2025千题百炼-高考数学100个热点问题（二）：第62炼 点线面位置关系含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第62炼点线面位置关系含答案第62炼点线面位置关系的判定一、基础知识（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（1）若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线面垂直的判定：（1）若直线与平面上的两条相交直线垂直，则（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量平面：法向量2、向量关系与线面关系的转化：设直线对应的法向量为，平面对应的法向量为（其中在外）（1）∥∥（2）（3）∥（4）（5）（6）3、有关向量关系的结论（1）若，则平行+平行→平行（2）若，则平行+垂直→垂直（3）若，则的位置关系不定。4、如何用向量判断位置关系命题真假（1）条件中的线面关系翻译成向量关系（2）确定由条件能否得到结论（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假二、典型例题：例1：已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，现给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①中不一定相交。所以无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面垂直。而②中不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设对应法向量为，直线方向向量为，则条件转换为：，可推得，即，③正确；④为线面平行判定，要求在外，所以④错误；综上只有1个命题正确答案：B例2：已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（）A．②③B．③④C．②④D．③思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题①两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平行，例如在正方体中在平面和平面中，虽然，但两个平面不平行，所以①错误②例如：平面∥平面，，但与不垂直，所以②错误③考虑利用向量帮助解决：，所以可以推断，所以可得④考虑利用向量解决：，由垂直关系不能推出，所以④错误答案：D例3：对于直线和平面，的一个充分条件为（）A.B.C.D.思路：求的充分条件，即从A,B,C,D中选出能判定的条件，A选项：例如正方体中的平面和平面可知虽然平面，平面，但这两个平面不平行。B选项：也可利用A选项的例子说明无法推出，C选项可用向量模型进行分析：，所以可得：，即；D选项可利用A选项的例子：，可知平面，平面，但这两个平面不平行，综上所述，只有C为的一个充分条件答案：C例4：给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④思路：分别判断四个命题：①必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可判定两平面平行，所以①错误；②该命题为面面垂直的判定，正确；③空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；④可用反证法确定，假设该直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是②和④答案：D例5：已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（）A．若，，则B．若∥，∥则∥C．若，，则∥D．若∥，，则思路：A选项若直线与平面垂直，则直线与这个平面上的所有直线均垂直，所以A正确B选项可用向量判断，∥，∥，由，无法判断出的关系，所以不能推出∥；C选项并没有说明直线是否在平面上，所以结论不正确；D选项也可用向量判断，∥，，同理由无法判断的情况，所以无法推断出，综上所述：A正确答案：A例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（）①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线平面，直线，则；④是异面直线，则存在唯一的平面，使它与都平行且与距离相等A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D思路：①到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧，如果是同侧，则两点所在直线与平面平行，如果异侧，则直线与平面相交，且交点为这两点的中点。②正确，证明如下：如图，平面，且分别为的中点，过作交于，连接，设是的中点平面③命题中没有说明直线是否在上，所以不正确；④正确，设为异面直线的公垂线段，为中点，过作的平行线，从而由确定的平面与平行且与的距离相等。所以该平面即为所求。答案：D例7：下列命题正确的个数是（）①若直线上有无数个点不在平面内，则∥②若直线∥，则与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线∥，则与平面内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3思路：①“无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点”，即使直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确；②若∥，说明与没有公共点，所以与上任意一条直线都没有公共点，但即使无公共点，的位置关系不只是有平行，还有可能异面，所以②不正确；③线面平行的前提是直线在平面外，而命题③中没有说明“另一条”直线是否在平面上，所以③不正确；命题④可由②得知，与上任意一条直线都没有公共点，命题④正确，综上所述，正确的有1个答案：B例8：直线为两异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在上的任何一点，可作一个平面与都平行B.过不在上的任何一点，可作一个直线与都相交C.过不在上的任何一点，可作一个直线与都平行D.过有且只有一个平面与平行思路：A选项中，如果点与确定的平面与平行，则此平面只和平行，在此平面上，所以这样的是无法作出符合条件的平面；B选项由A所构造出的平面可得，若过的直线与相交，则也在该平面上，所以与无公共点；若过的直线与相交，则无法与相交，综上所述对于这样的点无法作出符合条件的直线；C选项如果过的直线与均平行，则由平行公理可知，与已知条件矛盾，所以C错误；D选项，如果异面，则过只能做出一个平面与平行。在上取两点分别作的平行线，则所唯一确定的平面和平行，且在此平面上。所以D正确答案：D例9：设是两条异面直线，是空间任意一点，则下列命题正确的是（）A.过点必存在平面与两异面直线都垂直B.过点必存在平面与两异面直线都平行C.过点必存在直线与两异面直线都垂直D.过点必存在直线与两异面直线都平行思路：A选项，若平面与均垂直，则推得，与异面矛盾；B选项如果点位于某条直线上，则平面无法与该直线平行；C选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲平移至共面，过的直线只需与这个平面线面垂直，即和都垂直，所以C正确；D选项如果直线与均平行，则由平行公理可得，与异面矛盾。所以C正确答案：C例10：设是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题不正确的是（）A.若∥，∥，在外，则∥B.若，则C.若∥，则∥D.若，且，则∥思路：A选项可通过向量来判断：，由此可得：，因为在外，所以可判定∥，A正确；B选项设，则上所有点的投影落在中，上所有点的投影落在中，因为，所以上所有点的投影均在的交点上，即，所以B正确；C选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则交线平行，所以C正确；D选项中若A,C位于同侧，则命题成立；但如果位于两侧，则满足条件的与相交。故不正确答案：D三、历年好题精选1、（2016，山东胶州高三期末）设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（）A.B.C.D.2、给出下面四个命题：①“直线∥直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；②“直线⊥平面α内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；③“直线，为异面直线”的充分不必要条件是“直线，不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”．其中正确命题的序号是()A．①②B．②③C．③④D．②④3、（2016，大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面，且，给出下列命题（）①若，则②若，则③若，则④若，则其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、（江西中南五校联考）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若B.若C.若D.若5、（2016，宁波高三期末）已知平面与平面交于直线,且直线,直线,则下列命题错误的是（）A．若，且与不垂直，则B．若，，则C．若，，且与不平行，则D．若，，则6、（2016，上海闸北12月月考）已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：①若垂直于同一平面，则与平行②若平行于同一平面，则与平行③若不平行，则在内不存在与平行的直线④若不平行，则与不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．17、设为两条直线，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（）A.若，则B.∥∥，∥，则∥C.若∥，∥，则∥D.若∥，则8、（2015，广东文）若直线是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A.至少与中的一条相交B.与都相交C.至多与中的一条相交D.与都不相交9、（2014，辽宁）已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则习题答案：1、答案：D解析：A选项若不在上，则无法判定；B选项：若，则，所以无法判定；C选项，如果来两两垂直，则无法判定；D选项，如果，则，再由可判定2、答案：D解析：①若平行于所在的平面，则的关系为平行或异面，所以不是充要条件；②由线面垂直定义可知：直线⊥平面当且仅当直线⊥平面α内所有直线，所以②正确；③中若直线不相交，则可能平行。所以不能得到“直线，为异面直线”，③错误；④若平面∥平面，则内所有点到的距离相等，当内存在不共线三点到的距离相等，则两平面可能相交，这三点位于的两侧。所以“内存在不共线三点到的距离相等”是“平面∥平面”的必要不充分条件3、答案：C解析：当三个平面两两相交，交线平行或交于一点，所以若，则三条交线交于一点，即，若，则三条交线平行，，所以②④正确；当三条交线交于一点时，，则夹角不确定，所以①错误；若，因为均在上，所以可知，综上所述，②③④正确4、答案：C解析：A选项：垂直同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，所以A错误B选项：在正方体中，右侧面的棱与底面上的棱平行，但是这两个面不平行，所以B错误C选项：将条件转化为向量：，可推出，即，C正确D选项：若直线上，也满足题目条件，但不平行5、答案：D解析：A选项：可知在上的投影为，若与不垂直，且与不垂直，则由三垂线定理可推得不垂直，与已知矛盾，所以A正确B选项：由，可得，所以C选项：由不平行可知，因为，由面面垂直判定定理可得D选项：两个平面上的直线与交线垂直并不能判定两个平面垂直，故D错误6、答案：D解析：①正方形的三个侧面两两垂直，所以垂直于同一平面的两平面不一定平行，①错误②正方形上底面的直线均与下底面平行，但这些直线不一定平行，②错误③正方形的下底面与侧面不平行，但是底面平行于交线的直线与侧面平行，③错误④考虑其逆否命题为“若与垂直同一平面，则平行”为真命题，所以原命题为真命题，④正确综上所述，正确的只有④7、答案：A解析：利用空间向量判断，对应的方向向量记为，对应的法向量记为A：条件转化为，所以A正确B:条件转化为，无法得到∥C:∥，∥只能得到，无法推出∥D:条件转化为：，无法推出所以只有A正确8、答案：A解析：至少与中的一条相交，考虑反证法，若与都不相交，因为与分别共面，所以，则平行，与已知矛盾。所以原命题成立9、答案：B解析：A选项，平行于同一个平面的两条直线可以有各种位置关系，A错误B选项，符合线面垂直的定义，即若直线与平面垂直，则与该平面上任意一条直线均垂直，所以B正确C选项，直线可以在平面上，所以不正确D选项，正方形上底面的相互垂直的两条棱均与底面平行，所以不正确综上所述：B正确第63炼立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③菱形的对角线相互垂直④勾股定理逆定理：若，则（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下：轴：轴：轴：规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点①中点坐标公式：，则中点，图中的等中点坐标均可计算②利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而，二、典型例题：例1：在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标解：平面两两垂直以为轴建立直角坐标系坐标轴上的点：中点：中点中点中点综上所述：小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。这些过程在解答题中可以省略。例2：在长方体中，分别是棱上的点，，，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标思路：建系方式显而易见，长方体两两垂直，本题所给的是线段的比例，如果设等，则点的坐标都含有，不便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。解：因为长方体两两垂直以为轴如图建系，设为单位长度例3：如图，在等腰梯形中，，，平面，且，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面找过的相互垂直的直线即可。由题意，不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一：（选择为轴），连结可知在中由可解得平面以为坐标轴如图建系：方案二（以为轴）过作的垂线平面以为坐标轴如图建系：（同方案一）计算可得：小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即轴），对于轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足的直线为轴建立的坐标系。例4：已知四边形满足，是中点，将翻折成，使得平面平面，为中点思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时，是等边三角形，四边形为的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面平面，结合是等边三角形，可取中点，则可证平面，再在四边形找一组过的垂线即可建系解：取中点，连结是等边三角形平面平面平面，连结四边形为的菱形为等边三角形两两垂直如图建系，设为单位长度为中点例5：如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，且平面，点为的三等分点（靠近），建立适当的直角坐标系并求各点坐标思路：由平面，可得作为轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取作为轴。在所有点中只有的坐标相对麻烦，对于三等分点可得，从而转化为向量关系即可求出坐标解：平面菱形两两垂直以为坐标轴如图建系可得：设由可得：小炼有话说：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来例6：如图所示的多面体中，已知正方形与直角梯形所在的平面互相垂直，，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路：题目已知面面垂直，从而可以找到与底面垂直，再由底面是正方形，可选为轴，图中点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到解：平面平面又因为直角梯形平面正方形两两垂直以为轴建立直角坐标系坐标轴上的点：底面上的点：点两种确定方式：①可看其投影，落在中点处，且高度为1，所以②设综上所述：例7：如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，，建立适当的