2021-2022学年新教材人教A版必修第二册-8.5.2-直线与平面平行-学案

8.5.2直线与平面平行在生活中，注意到门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．【问题1】门扇转动的一边与门框所在的直线有什么关系？【问题2】能用数学语言证明你看到的现象吗？【问题3】一条直线与一个平面平行，怎样在平面内作一条直线与该直线平行？1．直线与平面平行的判定定理(1)定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；(2)符号：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；(3)本质：线线平行⇒线面平行，空间问题转化为平面问题．(4)应用：判定直线与平面平行．如果一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面一定平行吗？提示：不一定，该直线可能在平面内．2．直线与平面平行的性质定理(1)定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行；(2)符号：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；(3)本质：线面平行⇒线线平行，直线与平面平行中蕴含直线与直线平行；(4)应用：作平行线的一种方法．一条直线与一个平面平行，该直线与此平面内任意直线平行吗？提示：不是，可能是异面直线．1.如果一条直线上有无数个点在平面外，那么该直线一定与平面平行吗？2．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线的位置关系是怎样的？3．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线一定平行吗？提示：1.不一定，也可能相交；2.平行或异面；3.不一定．观察教材P137图8.5－7，如果点E，F分别是AB，AD靠近点A的三等分点，那么EF与平面BCD是什么关系？提示：平行．1．如果两直线a∥b，且a∥α，那么b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC.b⊂αD．b∥α或b⊂α【解析】选D.由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α.2．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，那么正方体的六个面中与EF平行的平面有()A.4个B．3个C．2个D．1个【解析】选A.如图，连接AC，A′C′，BD，B′D′，那么由题意可得EF∥AA′∥CC′，又EF⊄平面AA′D′D，EF⊄平面CC′D′D，EF⊄平面BB′C′C，EF⊄平面AA′B′B，所以EF∥平面AA′D′D，EF∥平面CC′D′D，EF∥平面BB′C′C，EF∥平面AA′B′B，那么正方体的六个面中与EF平行的平面有4个．根底类型一直线与平面平行的判定(逻辑推理)1．(2021·哈尔滨高一检测)正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，那么满足A1F∥平面BDA．0B．1C．2D．3【解析】1.选B.①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，那么A1F②中，由于A1F∥D1E，而A1F⊄平面BD1E，D1E⊂平面BD1E，故A1F③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，那么A12．(2021·北京高一检测)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，C1B1(1)求证：AC∥平面B1DE；(2)求证：AF∥平面B1DE.【解析】2．(1)在△ABC中，D，E分别为棱AB，BC中点．所以DE∥AC，因为DE⊂平面B1DE，AC⊄平面B1DE，所以AC∥平面B1DE.(2)如图，连接BF交B1E于G，连接DG.因为点E，F分别是BC，B1C1所以B1FEC，所以四边形ECFB1是平行四边形，所以B1E∥FC，因为点E是BC的中点，所以点G是BF的中点，又因为D是AB中点，所以DG∥AF，因为AF⊄平面B1DE，DG⊂平面B1DE，所以AF∥平面B1DE.关于线面平行的判定(1)充分利用平面图形中的平行关系，如三角形中，中位线平行于底边，平行四边形对边平行，梯形的两底平行等．(2)连接平行四边形的对角线是常作的辅助线，因为平行四边形的对角线相互平分，可以得到中点从而构造平行关系．(3)书写步骤时一定要注明面外直线，面内直线，防止步骤扣分．根底类型二直线与平面平行的性质(逻辑推理)【典例】(2021·六安高一检测)如下图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，假设四边形EFGH为平行四边形．求证：AB∥平面EFGH.【证明】因为四边形EFGH为平行四边形，所以EH∥FG；因为EH⊄平面ABD，FG⊂平面ABD，所以EH∥平面ABD；又因为EH⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EH∥AB；又因为EH⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.【备选例题】如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作一平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【证明】连接AC交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所以AP∥OM.而PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，所以AP∥GH.关于直线与平面平行性质定理的应用假设题目条件中有直线l与平面α平行的条件(1)首先观察过直线l的平面，观察这些平面与平面α是否有交线，如果有，那么直线l与交线平行；(2)假设过直线l的平面与平面α没有交线，那么应设法作出交线，再利用直线l与交线平行进行证明．如下图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD∩平面PBC＝l.求证：l∥BC.【证明】因为BC∥AD，BC⊄平面PAD.AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(如图)综合类型线面平行关系的应用(直观想象、逻辑推理)线面平行关系的应用①如图，在四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，那么()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能②在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，那么四面体的四个面中与MN平行的是________．【解析】①选B.四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA.②如下图，取CD的中点E.那么EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，⊄平面ABD，MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案：平面ABD、平面ABC关于线面平行关系的综合应用线面平行的判定是由线线平行⇒线面平行，性质定理是由线面平行⇒线线平行，因此线线平行与线面平行可以相互转化，也表达了平面和空间平行关系的相互转化．线面平行关系的探究【典例】如下图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧棱CC1上运动，当点P满足条件________时，A1【解析】如图，取CC1中点P，连接A1P.因为在直三棱柱ABC­A1B1C1D为AA1中点，点P在侧棱CC1上运动，所以当点P是CC1中点时，A1P∥CD.因为A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，所以A1P∥平面BCD.答案：点P是CC1中点本例中条件不变，在BB1上是否存在点P，使A1P∥平面BCD.【解析】存在．当点P为BB1中点时，A1P∥平面BCD.因为在直三棱柱ABC­A1B1C1D为AA1中点，点P在侧棱BB1上运动，所以当点P是BB1中点时，A1P∥BD.因为A1P⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以A1P∥平面BCD.关于直线与平面平行关系的探究动点、动直线的平行关系探究中，关键是构造线线平行，可以先从特殊点(如中点)入手，验证是否符合线线、线面平行的条件，假设不符合，再探究其它的点是否符合．1．b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交【解析】选D.因为b∥α，所以b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点．2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1A.平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】选A.由长方体性质知：EF∥平面ABCD，因为EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，所以EF∥GH.又因为EF∥AB，所以GH∥AB.3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，假设EF∥平面AB1【解析】因为EF∥平面AB1C平面AB1C又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)4．如图，在六面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，那么MN与平面ADE的位置关系是________．【解析】因为M，N分别是BF，BC的中点，所以MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，所以CF∥DE，所以MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以MN∥平面ADE.答案：平行5．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别