考研数学二分类模拟229

考研数学二分类模拟229解答题1.

设有三个线性无关的特征向量，求x，y之间的关系．正确答案：解：由

得λ1=-1，λ2=λ3=1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，所以r(E-A)=1，由

得x+y=0．[考点]特征值与特征向量

2.

设，B为三阶非零矩阵，且AB=0，求r(A).正确答案：解：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而r(A)≤2．显然A有一个二阶的非零子式，故r(A)≥2，于是r(A)=2．[考点]矩阵

3.

求不定积分．正确答案：解：令，则x=ln(t2-1)，．于是

[考点]一元函数微积分

4.

设α1，α2，…，αs线性无关，并且证明：β1，β2，…，βs线性无关的充分必要条件是．正确答案：证明：设k1β1+…+ksβs=0，即

k1(a11α1+…+a1sαs)+…+ks(as1α1+…+assαs)=0

(k1a11+…+ksas1)α1+…+(k1α1s+…+ksass)αs=0①

由于α1，α2，…，αs线性无关，因此由式①得

齐次线性方程组②的系数行列式，则β1，β2，…，βs线性无关齐次线性方程组②只有零解．[考点]向量

5.

已知n阶矩阵

Aij是元素aij的代数余子式，求．正确答案：解：因，A*=|A|A-1=A-1，则A*的全部元素之和为

[考点]矩阵

6.

设向量组α1，α2，…，αs线性无关，β=b1α1+b2α2+…+bi-1αi-1+biαi+bi+1αi+1+…+bsαs．如果bi≠0，那么用β替换αi以后得到的向量组α1，α2，…，αi-1，β，αi+1，…，αs也线性无关．正确答案：证明：由于

于是

故结论知，α1，…，αi-1，β，αi+1，…，αs线性无关．

注本例中的结论称为替换定理，即设α1，…，αs线性无关，β=b1α1+…+bsαs，如果系数bi≠0，那么用β替换αi后，向量组α1，…，αi-1，β，αi+1，…，αs仍线性无关．

从证明还可以看到，如果bi=0，那么用β替换αi后，向量组α1，…，αi-1，β，αi+1，…，αs就线性相关了．这个结论也可直接从β=b1α1+…+bi-1αi-1+0αi+bi+1αi+1+…+bsαs得到．[考点]向量

7.

计算二重积分，其中D是由曲线x2+y2=x+y所围成的区域．正确答案：解：显然

令，其中0≤θ≤2π，．

所以

[考点]二重积分

8.

已知α1=(1，-2，0，3)T，α2=(2，-5，-3，6)T，α3=(0，1，3，0)T，α4=(2，-1，4，-7)T，α5=(5，-8，1，2)T．求该向量组一个极大无关组并用极大无关组表示其余向量．正确答案：解：令A=(α1，α2，α3，α4，α5)，对矩阵A作初等行变换化成行最简形矩阵

即向量组α1，α2，α3，α4，α5秩为3，最大无关组为α1，α2，α4，且

α3=2α1-α2，α5=α1+α2+α4[考点]向量

9.

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，满足AB=E，E是n阶单位矩阵，证明：A的行向量组线性无关．正确答案：证1：用定义．将A按行分块为，设

k1α1+k2α2+…+knαn=0①

表示成矩阵形式

式②两端右乘矩阵B，得

(k1，k2，…，kn)AB=(k1，k2，…，kn)E=(k1，k2，…，kn)=0

即ki=0(i=1，2，…，n)，故A的行向量组线性无关．

证2：An×m的行向量组线性无关r(A)=n．

因

r(An×m)≤n

又

r(A)≥r(AB)=r(E)=n

故r(A)=n，即A的行向量组线性无关．[考点]向量

10.

设f(x)在[0，+∞)上连续，且，求f(t)．正确答案：解：设x=ρcosθ，y=ρsinθ，0≤ρ≤2t，0≤θ≤2π．

上式两边对t求导得

f'(t)=8πte4πt2+8πtf(t)

即f'(t)-8πtf(t)=8πte4πt2，再由一阶线性微分方程的公式可得通解

显然有f(0)=1，得C=1．则所求函数f(t)=e4πt2(4πt2+1)．[考点]一元函数微积分

11.

计算下述2n阶行列式(主对角线上元素都是a，副对角线上元素都是b，空缺处的元素为0)

正确答案：解：每次都按第1行和最后1行展开，得

D2n=(a2-b2)(-1)(1+2n)+(1+2n)·D2n-2

=(a2-b2)(a2-b2)(-1)[1+(2n-2)]+[1+(2n-2)]·D2n-4

=(a2-b2)2D2n-4=…=(a2-b2)n-1D2=(a2-b2)n[考点]行列式

求极限，设12.

；正确答案：解：利用基本不等式，故，．由此可知

故．[考点]极限、连续及其应用

13.

；正确答案：解1：由于，因此将k=n2，n2+1，…，(n+1)2各不等式相加，可得

而不等式①左右两端的极限皆为2，故．

解2：由于共有2n+2项，最小项为，最大项为，因此

故．[考点]极限、连续及其应用

14.

；正确答案：因nk＜nk+1＜(n+1)k，故，即(k=1，2，…，n)，相加得

令n→+∞，取极限得．同理可得，从而．[考点]极限、连续及其应用

15.

．正确答案：，因，故．[考点]极限、连续及其应用

16.

设，求y'x，及y"x．正确答案：解：取对数，得

对x求导，得

将上式对x求导，得

[考点]一元函数微积分

17.

证明：f(x)=|x|3在x=0处的三阶导数f"'(0)不存在．正确答案：证明：f(x)=|x|3=sgnx·x3，因此

而f"'-(0)=-6，所以f"'(0)不存在．[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

18.

讨论齐次线性方程组何时有非零解?何时只有零解?正确答案：解：对系数矩阵A做初等行变换

当a=-30且b=-41时，r(A)=2＜3，此时齐次线性方程组有非零解．

当a≠-30或b≠-41时，r(A)=3，此时齐次线性方程组只有零解．[考点]线性方程组