2020-2021学年天津市和平区高二下学期期末数学试题解析版

2020-2021学年天津市和平区高二下学期期末数学试题一、单选题1．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】按照求导法则求导就可以判断出对错.【详解】对于选项A，，故A不正确；对于选项B，，故B不正确；对于选项C，，故C正确；对于选项D，，故D不正确.故选：C.2．现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则A． B． C． D．【答案】C【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出.【详解】解：由题意知，，，所以.故选:C.【点睛】本题考查了条件概率的求解，考查了组合数的计算，考查了分类计数原理.3．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为A．75万元 B．85万元C．99万元 D．105万元【答案】B【详解】分析：根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当的函数值即可．详解：由题意得，∴样本中心为．∵回归直线过样本中心，∴，解得，∴回归直线方程为．当时，，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．故选B．点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题．4．若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（）A．360 B．180 C．90 D．45【答案】B【分析】根据题意，得出二项式的指数的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．【详解】展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共11项，故n＝10，通项公式为当，即时为常数，此时所以展开式的常数项是180故选：B5．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【分析】6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案．【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；则一共可以表示个两位数；故选．【点睛】本题结合算筹计数法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意．6．设函数，下列结论中错误的是（）A．的一个周期为B．的最大值为2C．在区间上单调递减D．的一个零点为【答案】D【分析】根据解析式即可得出周期和最大值，即可判断AB；求出函数的单调递减区间即可判断C；将代入即可验证D.【详解】，的一个周期为，故A正确；的最大值为2，故B正确；令，解得，的单调递减区间为，，在区间上单调递减，故C正确；，且，故D错误.故选：D.7．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【分析】将问题转化为,即在区间上恒成立,再根据可得答案.【详解】因为,所以,因为函数在区间上为增函数,所以,即在区间上恒成立,因为在上递增,所以,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,考查了转化划归思想,属于中档题.8．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为A．96 B．84 C．60 D．48【答案】B【详解】解：分三类：种两种花有种种法；种三种花有2种种法；种四种花有种种法．共有2++=84．故选B9．已知函数（为常数，为自然对数的底数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】利用导数的额几何意义求出切线方程，根据分段函数图象与切线恰好有三个公共点，得到当时，切线与有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求出实数的取值范围.【详解】解：由，，得，则（e），在点处的切线方程为：，①由于函数，②由①②联立方程组可得：，化简得：，③要使得函数在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，切线与，，在点有一个交点，只需要满足③式在内有两个不相同的实数根即可，则只需和抛物线对称轴小于1，且当时，才能保证在内有两个不相同的实数根，则，即，解得：，的范围：或.故选：D．【点睛】本题考查根据函数交点个数求参数的取值范围，以及利用导数的几何意义求切线方程，利用二次函数的根的分布是解题的关键，考查转化思想和函数与方程的思想.二、填空题10．求值______.【答案】【分析】利用诱导公式可得，从而得到求解的值.【详解】，故填.【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．11．随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=_____.【答案】0.7【详解】随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，∴曲线关于x=1对称，∴P(ξ<0)=P(ξ>2)=0.3，∴P(ξ<2)=1−0.3=0.7．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.12．已知随机变量，且，，则______.【答案】【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得出关于、的方程组，即可求得的值.【详解】，由二项分布的期望和方差公式得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用二项分布的期望和方差公式求参数，解答的关键就是得出关于和的方程组，考查运算求解能力，属于基础题.13．的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则________.【答案】1【分析】分别求得各项系数和与各项的二项式系数和，从而求得的值．【详解】解：在的展开式中，令可得设各项的系数和为，而各项的二项式系数和为，，故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题．14．已知函数(，)的部分图象如图所示，则的解析式为___________.【答案】【分析】首先根据图象最值求出，然后结合图象找到最小正周期，进而求出，将点代入解析式即可求解.【详解】由图可知最大值为2，故，由图可知，所以，又因为，所以，故，又因为函数经过点，即，所以，又因为，所以，所以，故答案为：.15．用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何两个相邻数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是___________.【答案】40【分析】结合分步计数原理第一步将3，5排列，第二步将4，6排列，第三步将1，2排列即可.【详解】第一步：先将3，5排列有种，第二步：再将4，6插空排列（满足奇偶性不同）有种，第三步：将1，2捆绑插空排列有种，由分步计数原理可得种，故答案为：40.三、解答题16．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.17．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.（1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数”的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）1；（3）.【分析】(1)的可能取值为，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列;（2）结合(1)利用期望公式可得的数学期望；（3）利用互斥事件概率的加法公式可得结果.【详解】（1）可能取的值为0，1，2..所以，的分布列为

0

1

2

P

（2）由（1），的数学期望为;（3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望.18．已知在与时都取得极值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的单调区间和极值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）f（x）的递增区间为和（1，＋∞），递减区间为．当x＝－时，f（x）有极大值f＝；当x＝1时，f（x）有极小值f（1）＝－．【详解】（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在与时，都取得极值，则就可得到a，b的值；（2）先由求出函数中的c值，再求导数，令导数大于0，解得x的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把x的值代入原函数求出极大值与极小值试题解析：f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝0．由题设知x＝1，x＝－为f′（x）＝0的解．∴－a＝1－，＝1×．∴a＝－，b＝－2．经检验，这时x＝1与x＝－都是极值点．（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，由f（－1）＝－1－＋2＋c＝，得c＝1．∴f（x）＝x3－x2－2x＋1．x

1

+

0

-

0

+

递增

极大值

递减

极小值

递增

∴f（x）的递增区间为和（1，＋∞），递减区间为．当x＝－时，f（x）有极大值f＝；当x＝1时，f（x）有极小值f（1）＝－．19．已知函数，（1）求函数的定义域和最小正周期；（2）若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，求的最小值.【答案】（1），；（2）【分析】（1）结合正切型函数求定义域即可求出定义域，对函数化简整理结合周期公式即可求出最小正周期；（2）根据平移伸缩变换求出变换后的解析式，然后结合函数图象的性质即可求出结果.【详解】（1）因为，即，所以函数的定义域所以函数的最小正周期，（2）因为将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，所以，因为又向右平移()个单位长度，所以，又因为平移后函数的图象关于轴对称，所以，即，所以当时，取得最小值，此时，所以取得最小值为.20．设()，，（1）求的单调区间：（2）已知函数有两个零点，，且，（i）求的取值范围；（ii）证明：随着的减小而增大.【答案】（1）若，的单调递增区间为；若，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）（i）；（ii）证明见解析.【分析】（1）分类讨论含参数的函数的单调区间；（2）（i）根据函数的单调性，转化为最大值大于0，然后解不等式即可；（ii）构造函数，结合函数单调性及不等式的性质即可证得.【详解】（1）因为，则，①若，则在上恒成立，所以的单调递增区间为；②若，令，则，时，，的单调递增；时，，的单调递减；所以的单调递增区间为，单调递减区间为；综上：