2015-2024年高考数学总复习：数列小题综合（学生卷）

与题08敷利小敷除合

十年考情­探规律

考点十年考情(2015-2024)命题趋势

考点1数列的1.掌握数列的有关概念和表示方

2022•全国乙卷、2022•北京卷

增减性法，能利用与的关系以及递推关系

2021•全国甲卷、2020•北京卷

（10年3考）求数列的通项公式，理解数列是一

考点2递推数种特殊的函数，能利用数列的周期

2023•北京卷、2022.北京卷、2022•浙江卷

列及数列的通性、单调性解决简单的问题，该内

2021•浙江卷、2020•浙江卷、2020•全国卷

项公式容是新高考卷的必考内容，常考查

2019•浙江卷、2017•上海卷

（10年6考）利用与关系求通项或项及通项公

2024•全国甲卷、2024•全国甲卷、2024•全国新H式构造的相关应用，需综合复习

卷、2022.全国乙卷、2023•全国甲卷、2023•全国2.理解等差数列的概念，掌握等差

乙卷、2023•全国新I卷、2022•北京卷、2020•浙数列的通项公式与前n项和公式，

考点3等差数江卷、2020•山东卷、2020•全国卷、2019•全国卷能在具体的问题情境中识别数列

列及其前n项2019•江苏卷、2019•北京卷、2019•全国卷、2019•全的等差关系并能用等差数列的有

和国卷、2018•北京卷、2018•全国卷、2017•全国卷、关知识解决相应的问题，熟练掌握

（10年10考）2016•浙江卷、2015•重庆卷等差数列通项公式与前n项和的性

2015•全国卷、2015•全国卷、2016•北京卷、2016•江质，该内容是新高考卷的必考内

苏卷、2015•广东卷、2015•陕西卷、2015•安徽卷、容，一般给出数列为等差数列，或

2015•全国卷通过构造为等差数列，求通项公式

2023•全国甲卷、2023•天津卷、2023•全国新H卷及前n项和，需综合复习

2023•全国甲卷、2023•全国乙卷、2022•全国乙卷、3.掌握等比数列的通项公式与前n

考点4等比数2021•全国甲卷、2020•全国卷、2020•全国卷、项和公式，能在具体的问题情境中

列及其前n项2020•全国卷、2019•全国卷、2019.全国卷识别数列的等比关系并能用等比

和2017•全国卷、2017•北京卷、2017•江苏卷、2016•浙数列的有关知识解决相应的问题，

（10年10考）江卷、2016•全国卷、2015•浙江卷熟练掌握等比数列通项公式与前n

2015•全国卷、2015•全国卷、2015•湖南卷项和的性质，该内容是新高考卷的

2015•广东卷、2015•安徽卷必考内容，一般给出数列为等比数

考点5数列中2023•北京卷、2022•全国新II卷、2021•全国新I歹！J,或通过构造为等比数列，求通

的数学文化卷、2020•浙江卷、2020•全国卷、2020•全国卷项公式及前n项和。需综合复习

（10年6考）2018•北京卷、2017•全国卷4.熟练掌握裂项相消求和和错位相

减求和，该内容是新高考卷的常考

考点6数列求

2021•浙江卷、2021•全国新II卷内容，常考查裂项相消求和、错位

和

2020•江苏卷、2017•全国卷、2015,江苏相减求和、奇偶并项求和，需重点

（10年10考）

综合复习

分考点二精准练£

考点01数列的增减性

1.（2022・全国乙卷・高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕

太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛2｝：伉=1+1，

1

+1-

«i+——「，…依此类推，其中%eN*（左=1,2,…）.则（）

a2---

«2

a3

A.h<b.B.b3<Z?8C.b6<b2D.b4Vbi

2.（2022・北京•高考真题）已知数列｛%｝各项均为正数，其前〃项和S“满足为£=9（〃=1,2,…）.给出下列

四个结论：

①｛4｝的第2项小于3；②｛““｝为等比数列；

③｛%｝为递减数列；④｛%｝中存在小于$6的项.

其中所有正确结论的序号是.

3.（2021•全国甲卷•高考真题）等比数列｛g｝的公比为q,前”项和为S“，设甲：q>0,乙：｛S.｝是递增

数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

4.（2020・北京・高考真题）在等差数列｛%｝中，［=-9,%=T.记北…%（〃=1，2,…），则数列｛［卜）.

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

考点02递推数列及数列的通项公式

1a

1.（2023•北京•高考真题）已知数列｛%,｝满足a角一6丫+6伽=1,2,3,…），贝|（）

A.当％=3时，｛4｝为递减数列，且存在常数使得恒成立

B.当卬=5时，｛%｝为递增数列，且存在常数MW6,使得％<加恒成立

C.当q=7时，｛%｝为递减数列，且存在常数M>6,使得%>川恒成立

D.当％=9时，｛%｝为递增数列，且存在常数M>0,使得。“<加恒成立

2.（2022・北京•高考真题）已知数列｛%｝各项均为正数，其前”项和S”满足。”・'=9（"=1,2,…）.给出下列

四个结论：

①｛见｝的第2项小于3；②｛%｝为等比数列；

③｛%｝为递减数列；④｛%｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

3.（2022•浙江•高考真题）已知数列｛%｝满足q=l,%+i=%-gq（〃eN*）,则（）

5577

A.2<100%00<5B.5<IO。［。。<3C.3<lOOq。。—D.Q<lOO%。。<4

4.（2021・浙江・高考真题）已知数列｛4｝满足%=1，。用=通力（女叶）.记数列｛4｝的前〃项和为$“，则（）

399

A.5（Soo<3B.3Vsi0G<4C.4<S100<—D.-<5100<5

5.（2020•浙江・高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列，的罗，

就是二阶等差数列，数列｛吗的前3项和是.

6.（2020■全国，身考真题）数列｛〃”｝满足。“+2+（-1）"。"=3〃-1,前16项和为540,则％=.

7.（2019・浙江・高考真题）设a,bcR,数列｛%｝中，ax=a,an+1=a^+b,〃eN*,则

A.当b=g,%o>lOB.当bn；,%>10

C.当5=-2吗0>10D.当6=-4,aM>10

8.（2017•上海•高考真题）已知数列｛凡｝和的｝,其中%="，〃eN*,但』的项是互不相等的正整数，若

lg（bQ4b孤6）

对于任意〃eN*,@,｝的第4项等于｛%｝的第。项,则

lg（b也由。J

考点03等差数列及其前n项和

一、单选题

1.（2024•全国甲卷高考真题）记5〃为等差数列｛%｝的前〃项和，已知55=%，%=1，则勾=（）

7717

A.-B.-C.——D.——

23311

2.（2024•全国甲卷•高考真题）已知等差数列｛4｝的前〃项和为5〃，若品=1，则〃3+%=（）

72

A.-2B.-C.1D.-

39

3.（2023•全国甲卷高考真题）记I为等差数列｛g｝的前〃项和.若%+。6=1。,%〃8=45,则=（）

A.25B.22C.20D.15

4.（2023・全国乙卷•高考真题）已知等差数列｛为｝的公差为/，集合S=t0smwN*｝,若S=｛〃,"，则M=

()

A.-1B.C.0D.

2~2

5.（2023•全国新I卷•高考真题）记S”为数列｛4｝的前九项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙：｛2｝为等差数

n

列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

6.（2022・北京•高考真题）设｛%｝是公差不为0的无穷等差数列，贝『'｛4｝为递增数列"是"存在正整数N。,

当”>乂时，an>0"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2020・浙江•高考真题）已知等差数列｛。。｝的前n项和Sn,公差”0,—<1.记仇=$2,bn+i=S2n+2-S2n,

d

〃eN*,下列等式不可熊成立的是（）

A.204=02+06B.2b4=bz+b6C.a：=a2asD.=b2bg

8.（2019•全国•高考真题）记S“为等差数列论｝的前〃项和.已知$4=0,4=5,则

22

A.a„=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n-8nD.n-In

9.（2018・全国•高考真题）设S.为等差数列｛%｝的前〃项和，若3s3=邑+$4，4=2,则%=

A.-12B.-10C.10D.12

10.（2017•全国司考真题）（2017新课标全国［理科）记S"为等差数列｛an｝的前〃项和.若%+%=24,56=48,

则｛凡｝的公差为

A.1B.2

C.4D.8

11.（2016・浙江・高考真题）如图，点列两｝,低｝分别在某锐角的两边上，且局4/=|4+14+2|，4户4+2/€"，

忸”4j=3“+igj4wB0+2，〃eN*.（尸工。表示点尸与。不重合）

若4=|4纥卜S,为的面积，则

B.｛S；｝是等差数列

C.｛"“｝是等差数列

D.｛港｝是等差数列

12.（2015•重庆•高考真题）在等差数列｛风｝中，若。2=4,%=2,则。6=

A.-1B.0C.1D.6

13.（2015•全国•高考真题）已知｛〃〃｝是公差为1的等差数列，S〃为｛〃〃｝的前〃项和，若Sg=4S4,贝ljq°=

A.—B.-C.10D.12

22

14.（2015•全国•高考真题）设S”是等差数列m“｝的前”项和，若％+/+%=3厕S$=

A.5B.7C.9D.11

二、填空题

15.（2024•全国新H卷•高考真题）记5“为等差数列｛见｝的前〃项和，若%+。4=7,3%+%=5,贝!!

16.（2022•全国乙卷•高考真题）记S“为等差数列｛%｝的前〃项和.若2s3=3邑+6,则公差d=.

17.（2020・山东・高考真题）将数列｛2n-l｝与｛3n-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛an｝,则｛an｝的前n项和

为.

18.（2020•全国•高考真题）记S“为等差数列｛4｝的前"项和.若q=-2,出+%=2,则%=.

19.（2019•江苏・高考真题）已知数列｛a/SeN*）是等差数列，必是其前〃项和.若的5+/=0，$9=27,则凡

的值是.

20.（2019•北京•高考真题）设等差数列｛•〃｝的前"项和为S",若。2=-3,&=-10,则3=,S"的最

小值为________

21.（2019•全国•高考真题）记S“为等差数列｛七｝的前〃项和，若。3=5,%=13,则百。=.

22.（2019•全国•高考真题）记S”为等差数列｛“〃｝的前〃项和,4片0,4=3%,则型=.

23.（2018•北京•高考真题）设｛4｝是等差数列，且％=3,%+%=36,则｛4｝的通项公式为

24.（2016・北京•高考真题）已知｛%｝为等差数列，S,为其前n项和，若q=6,a3+a5=0,则$6=.

25.（2016•江苏・高考真题）已知｛。“｝是等差数列，S”是其前九项和.若幻+。22=-3,55=10,则。9的值是.

26.（2015•广东・高考真题）在等差数列｛an｝中，若a3+a4+as+a6+a7=25,则a2+a8=.

27.（2015•陕西•高考真题）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项

为________

28.（2015•安徽"高考真题）已知数列｛«：｝中，%=1，0：=4_]+：（m2）,则数列｛aj的前9项和等

于.

29.（2015•全国•高考真题）设S“是数列｛凡｝的前"项和，且4=-1,an+1=SnSn+1,则S“=

考点04等比数列及其前n项和

一、单选题

1.（2023•全国甲卷•高考真题）设等比数列｛4｝的各项均为正数，前〃项和S“，若％=1,55=553-4,贝脩=

（）

1565

A.—B.—C.15D.40

88

2.（2023•天津・高考真题）已知数列｛凡｝的前w项和为S“，若qnZy+LZS'+zkeN*）,则4=（）

A.16B.32C.54D.162

3.（2023•全国新H卷•高考真题）记S〃为等比数列｛q｝的前〃项和，若S4=-5,臬=2电，则Sg=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

4.（2022・全国乙卷・高考真题）已知等比数列｛见｝的前3项和为168,4-%=42,则〃6=（）

A.14B.12C.6D.3

5.（2021・全国甲卷•高考真题）记5〃为等比数列｛g｝的前〃项和.若S?=4,84=6,则臬=（）

A.7B.8C.9D.10

6.（2020•全国•高考真题）设｛%｝是等比数列，且4+&+/=1,%+生+%=2,则。6+%+4=（）

A.12B.24C.30D.32

s

7.（2020•全国•高考真题）记Sc为等比数列｛cm｝的前〃项和.若第-。3=12,06-04=24,则二^二（）

an

A.2n-lB.2-21"C.2-2。一1D.Z^n-l

+155

8.（2020,全国•局考真题）数列｛%｝中,4=2,对任意m,neN,am+n=aman,若ak+l+ak+2■+--4见+io=2—2,

则上=（）

A.2B.3C.4D.5

9.（2015・浙江•高考真题）已知｛凡｝是公差d不为零的等差数列，其前〃项和为5“，若的，4，%成等比数列，

则

A.atd>0,dS4>0B.axd<0,dS4<0

C.axd>0,dS4<0D,axd<0,<5?S4>0

10.（2015,全国•高考真题）已知等比数列｛%｝满足弓=3,4+4+%=21,贝汁生+生+%=

A.21B.42C.63D.84

二、填空题

11.（2023•全国甲卷•高考真题）记S”为等比数列｛4｝的前几项和.若8s6=7'，则｛4｝的公比为.

12.（2023・全国乙卷・高考真题）已知｛4｝为等比数列，出%%=%/，%%0=-8,则%=.

3

13.（2019•全国•高考真题）记S"为等比数列｛即｝的前〃项和.若q=1,S3,贝！JS4=.

14.（2019•全国•高考真题）记Sn为等比数列｛加｝的前n项和.若4=；,靖=0,则Ss=.

15.（2017•全国•高考真题）设等比数列｛风｝满足s+02=-1,01-。3=-3,则。4二.

16.（2017•北京•高考真题）若等差数列｛%｝和等比数列也｝满足6=4=7,%=4=8,则/=.

17.（2017•江苏•高考真题）等比数列｛%,｝的各项均为实数，其前〃项为S“，已知邑=：,臬=黑，贝1］网=—.

44

18.（2016・浙江•高考真题）设数列｛即｝的前〃项和为S〃.若§2=4,即+i=2S几+1,〃团N*,则切=,S5

19.（2016•全国•高考真题）设等比数列｛。“｝满足处+43=10,42+44=5,则…。〃的最大值为.

20.（2015•全国•高考真题）数列｛叫中q=2,4例=24总为｛4｝的前口项和，若S“=126,贝|〃=.

21.（2015・湖南•高考真题）设S“为等比数列｛叫的前〃项和，若4=1,且3%2s2，邑成等差数列，则

an=•

22.（2015・广东•高考真题）若三个正数。，b,c成等比数列，其中a=5+2#,c=5-2屈,贝.

23.（2015•安徽•高考真题）已知数列｛《｝是递增的等比数列，al+a4=9,a2a3=S,则数列｛4｝的前几项和等

于一.

考点05数列中的数学文化

1.（2023・北京•高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、用来

测量物体质量的“环权已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛4｝,该数列的前

3项成等差数列，后7项成等比数列，且%=1,%=12,%=192,则%=；数列｛%｝所有项的和

为.

2.（2022•全国新H卷•高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水

平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中综44,是举，

OR,£>G，Cq,即是相等的步,相邻桁的举步之比分别为肃=0.5,—^=k盗=k,-^=k.已知人,网,心

UUyCz?I2D/\3

成公差为0.1的等差数列，且直线Q4的斜率为0.725,则&=（）

3.（2021•全国新I卷•高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把

纸对折，规格为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图形，

它们的面积之和=240dm2,对折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，

它们的面积之和S?=180dm?,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折，

次,那么dm2.

k=l

4.（2020•浙江・高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列1妁詈，

就是二阶等差数列，数列｛妁罗｝SeN*）的前3项和是.

5.（202。全国高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列q回…4…满足4e｛O,l｝（，=l,2,…）,

且存在正整数加，使得q+mnagJlN,…）成立，则称其为0-1周期序列,并称满足4（，=1,2,…）的最小正

整数机为这个序列的周期.对于周期为加的0-1序列44…见…，。/）=—£。必+人（左=1,2，…1）是描述其性质

mz=i

的重要指标，下列周期为5的0；序列中，满足。（左）/：（左=1,2,3,4）的序列是（）

A.11010,--B.11011--C.10001...D.11001--

6.（2020•全国•高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三