2022届河南省示范性高中高三下学期阶段性模拟联考三理科数学试题解析版

河南省示范性高中2021-2022学年高三下学期阶段性模拟联考三理科数学试题一、单选题1．已知集合，则的子集的个数为（

）A． B． C． D．2．若是定义在上的奇函数，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．0 D．3．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（

）A． B．C． D．4．《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺5．若圆的半径为,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程是()A． B．C． D．6．的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．7．已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．9．已知是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（

）A． B．或2 C． D．或10．如图：和是同一圆的两个内接正三角形；且.一个质点在该圆内运动，用表示事件“质点落在扇形(阴影区域)内”，表示事件“质点落在内”，则（

）A． B． C． D．11．平面直角坐标系中，，该平面上的动线段的端点和，满足，则动线段所形成图形的面积为（

）A． B． C． D．12．对于恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题13．从只读过《论语》的名同学和只读过《红楼梦》的名同学中任选人在班内进行读后分享，则选中的人都读过《红楼梦》的概率为__________．14．已知数列的前项和，则数列的前10项和为______．15．已知中，角，，所对的边分别为，，.，，的面积为4，则______.16．过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则__________．三、解答题17．已知数列满足，，，．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）设数列的前项和．证明：．18．如图，三棱柱中，底面是正三角形，是其中心，侧面是正方形，是其中心．（Ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若四面体是正四面体，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的、、、四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题、、、顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题、、、分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题、、、回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求小强同学前三道题都答对的概率；（Ⅱ）用表示小强同学答题结束时的得分，求的分布列；（Ⅲ）求小强同学能通过比赛的概率．20．设，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，已知的面积为，．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在与平行的直线，满足直线与椭圆交于两点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数，，．(1)当，时，求证：；(2)若恒成立，求的最大值．22．在直角坐标系中，曲线（为参数，常数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）若曲线与有公共点，求的取值范围；（Ⅱ）若，过曲线上任意一点作曲线的切线，切点为，求的最小值．23．已知函数．（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：1．D【解析】【分析】根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．【详解】由题意，因此它的子集个数为4．故选：D．2．C【解析】根据函数是定义在上的奇函数，可得，再根据周期为4，即可得到答案；【详解】解：根据题意，若是定义在上的奇函数，则，又由，则有，则，故选：C.3．C【解析】【分析】根据两直线的位置关系，设直线，再代入点，求直线的方程.【详解】直线与直线垂直，设直线的方程为，直线经过点，，即.直线的方程为.故选：C4．A【解析】【分析】由题意构造等差数列，设公差为d，利用基本量代换求出通项公式，然后求.【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得：，解得：所以，所以，即春分时节的日影长为4.5.故选：A【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换.5．C【解析】【分析】依据条件确定圆心纵坐标为1，又直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径求出圆心坐标，写出圆的标准方程.【详解】因为圆C的半径为1，圆心在第一象限且与直线和轴都相切，所以圆心的纵坐标为1，设圆心坐标，则，又,所以所以该圆的标准方程是，故选C.【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆与切线的关系，属于中档题.6．C【解析】【分析】写出的展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】的展开式通项为，且，所以，的展开式通项为，由，可得，因此，的展开式中的系数为.故选：C.【点睛】方法点睛：两个二项式乘积的展开式中的特定项问题：（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；（3）分别求解在相乘、求和即可.7．A【解析】【分析】圆锥体中母线与底面所成角的正切值为它的高与底面半径的比值，结合圆锥的体积公式及已知条件即可求出正切值，最后由同角三角函数关系得出母线与底面所成角的正弦值.【详解】设圆锥的高为，则由题意可得，，解得，所以母线与底面所成角的正切值为，由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为．故选：A．【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于根据圆锥的性质圆锥体中母线与底面所成角的正切值为它的高与底面半径的比值，再根据几何关系和同角三角函数关系求解.8．A【解析】【分析】结合正弦函数性质确定的范围，然后利用对数函数性质确定函数图象．【详解】的最大值为，，则最小值为，，，最小正周期为，则，，即，，是减函数，向左平移个单位得的图象，只有A符合．故选：A．9．B【解析】【分析】由等比中项的性质可得，分别计算曲线的离心率.【详解】由是和的等比中项，可得，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的椭圆，离心率，当时，曲线方程为，该曲线为焦点在轴上的双曲线，离心率，故选：B.10．A【解析】【分析】利用几何概型以及条件概率的计算公式即可求解.【详解】解：∵和是同一圆的两个内接正三角形，设半径，∴，∴，，∴，，∴，故选：A.11．B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，如图，设，，，求出点轨迹，再求出点轨迹，然后可求得线段形成的图形面积．【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图，设，，，则，，由得，又，即，，所以，，动点在直线上，且满足，即线段上，，由扫过的三角形的面积为，设，则由得，所以，所以动点在直线上，且，即线段上，，线段扫过的三角形面积为，所以线段所形成图形面积为．故选：B．【点睛】方法点睛：根据题意建立平面直角坐标系，设两点坐标，得出点轨迹，点轨迹，即可得线段所形成的图形，从而可得其面积．12．D【解析】【分析】原命题等价于恒成立，再构造函数求出函数的最大值即得解.【详解】由题得恒成立，因为函数互为反函数，所以原命题等价于恒成立，即恒成立，令，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.所以.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用反函数的性质把原命题等价转化为恒成立.解数学题，要注意观察，找到合适的切入点.13．【解析】首先分类编号，再列举所有的基本事件和满足条件的基本事件，利用古典概型求概率.【详解】将只读过《论语》的名同学分别记为，，只读过《红楼梦》的名同学分别记为，，．设“选中的人都读过《红楼梦》”为事件，从名同学中任选人的所有可能情况有，，，，，，，，，共种，其中事件包含的可能情况有，，共种，故．故答案为：14．【解析】根据可求得的通项公式，经检验，满足上式，所以可得，代入所求，利用裂项相消法求和，即可得答案.【详解】因为，所以，所以，又满足上式，所以，所以，所以数列的前10项和为，故答案为：【点睛】解题的关键是根据，求得的通项公式，易错点为，若满足上式，则写成一个通项公式的形式，若不满足上式，则需写成分段函数形式，考查计算化简的能力，属中档题.15．6【解析】根据已知条件结合先求解出的值，从而的值可求，再结合的面积以及角对应的余弦定理即可求解出的值.【详解】由，得，所以.因为，所以，即，解得，，所以，，故，所以.由余弦定理及，可得，解得.故答案为：.【点睛】易错点睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事项：（1）注意隐含条件“”的使用；（2）对三角函数的相关等式进行化简时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为；（3）余弦定理中要注意边长的乘积与边长的和的转换，如.16．【解析】【分析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t的方程求出t值即可求解【详解】设切点坐标为即,解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即2a+6,解得故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】【分析】（Ⅰ）首先递推数列变形为，即可证明数列为等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）变形可知，再利用裂项相消法求和，即可证明.【详解】证明：（Ⅰ）∵，，∴，∴，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，，∴．所以．【点睛】关键点点睛：本题考查递推公式求通项公式，以及数列求和，本题第二问的关键是求出后，可利用裂项相消法求和.18．（Ⅰ）相交，证明见解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）取的中点，的中点，连接，，，根据棱柱性质可得，即四边形是平行四边形，又平面，即可得与的位置关系.（Ⅱ）如图2建系，设为单位长度，可得各点坐标，进而可得，，坐标，即可求得平面平面和平面的法向量，利用二面角的向量求法，即可得答案.【详解】（Ⅰ）证明：如图1，取的中点，的中点，连接，，，根据棱柱的性质可得，，，所以，所以四边形是平行四边形，所以平面．因为与相交，所以与相交．

（Ⅱ）连接，因为四面体是正四面体，是的中心，所以平面，又平面，所以．所以以为坐标原点，，方向分别为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，如图2所示.易得，，，，，，．所以，，，所以，，故是平面的法向量．又是平面的法向量，且，设平面与平面所成的锐二面角为，则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根据概率乘法公式即可求解；（Ⅱ）写出的可能取值，根据答题得分的情况，求解相应的概率从而写出分布列；（Ⅲ）根据通过比赛的条件结合乘法概率公式即可求解．【详解】解：（Ⅰ）小强同学前三道题都答对的概率．（Ⅱ）可能取6，7，9，10，11，14，16，17，18，19．答题得分情况如下：初始分累计得分能否通过比赛对错得分对错得分对错得分对错得分10√11√13√1616能10√11√13×11√1717能10√11√13×11×99否10√11×9√12√1818能10√11×9√12×1010否10√11×9×77否10×8√10√13√1919能10×8√10√13×1111否10×8√10×8√1414能10×8√10×8×66否10×8×66否∴随机变量的分布列为：67910111416171819（Ⅲ）小强同学能通过比赛的概率为：．【点睛】方法点睛：求概率的常用方法：先定性（古典概型、几何概型、独立事件概率、互斥事件概率、独立重复试验概率、条件概率），再定量（代公式求解）．20．（Ⅰ）；（Ⅱ）存在满足条件的直线，方程为或．【解析】【分析】（Ⅰ）由的面积得，又根据得，结合关系即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）可设直线的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段为直径的圆经过坐标原点，则，代入坐标化简求取值，即可求得直线方程．【详解】解：（Ⅰ）设，则的面积等于，所以．①由，即，得．因为在直角中，，，，所以，所以．②由①②及，得，，，所以椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为，代入，整理得．由，得．设，，则，．若以线段为直径的圆经过坐标原点，则，即，得，所以，得．因为，所以．所以存在满足条件的直线，方程为或．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．(1)证明见解析；(2)．【解析】【分析】(1)讨论的单调区间及单调性，求出的最小值，作差比较即得；(2)分类讨论确定a>0，不等式等价转化为，构建函数并求其最大值，进而计算出ab，并再求函数最大值而得.【详解】(1)证明：当，时，，，所以，，所以当时，；当时，，在上递减，在上递增，所以当且仅当时，有最小值，因为，所以；(2)依题意：，令，则有恒成立，当时，对任意的实数，当且时，即，，矛盾；所以，，而，当时，，当时，，从而在上单调递增，在单调递减，故在时有最