河北省沧衡八校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题

沦衡八校联盟高二年级2023~2024学年上学期期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的虚轴长为A. B. C.2 D.42.已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为A. B.C. D.3.若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到轴的距离为A.7 B.10 C.8 D.94.在四面体中，为的中点，为的中点，则A. B.C. D.5.“”是“方程表示的曲线是椭圆”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为A. B.C. D.7.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为.若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为A.3.6米 B.3.4米 C.4米 D.3.2米8.设是抛物线：上的动点，是圆：上的动点.则的最小值为A. B. C. D.27二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若直线与直线垂直，则的值可能是A. B. C.0 D.110.已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则A. B.C. D.11.在棱长为1的正方体中，，，则A.当平面时，B.的最小值为C.当点到平面的距离最大时，D.当三棱锥外接球的半径最大时，12.已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线与出一条渐近线的交点为，若，则的离心率可能为A. B. C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线的倾斜角为______.14.在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为______.15.石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为______16.若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知直线经过直线：与直线：的交点.（1）若直线经过点，求直线在轴上的截距；（2）若直线与直线：平行，求直线的一般式方桯.18.（12分）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.19.（12分）如图，在正二棱柱中，，，分别为，，的中点，，.（1）证明：平面.（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.20.（12分）已知圆与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线所得弦长等于2.（1）求圆的标准方程；（2）求圆截直线所得弦长；（3）若是圆上的一个动点，求的最小值.21.（12分）如图1，在菱形中，，将沿着翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥.（1）证明：.（2）若平面平面，为线段上一点（不含端点），且与平面所成角的正弦值为，求的值.图1 图222.（12分）已知椭圆：的右焦点为，离心率为.（1）求的方程.（2）若，为上的两个动点，，两点的纵坐标的乘积大于0，，，且.证明：直线过定点.沧衡八校联盟高二年级2023~2024学年上学期期中考试数学参考答案1.D因为，所以.2.B因为平面，所以，.因为，，，，所以空间的一个单位正交基底可以为.3.C根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以到轴的距离为.4.B因为为的中点，所以.因为为的中点，所以，所以.5.C若方程表示的曲线是椭圆，则，，且，所以且.故“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.6.A由题意得，，则的中点的坐标为，.由圆与圆关于对称，得的斜率为.因为的中点在上，所以，即.7.A由题意可知，，则，由该椭球横截面的最大直径为1.8米，可知米，所以米，米，该椭球的高为米.8.C设，则，当时，取得最小值28，所以，所以.9.AC依题意可得，解得或.10.BCD因为，所以，，，所以，，，.11.AB以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则.当平面时，，解得，A正确.，当时，取得最小值，且最小值为，B正确.当是的中点，即时，平面底面，此时，点到平面的距离最大，C错误.因为，所以过斜边的中点作平面的垂线（图略），则外接球的球心必在该垂线上，所以球心的坐标可设为，半径为，因为，所以，所以.在三棱锥中，，所以，当且仅当时，等号成立，D错误.12.AC不妨设的一条渐近线的方程为，则直线的斜率为，则：.设，联立直线的方程与，可得，.同理可得点的纵坐标为，因为，所以.因为，所以或.13.（或）因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.14.因为，，所以，所以直线与所成角的余弦值为.15.8；3.2如图，以拱顶为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为，由题意可知抛物线过点，得，得，所以抛物线方程为，所以该抛物线的焦点到准线的距离为.当水面下降时，，则，得，所以水面的宽度为.16.因为曲线与圆恰有4个公共点，所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，则有解得.17.解：（1）由解得即和的交点坐标为，因为直线经过点，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，得，所以直线在轴上的截距为.（2）因为直线与直线：平行，所以可设直线的方程为，又直线经过点，所以，得所以直线的一般式方程为18.解：（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以可设其方程为，将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为.（2）设，，则，因为所以，即有，所以，所以直线的方程为，即.19.（1）证明：因为，分别为，的中点，所以.在正三棱柱中，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：取的中点，连接.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则取，则易知是平面的一个法向量，所以.故平面与平面夹角的余弦值为.20.解：（1）由已知圆与两坐标轴的正半轴都相切，得圆的圆心在直线上，所以圆的直径为，即.设圆心的坐标为，则，所以圆的标准方程为.（2）因为圆心到的距离，所以圆截直线所得弦长为.（3），因为表示点与点之间的距离，又点在圆上，所以的最小值为，所以的最小值为.21.（1）证明：取的中点，连接，.因为是菱形，，所以，为等边三角形，所以，.又，所以平面.因为平面，所以.（2）解：因为平面平面，且平面平面，，所以平面以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，.设，