边形SKIPIF1<0是平行四边形，即可证明结论成立；（2）作线段SKIPIF1<0的垂直平分线分别交边SKIPIF1<0于点E，F，则四边形为所作的SKIPIF1<0菱形．【详解】（1）解：条件①②，结论③；或条件②③，结论①；都是真命题，选择：条件①②，结论③；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0；选择：条件②③，结论①；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0；故答案为：①②，③（答案不唯一）；（2）解：菱形SKIPIF1<0如图所示：．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，作线段的垂直平分线．掌握平行四边形的判定是解题的关键．6．阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图．

(1)如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，请用无刻度直尺与圆规在SKIPIF1<0边上作出一点O，使得SKIPIF1<0过点C且与SKIPIF1<0相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格的四个格点，且SKIPIF1<0．①作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得SKIPIF1<0过点C且与SKIPIF1<0相切于点D；（保留作图痕迹，不需说明作图步骤）②若此网格中每个小正方形边长为1，则SKIPIF1<0的半径为________．（可利用图2备用图计算）【答案】(1)见详解(2)①见详解②SKIPIF1<0【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，圆的切线判定，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；（1）作出SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，即可求解；（2）①连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0的垂直平分线，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，交SKIPIF1<0的垂直平分线于SKIPIF1<0，即可求解；②由SKIPIF1<0可判定SKIPIF1<0，由全等三角形的性质得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可判定SKIPIF1<0，由相似三角形的性质得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，即可求解；掌握作法，能利用判定方法及性质进行求解是解题的关键．【详解】（1）解：如图，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是所求作的点；（2）解：①如图，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是所求作的点；②如图，由图得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由作图过程得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故答案：SKIPIF1<0．7．问题探究：（1）将一直角梯形SKIPIF1<0放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形SKIPIF1<0的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形SKIPIF1<0分成面积相等的两部分；（画出一种即可）（2）如图2，SKIPIF1<0，点A、D在SKIPIF1<0上，点B、C在SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交于点O，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．试说明：SKIPIF1<0；问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形SKIPIF1<0是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，SKIPIF1<0边在x轴正半轴上，SKIPIF1<0平行于x轴，SKIPIF1<0的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在SKIPIF1<0上找一点Q，使SKIPIF1<0将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿SKIPIF1<0修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．①请你利用有刻度的直尺在图中画出SKIPIF1<0的位置，并简要说明作图过程；②若点A的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请求出直线SKIPIF1<0的解析式．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；（2）根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求解；（3）①如图，连接SKIPIF1<0，平移SKIPIF1<0，使其经过点B，交x轴于点M，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点N，量出SKIPIF1<0的中点Q，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0平分梯形SKIPIF1<0的面积，即可求解；②由题意可得SKIPIF1<0，利用待定系数法求得直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，再根据一次函数平移的规律可设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，再把SKIPIF1<0代入求得直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一），理由如下：如图，直线l分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点E、F，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的距离为h，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）①如图，连接SKIPIF1<0，平移SKIPIF1<0，使其经过点B，交x轴于点M，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点N，量出SKIPIF1<0的中点Q，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置如图所示．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分梯形SKIPIF1<0的面积，∴SKIPIF1<0平分五边形SKIPIF1<0的面积，②由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，故可设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．8．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点SKIPIF1<0旋转一个角度SKIPIF1<0，再将旋转后的多边形以点SKIPIF1<0为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为SKIPIF1<0，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，顺SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；若逆时针旋转，记作SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，逆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．例如：如图①，先将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再将SKIPIF1<0以点SKIPIF1<0为位似中心缩小到原来的SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，这个变换记作SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，逆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．(1)如图②，SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，顺SKIPIF1<0，2）得到SKIPIF1<0，用尺规作出SKIPIF1<0．（保留作图痕迹）(2)如图③，SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，逆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，顺SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：四边形SKIPIF1<0是平行四边形．(3)如图④，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0经过（2）中的变换得到的四边形SKIPIF1<0是正方形．Ⅰ．用尺规作出点SKIPIF1<0（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；Ⅱ．直接写出SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①见解析；②SKIPIF1<0【分析】（1）旋转SKIPIF1<0，可作等边SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，从而得出SKIPIF1<0点和点SKIPIF1<0对应点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而作出图形；（2）根据SKIPIF1<0和SKIPIF1<0位似，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0位似得出对应角相等及对应边成比例，进而推出SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，从而推出四边形SKIPIF1<0是平行四边形；（3）要使SKIPIF1<0是正方形，应使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0的度数，得出SKIPIF1<0的度数，从而求出SKIPIF1<0，于是作等边SKIPIF1<0，保证SKIPIF1<0，作直径SKIPIF1<0，保证SKIPIF1<0，这样得出作法．【详解】（1）解：如图，1．以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径画弧，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径画弧，两弧在SKIPIF1<0的上方交于点SKIPIF1<0，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径画弧，两弧交于点SKIPIF1<0，2．延长SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0就是求作的三角形；（2）证明：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0位似，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0位似，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形；（3）解：如图，1．以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0上方作等边SKIPIF1<0，2．作等边SKIPIF1<0的外接圆SKIPIF1<0，作直径SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，3．作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是正方形，证明：由上知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0是正方形，应使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作等边SKIPIF1<0，保证SKIPIF1<0，作直径SKIPIF1<0，保证SKIPIF1<0，这样得出作法；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，平行四边形的判定，尺规作图等知识，解决问题的关键是掌握并灵活运用相关知识．9．如图1，在SKIPIF1<0中，点D在边SKIPIF1<0上，若满足SKIPIF1<0，则称点P是点D的“和谐点”．​(1)如图2，SKIPIF1<0．①求证：点P是点D的“和谐点”；②在边SKIPIF1<0上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用没有刻度的直尺和圆规作图，并写出证明过程．（保留作图痕迹）(2)如图3，以点A为原点，SKIPIF1<0为x轴正方向建立平面直角坐标系SKIPIF1<0，CSKIPIF1<0，点P在线段SKIPIF1<0上，且点P是点D的“和谐点”．①若SKIPIF1<0，求出点P的坐标；②若满足条件的点P恰有2个，直接写出SKIPIF1<0长的取值范围是．【答案】(1)①详见解析；②详见解析(2)①点P的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【分析】（1）①由SKIPIF1<0考虑平角SKIPIF1<0，只要证明SKIPIF1<0即可；②分别做线段SKIPIF1<0、SKIPIF