2022届新高考一轮复习-第三章-函数的概念及基本初等函数-第4讲-函数的单调性与奇偶性结合-教案

第三章第三章函数的概念及根本初等函数第第4讲函数的单调性与奇偶性结合熟练掌握综合应用函数的单调性和奇偶性比拟大小、解不等式、研究不等式恒〔能〕成立的相关问题以及解决一些抽象函数的相关问题．【例1】以下四个函数中既是奇函数，又是增函数的是〔〕A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，定义域为，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；对于B，因为，，所以为非奇非偶函数，故B错误；对于C，因为，，所以不是增函数，故C错误；对于D，定义域为，因为，所以是奇函数，，令为增函数，也是增函数，所以是增函数，故D正确，应选D．【变式1．1】以下函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是〔〕A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，，因为是减函数，是增函数，根据复合函数的单调性的判断方法〔同增异减〕，所以是减函数，故A错误；对于B，，由的性质可得在上不具备单调性，故B错误；对于C，，因为与都是增函数，所以是增函数，，所以是奇函数，故C正确；对于D，，，故D错误，应选C．【变式1．2】函数〔〕A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递减 D．是奇函数，且在单调递增【答案】D【解析】因为，，所以，即函数为奇函数，当时，单调递增，应选D．【例2】函数为上的奇函数，当时，；假设，，，那么〔〕A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，由奇函数的性质知，，，函数单调递减；又，，，那么，由函数单减知，，应选D．【变式2．1】函数在上是减函数，且满足，假设，，，那么，，的大小关系为〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】，，即，又是定义在上的减函数，，又为奇函数，，，即，应选B．【例3】是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减．假设，，，那么，，的大小关系为〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，所以在上递增，，因为在上递增，且，所以，因为在上递增，且，所以，所以，因为在上递增，所以，即，应选D．【变式3．1】函数，假设，，，那么的大小关系正确的选项是〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以为偶函数，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，，因为，故，，所以，那么，应选B．【例4】函数，那么不等式的解集为___________．【答案】【解析】因为，，所以，所以是偶函数．因为，当时，，所以在上单调递增．又因为是偶函数，所以在上单调递减．所以，即，所以，即，解得或，故答案为．【变式4．1】函数，那么不等式的解集为___________．【答案】【解析】由题意，函数的定义域为，且满足，即，所以函数为奇函数，又由，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以函数为上单调递减函数，又因为，即，即，所以，即，解得，即不等式的解集为，故答案为．【例5】定义域为R的偶函数在单调递增，假设，那么实数m的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】设，由题意可知函数为偶函数，并且在单调递增，由，得，即，所以，因为在单调递增，所以，两边平方得，解得，所以实数m的取值范围是，应选D．【变式5．1】是定义在上的奇函数，且当时，．〔1〕求的解析式；〔2〕假设对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕因为是定义在上的奇函数，且当时，，所以当，即时，有．故．〔2〕当时，，任取，那么，所以，即在上单调递增，又是定义在上的奇函数，所以是上的增函数．原不等式恒成立等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立．构造函数，易知也是上的增函数，故原不等式恒成立等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立．当时，结论显然不成立；当时，那么，解得，故实数的取值范围是．【例6】是定义在上的奇函数，假设，且，都有成立，那么不等式的解集是〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，且，都有成立，所以为上增函数，又因为为上奇函数，所以时，；时，；时，．当时，，此时，不符合条件；当时，因为，所以，解得；当时，因为，所以，解得，所以的解集为，应选C．【变式6．1】函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数且，那么使的x的取值范围〔〕．A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，所以函数在上单调递增，，所以当时，；当时，，不等式等价于或，解得或，所以使的x的取值范围为，应选C．【变式6．2】设奇函数在上为增函数，且，那么不等式的解集为〔〕A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为奇函数，那么，所以，等价于，即与异号，即或，又在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，假设，那么或；假设，那么或，假设，所以或，解得；假设，所以或，解得，综上原不等式的解集为，应选D．【例7】设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，那么不等式的解集为〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】为定义在R上的奇函数，因为当时，，所以，故，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在R上单调递增，因为，所以，由不等式，可得，解可得，故解集为，应选D．【变式7．1】函数在单调递减，且为奇函数．假设，那么满足的的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数为奇函数，得，不等式，即为，又在单调递减，所以得，即，应选D．【例8】函数，且，那么实数a的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】A【解析】令，那么，∵，∴，∵，∴是R上的奇函数，∴可化为，又∵，，所以在R上是减函数，∴，解得，应选A．【变式8．1】函数，那么满足的x的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，即为偶函数，当时，单调递增，且，可得，即，所以，即．所以，解得，应选D．【变式8．2】函数，假设，那么实数a的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】，设，，所以是奇函数，且在单调递减，，即，所以，解得，应选C．1．解型不等式可以利用函数单调性，去掉函数符号“〞，将“抽象〞的不等式问题转化为“具体〞的不等式问题求解；假设不等式一边没有函数符号“〞，而是常数〔如〕，那么我们应该将常数转化为带有函数符号“〞的函数值再解．2．为奇函数，形如的不等式的解法=1\*GB3①将移到不等式的右边，得到；=2\*GB3②根据为奇函数，得到；=3\*GB3③利用函数的单调性去掉函数符号“〞，列出不等式求解．【例9】函数，假设不等式对任意恒成立，那么实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，函数，可得，所以函数为偶函数，当时，可得，令，可得，所以函数为单调递增函数，所以，可得，所以在上单调递增，那么不等式对任意恒成立，等价于不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，所以对任意恒成立，那么对任意恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，应选D．【变式9．1】函数，假设时，，那么的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，且定义域为关于原点对称，所以是奇函数，又因为，所以在上单调递增，又因为，所以，所以对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，所以即可，又由对勾函数的单调性可知在上单调递增，所以，所以，即，应选C．【变式9．2】定义域为的函数是奇函数．〔1〕求、的值；〔2〕假设对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】∵函数是奇函数，由，解得．又，即，所以，即，即，解得．〔2〕由〔1〕知：．任取且，那么，因为，所以，所以，所以，所以为减函数．不等式可化为恒成立．即，令，所以．所以，所以，即的取值范围为．一、选择题．1．以下命题中与“为上非奇非偶函数〞等价的命题是〔〕A．对任意，有或B．存在，有且C．存在，有或D．存在，有且【答案】D【解析】根据奇函数与偶函数的定义：对于任意，，函数为偶函数，对于任意，，函数为奇函数，所以，假设存在，使得，函数不是偶函数，存在，使得，函数不是奇函数，由此可得，函数为非奇非偶函数，那么存在，有且，应选D．2．以下函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，，为奇函数，但在其区间上为减函数，不符合题意；对于B，，其定义域为，不是奇函数，不符合题意；对于C，，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D，，有，为奇函数，又是增函数，是减函数，所以是增函数，满足题意，应选D．3．奇函数是定义在上的单调函数，假设正实数，满足，那么的最小值是〔〕A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，应选B．4．假设，那么〔〕A． B．C． D．【答案】C【解析】，所以是R的偶函数，．，又，，又当，，所以在(0，+∞)单调递减，∴，应选C．5．设函数，那么满足的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，所以为奇函数，又，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，解得，应选A．6．函数，设，，，，，的大小关系是〔〕A． B． C． D．【答案】A【解析】函数，定义域为，且，所以为偶函数，在上，为减函数，所以在上为增函数，所以，因为，，，所以，所以，应选A．7．是定义在上的奇函数，且在上单调递增，假设，那么以下不等式错误的选项是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意可得函数在上为增函数，由，可得，对A，由在上为增函数，且，所以，故A正确；对B，由，，故B正确；对C，由函数在上为增函数，所以，故C正确；对D，由函数在上为增函数，所以，故D错误，应选D．8．函数，假设不等式对恒成立，那么实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，可得是奇函数，又，所以在上单调递增，由得，即对恒成立．当时，显然成立；当时，需，得，综上可得，应选D．9．函数，假设不等式对恒成立，那么实数的取值范围是〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】的定义域为关于原点对称，且，为上的奇函数，又，而，当且仅当，即时等号成立，故恒成立，故为上的增函数，不等式对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，当时，不等式恒成立，当时，那么，解得，综上所述：，应选D．二、填空题．10．函数，那么不等式的解集为___________．【答案】【解析】函数定义域是，，是偶函数，时，是减函数，又，所以由，得，且，解得且，故答案为．三、解答题．11．函数是定义在上的奇函数，且．〔1〕确定的解析式；〔2〕判断在上的单调性，并证明你的结论；〔3〕解关于t的不等式．【答案】〔1〕；〔2〕增函数，证明见解析；〔3〕．【解析】〔1〕根据题意，函数是定义在上的奇函数，那么，解可得；又由，那么有，解可得，那么．〔2〕由〔1〕的结论，，在区间上为增函数．证明：设，那么，又由，那么，，，，那么，那么函数在上为增函数．〔3〕根据题意，，解可得，即不等式的解集为．12．定义域为的函数是奇函数．〔1〕求的值；〔2〕判断函数的单调性并证明；〔3〕假设对任意，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕证明见解析；〔3〕．【解析】〔1〕，是上的奇函数，，即，解之得．〔2〕由〔1〕知，，设任意的，，满足，那么，，，，即，所以在上是增函数．〔3〕，，为奇函数，，由〔2〕知，在上是增函数，，即恒成立，，解得，综上所述，的取值范围是．维权声明江西多宝格教育咨询〔旗下网站：好教育://〕郑重发表如下声明：维权声明一、本网站的原创内容，由本公司依照运营规划，安排专项经费，组织名校名师创作，经由好教育团队严格审核通校，按设计版式统一精细排版，并进行版权登记，本公司拥有著作权；二、本网站刊登的课件、教案、学案、试卷等内容，经著作权人授权，本公司享有独家信息网络传播权