苏科版2024-2025学年八年级数学上册2.8 等腰三角形的轴对称性（专项练习）（培优练）（含答案）

专题2.8等腰三角形的轴对称性（专项练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（18-19八年级下·全国·课后作业）三角形的三边满足，则这个三角形的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，AB的垂直平分线分别交于点E，D，AD平分，则的度数是（）A． B． C． D．72°3．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）如图，，平行线间有一点C，使得平分，平分，连接交于点E．若E为的中点，且,则等于（）A． B． C． D．4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，交于点D，，则的长为（

）A．8 B．10 C．12 D．145．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（19-20八年级上·河北邢台·期末）已知边、的垂直平分线、相交于，、在边上，若，则的度数为（）A． B． C． D．7．（22-23八年级下·天津和平·期中）如图所示的网格是正方形网格，，，为网格线交点，则(

)A． B． C． D．8．（23-24七年级下·河北张家口·期末）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（

）A．6 B．8 C． D．109．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，为的中点，，分别在，上，且，若，，则（

）

A． B． C． D．10．（2024·河南南阳·一模）如图1，在中，于点D（）．动点M从A点出发，沿折线方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为（）A．6 B．8 C．10 D．13二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则它的周长为．12．（22-23八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，为中点，，则的度数为．13．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，，，，，，则．14．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时，．15．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为．16．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，，，若的面积为32，则长为．17．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，射线于点．若点，分别是射线，边上的动点，，连接，，连接，当时，则的度数为．

18．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，，是内的两点，平分，．（1）°；（2）若，，则的长为cm．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）19．（22-23八年级上·河南商丘·开学考试）如图，在中，，以点为圆心，CB为半径作弧，交于点，连接BD．（1）若，求的度数；（2）猜想与的数量关系，并证明你的猜想．20．（8分）（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂是为E．（1）若，求的度数；（2）试说明：．21．（10分）（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在和中，，，，且点D在线段上（1）求证：；（2）若，求的度数．22．（10分）（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点为的中点，且平分．求证：（1)平分(2)23．（10分）（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点．（1）求证：：（2）若△APQ为直角三角形，求PQ的值；（3）当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．24．（12分）（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）已知，在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点B、C重合），连接，使，．（1）如图1，当点D在线段上时，与的数量关系是，与的位置关系是，、、三条线段的数量关系是．（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，求、、三条线段的数量关系．（3）如图3，当D运动到的延长线上，且A、E分别在直线的两侧，，，求的长．参考答案：1．A【分析】本题考查了因式分解的应用以及等腰三角形的定义，正确的分解因式，熟练掌握因式分解是解题的关键．先把等式的左边分解因式，再根据几个数相乘得0，至少有一个为0，根据等腰三角形的定义求解即可得答案．【详解】解：∵，∴∴∴或，∴或，∴这个三角形的形状是等腰三角形，故选：A．2．D【分析】题目主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角及一元一次方程的应用，理解题意，根据题意得出相应的方程是解题关键；设，根据线段垂直平分线的性质及等边对等角确定，再由角平分线及三角形内角和得出方程求解即可【详解】解：设，∵DE是AB的垂直平分线，∴，∴，∵AD平分，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，故选：D．3．C【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，过点C作交AD于点N，证明三角形全等，进而判断出，再根据直角三角形两个锐角互余，结合角平分线定义求出，利用两直线平行内错角相等求出，进而求出结果即可．【详解】解：如图，过点C作交于点N，，为的中点，，，，平分，，，，，平分，，，，，平分，，，，，故选：C．4．C【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出，，可得，即．中，根据角所对直角边等于斜边的一半，可求得，由此可求得的长．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∠DAB=∠B，∴，∴，故选：C．5．B【分析】由题意得，则可得是等边三角形，则，进而可得，则可得．本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：由题意得，是等边三角形，，，，，．故选：B6．A【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得，，利用三角形的内角和定理即可求得，即可求解．【详解】解：∵、分别垂直平分、，∴，，∴，，又∵，，∴，∴．故选：A．7．A【分析】本题考查直角三角形的性质、三角形外角和内角的关系、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图形可知，再根据等腰三角形的性质，可以得到的度数，从而可以求得的度数．【详解】解：由图可得，，，，，，故选：A．8．A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，作于M，于N，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到．【详解】解：作于M，于N，∵，∴，同理：，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∴，，∴，∴点B，D到直线的距离之和为6．故选：A．9．A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一定理，同角的余角相等，连接，由，为的中点，得，根据同角的余角相等得出，证明即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】连接，如图所示，

∵，为的中点，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，为的中点，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故选：．10．A【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、判断出和点M和点B重合时，的面积为3是解本题的关键．先根据结合图2得出，进而利用勾股定理得，再由运动结合的面积的变化，得出点M和点B重合时，的面积最大，其值为3，即，进而建立方程组求解，即可．【详解】解：由图2知，，∵，∴，∵，∴，在中，①，设点M到的距离为h，∴，∵动点M从A点出发，沿折线方向运动，∴当点M运动到点B时，的面积最大，即，由图2知，的面积最大为3，∴，∴②，得，，∴，∴（负值舍去），∴③，将③代入②得，，∴或，∵，∴，∴．故选：A．11．27【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．因为边为5和11，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：当5为底时，其它两边都为11，而11、5、11可以构成三角形，周长为27；当5为腰时，其它两边为11和5．因为，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有27．故答案为：27．12．/65度【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案．【详解】解：∵在中，，为中点，∴，∴，故答案为：．13．【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，等边对等角，先证明，得到，三角形的外角求出，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，即，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴故答案为：．14．【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，全等三角形的判定和性质，延长交于点，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，得到，即得，进而得到，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：延长交于点，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：．15．2【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可．【详解】解：∵为，的中点，∴,，又，∴∴，，∵，∴，∴，，设，∵，，∴，，∴，解得，∴，故答案为：2．16．8【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，作交的延长线于，连接，则为等腰直角三角形，证明，得出，，证明，结合的面积为32，得出，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作交的延长线于，连接，

∵，∴为等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，，∵在，，，∴，∴，即，∵的面积为32，∴，∵，∴故答案为：8．17．【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，根据等腰三角形的性质，得出，得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，根据即可得出答案，解题的关键是掌握知识点的应用.【详解】延长交于点，

∵在中，，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．18．3016【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．（1）设与交于，的延长线交于，证为等边三角形得，根据等腰三角形的性质得，，然后再中由三角形的内角和定理可得出的度数，进而可得的度数，（2）先根据等边三角形的性质得，则，在中根据得，由此可得，，由此可得的长．【详解】解：（1）设与交于，的延长线交于，如图所示：为等边三角形，，在中，，平分，，，为直角三角形，，，故答案为：30．（2）为等边三角形，，，，，在中，，，，，．故答案为：16．19．(1)；(2)，见解析．【分析】（）由直角三角形的两锐角互余得，再根据等腰三角形的性质得，最后由三角形的内角和定理即可求解；（）由，得，则，最后由三角形的内角和定理即可得出结论；本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角度和差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：∵，，∴，由作图痕迹可知，∴，∴；（2）解：猜想：，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，即．20．(1)(2)见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握等边对等角，直角三角形两个锐角互余．（1）根据等腰三角形的性质得出，求出其角度，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求出的度数；（2）根据等腰三角形的性质得出，则，再根据直角三角形两个锐角互余得出，等量代换即可得出结论．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．21．(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．（1）由可得，再结合，即可解题；（2）根据，，可得，从而求得的值，再根据可得到，从而求得的度数．【详解】（1）证明：，，，在和中，，；（2）解：，，和均为等腰直角三角形，，，，由（1）可知：，，．22．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键．（）延长交延长线于点，证明得到，利用等腰三角形判