2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（解析版）

.3二次函数与一元二次方程、不等式知识点一解无参的一元二次方程【【解题思路】解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．【例1】（24-25高一上·上海·假期作业）解下列不等式：(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6)；(7)．【答案】(1)或(2)(3)(4)或(5)(6)(7)【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为，可化为：，方程的根为，不等式的解集为（或写为）.（2）原不等式可化为，此不等式对应的一元二次方程的根的判别式，原不等式的解集为.（3）原不等式对应的一元二次方程的根的判别式，原不等式的解集为.（4）解：由可得，解得或，故原不等式的解集为或.（5）解：由可得，即，解得，故原不等式的解集为.（6）解：由可得，解得或，故原不等式的解集为.（7）解：由可得，，故原不等式的解集为.【变式】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式：(1)；(2)．(3)；(4)；(5)；(6)．(7)；(8).(9)(10)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)；(10)；【解析】（1）由，得，即，所以，所以不等式得解集为；（2）由，得，无解，所以不等式的解集为.（3），所以，故不等式的解集为；（4），所以，故不等式的解集为；（5）因为的判别式，故原不等式的解集为；（6），所以或，故不等式的解集为.（7）可化为，解得或，所以解集为.（8）可化为，解得，所以解集为.（9）由，则或，所以或，故不等式解集为.（10）由，可得，所以不等式解集为.知识点二已知一元二次不等式的解求参数【【解题思路】已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．【例2】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为，所以且方程的解为，所以，所以，则不等式，即为不等式，则，解得，所以不等式的解集为.故选：D.【变式】1．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】关于的一元二次不等式的解集为，则，且是一元二次方程的两根，于是，解得，则不等式化为，即，解得，所以不等式的解集是．故选：A2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（

）A．B．C．D．的解集为【答案】D【解析】根据题意,可以知道,的两根为.由根与系数的关系得到：.因为开口向下,则,故A正确.,故B正确.且,对称轴为,,故C正确.,两边同时除以,得到,解得,故D错误.故选:D.3．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】不等式的解集为，则是方程的两个根，且，于是，解得，则不等式为，解得或，所以不等式的解集为或.故选：D知识点三分式不等式与绝对值不等式【【解题思路】1.绝对值不等式2.分式不等式【例3-1】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集.(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1），则，解得，所以解集为.（2）因为，所以，即，解出或，或，即，无实数解，综上，解集为.（3），，，两边平方得到：，即，解得或，，所以解集为：.（4），，即，解得，故解集为.【例3-2】（2025湖北）解下列关于x的不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】（1）由题得由可得：或，又，则得或，即不等式的解集为.（2）由，得，所以，解得或，所以不等式的解集为.（3）当，即时，，得，此时，，当，即时，，得，此时，，综上所述，，即不等式的解集为.（4）原不等式可化为或，即或．由图可知，原不等式的解集为或．（5）原不等式可化为，即，即或，即或．由图可知，原不等式的解集为或.（6）对于，变形为，即，与同解，，即.【变式】1（2023湖南）解下列不等式（1）；（2）.（3）；（4）.（5）【答案】（1）（2）（3）；（4）（5）【解析】（1），，即，不等式的解集是.（2），或，或.原不等式的解集为.（3）原不等式可化为.解不等式，得.（4）原不等式可化为.两边平方，得.解不等式组，得.（5）∵，∴，即，解得：或，即不等式的解为.2.（2023北京）解下列不等式：（1）；（2）（3）.（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）（3）或.（4）（5）（6）【解析】（1）等价于，解得，∴原不等式的解集为.（2）由题意，不等式可转化为或，解得或，所以不等式的解集为.（3）∵，∴，∴，即.此不等式等价于且x－≠0，解得或，∴原不等式的解集为或.（4）移项、通分，，此不等式与不等式组的解集相同．解不等式组，得．（5）将原不等式转化为同解的整式不等式，即，所以原不等式解集为．（6）移项、通分，得．转化为整式不等式组或．解不等式组，得或．∴不等式的解集为3．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）解不等式；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1），即，令，有或或，则该不等式的解集为；（2），即，令，有或或，又恒成立，故该不等式的解集为；（3），即，由，故，对：令，有或或，又恒成立，故有，故该不等式的解集为.知识点四实际应用题【例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为欧元/平方米，销售量为万平方米．(1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米?(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价．【答案】(1)40(2)102万平方米，30欧元/平方米【解析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，由题知，即，解得，所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.（2）由题意得，整理得，两边同除以得，又，当且仅当，即时取等号，所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米.【变式】1．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】(1)40元；(2)至少应达到10.2万件，每件定价30元.【解析】（1）设每件定价为t元，依题意得，则，解得，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，因为（当且仅当时等号成立），所以，此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．2．（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？【答案】花卉的宽度至少为【解析】设花卉带的宽度为，则，可得，所以，草坪的长为，宽为，则草坪的面积为，因为草坪的面积不超过总面积的一半，则，整理可得，解得，又因为，可得.所以，花卉的宽度至少为.3．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．

(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内；(2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？【答案】(1)(2)米时，用料最省．【解析】（1）解：由，可得，则，则，花坛AMPN面积等于，由题意，可得，即，解得或，所以AN的长应在范围内.（2）解：根据题以，可得扩建部分面积，令，可得，当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省．

重难点一一元二次函数的单调性求参【例5-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数在区间上单调递减，所以，解得.故选：D【例5-2】（23-24陕西渭南·阶段练习）若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为二次函数在上为减函数，所以的取值范围为，故选：D【变式】1．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的对称轴方程为：，因为函数在区间上是减函数，所以，解得，故选：B2．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数开口向上，对称轴为，若函数在区间上是增函数，则，所以，故实数的取值范围是；故选：A．3．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，满足在上为减函数；当时，为二次函数，要满足在区间上为减函数，则，解得.综上，a的取值范围是.故选：B.4．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于在区间上是单调函数，所以当时，在区间上是单调递增，则，解得，当时，在区间上是单调递减，则，解得，综上故选：B重难点二解含参数的一元二次不等式【【解题思路】解含参数的一元二次不等式的步骤二次项系数的讨论：二项式系数若含有参数，应讨论等于0、小于0、大于0.判断方程根的个数：判断根的个数，利用判别式与0的关系、写出解集：无根时直接写解集；确定有两个根时，要讨论两根的大小关系，两根的大小关系有等于、大于、小于【例6】（2025广东潮州）解下列关于的不等式(1)；(2)；(3)；(4).【答案】答案见解析【解析】（1）由，可得或，则：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；（2）由对应函数开口向上，且，当，即时，恒成立，原不等式解集为；当，即或时，由，可得，所以原不等式解集为；综上，解集为；或解集为.（3）由得或.当，即时，不等式解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为．综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为．（4）①当时，；∴.②当时，由得或，（i）当即时，，（ⅱ）当即时，，（ⅲ）当即时，，综上，当时，所求不等式的解集为.当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为.【变式】（2023-2024江苏）解关于实数的不等式；(2)；(3).(4)；(5)（6）（是常数）（7）【答案】答案见解析【解析】（1）易知方程的，由得，解得，当时，的解集为，当时，的解集为，当时，的解集为．（2）不等式可化为，当时，，不等式的解集为；当时，不等式化为，其解集为；当时，不等式化为，（ⅰ）当，即时，不等式的解集为；（ⅱ）当，即时，不等式的解集为；（ⅲ）当，即时，不等式的解集为.（3）对方程，当时，即时不等式的解集为；当时，即或时的根为，，不等式的解集为；综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为.（4）由可得，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或（5）由可得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（6）由，解得，或.故分以下情况讨论不等式的解集：①当时，不等式为，无解；②当时，不等式为，无解；③当，即，或时，（i）当时，不等式可化为，解得，或；（ii）当时，不等式可化为，解得；④当，即时，不等式可化为，解得；综上所述，当时，不等式的解集为；当，或，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（7）原不等式可化为，当时，原不等式为，故原不等式的解集为，当时，，当时，则，原不等式的解集为或，当时，则，原不等式的解集为或，综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为或重难点三一元二次不等式恒成立【【解题思路】一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．解不等式应用题的步骤【例7-1】（2024高一广西）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知，不等式在R上有解，∴，解得，∴实数m的取值范围是.故选：A.【例7-2】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为对任意的，恒成立，所以对任意的，恒成立，又，当且仅当，即时取等号，所以，解得，即的取值范围为.故选：D【例7-3】（23-24高一上·全国·期末）“，为真命题”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“，为真命题”，则，对恒成立，则，解得，显然可以推出，但不可以推出，则“，为真命题”是“”的充分不必要条件，故选：B.【例7-4】（23-24高二下·重庆·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于“，”为假命题，故其否定为“，”为真命题，则，得，故选：D【变式】1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意命题“，使”是真命题，所以，当且仅当，有，所以实数m的取值范围是.故选：C.2．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，因此有，所以实数的最小值为，故选：C3．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由命题p为真命题，得，解得，显然，所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件.故选：A4．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】B【解析】的解集为,即恒成立，当时，即，不符合题意，当时，则’解得综上所述，实数的取值范围是.故选：B5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为.【答案】【解析】当时，，，不满足题意；当时，,所以，综上，实数的取值范围为.故答案为：单选题1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为不等式的解集为，所以是方程的两个实根，所以，解得，所以.故选：C.2．（23-24山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，得，即，∴，解得.又每枚的最低售价为15元，∴.故选：B.3．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）函数在区间上严格增，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意知，函数的图象对称轴为，开口向上，因为函数在区间上严格增，所以，解得.故选：C.4．（22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若函数在区间上单调递增，则，解得，因为，因此，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件，故选：B.5．（2023春·福建泉州）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】因为不等式的解集为，所以应有，解得.选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足.故选：C.6．（2023·全国·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若关于的不等式有解,则，解得.故选：C.7．（21-22高一上·重庆沙坪坝·期末）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解，所以，解得或，①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2，则，即，解得；②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，，则，即，解得，综上所述，实数的取值范围为或.故选：B.8．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，不等式恒成立，当时，满足不等式恒成立；当时，令，则在上恒成立，函数的图像抛物线对称轴为，时，在上单调递减，在上单调递增，则有，解得；时，在上单调递增，在上单调递减，则有，解得.综上可知，的取值范围是.故选：D.多选题9．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数在上是单调函数，则的值可能为（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】ABD【解析】依题意可得的图象的对称轴为，又函数在上是单调函数，则或．故选：ABD．10．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误；对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，由韦达定理，，故，，即，故B正确；对于C，由上分析可得，故C正确；对于D，由上分析可得，故D正确.故选：BCD.11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】AD【解析】关于的不等式即，即，当时，即，解集为空集，不合题意；当时，的解满足，要使得关于的不等式只有一个整数解，需，由于，故；当时，的解满足，要使得关于的不等式只有一个整数解，需，由于，故，综合得的可能取值，故选：AD填空题12．（23-24高二下·福建福州·期中）已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是．【答案】【解析】由于，，则不等式的解为，由于恰有3个解，其中，于是3个解为，则要求，解出，综上，．故答案为：13．（23-24·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为.【答案】4（答案不唯一）【解析】不等式对任意正实数x恒成立，即对任意正实数x恒成立，当时，不等式，即，不符合对任意正实数x恒成立，当时，令，若对任意正实数x恒成立，则，无解，或，解得.所以的一个值可以是.故答案为：14．（2024天津南开）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】因为当时，不等式恒成立，则，原题意等价于当时，不等式恒成立，又因为，当且仅当，即等号成立，可得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.解答题15．（2024高一北京）设函数(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(2)解关于的不等式：．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.当时，不等式可化为，不满足题意.当，有，即，解得所以的取值范围是．（2）依题意，等价于，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.当时，不等式化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为；综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.16．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的