1.5数学归纳法课件高二下学期数学北师大版选择性

第一章数列5数学归纳法北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标课程标准1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数列中的命题.基础落实·必备知识一遍过知识点

数学归纳法的定义数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:不要误以为n0=1(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.名师点睛数学归纳法中的两个步骤之间的关系记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下:条件:(1)证P(n0)为真;(2)证若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真,结论:P(n)为真.第一步验证了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真;第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)为真,则P(k+1)也为真.只要将这两个步骤完成,就有P(n0)为真,P(k)真,P(k+1)真……,从而完成证明.思考辨析1.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示

不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3.2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为

n(n-3)条时,第一步应验证n的值是多少?提示

n=4.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.(

)(2)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(

)(3)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的项数一定只增加了一项.(

)×××2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n-1)+2n=2n-1+(n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,左边增加的项数为

.

2k

解析

左边增加的项为(2k+1)+(2k+2)+…+2k+1,共2k+1-2k=2k项.重难探究·能力素养速提升探究点一对数学归纳法原理的理解【例1】

(1)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于

.

6解析

由题意,当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于6.★(2)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)的过程如下:①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任意正整数n等式都成立.上述证明,错误是

.

未用归纳假设

解析

本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符.规律方法

数学归纳法的三个注意点(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清式子两边的构成规律.(3)利用假设是核心:在第二步证明n=k+1所对应的命题时,一定要利用归纳假设.A.过程全部正确 B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确D解析

在证明n=k+1所对应的命题时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法.探究点一用数学归纳法证明等式规律方法

用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.探究点三用数学归纳法证明不等式规律方法

用数学归纳法证明不等式的四个关键

探究点四用数学归纳法证明数列问题【例4】

已知数列{an},a1=1,an+1=(n=1,2,3,…).(1)求a2,a3,a4,a5;(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

规律方法

“归纳—猜想—证明”的一般步骤

(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.本节要点归纳1.知识清单:(1)数学归纳法证明等式.(2)数学归纳法证明不等式.(3)数学归纳法证明数列问题.2.方法归纳:数学归纳法.3.常见误区:n的第一个取值不正确;当n=k+1时,添加的式子不正确.学以致用·随堂检测促达标123456789101112131415A级必备知识基础练161718A.假设n=k(k∈N+)时命题成立B.假设n≥k(k∈N+)时命题成立C.假设n=2k(k∈N+)时命题成立D.假设n=2k+1(k∈N+)时命题成立C解析

题目要求是对n为正偶数,等式成立.1234567891011121314152.[探究点一]在用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N+)的过程中,从“k到k+1”左边需增乘的代数式为(

)A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2)D.2(2k+1)C1617181234567891011121314153.[探究点四]已知数列{an}满足an+1an-2n2(an+1-an)+1=0,且a1=1,其前n项和为Sn,则S15=(

)A.196 B.225 C.256

D.289B161718123456789101112131415D1617181234567891011121314155.[探究点一]用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于

.

6解析

由题意,当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于6.1617181234567891011121314156.[探究点一]用数学归纳法证明

.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是

.

1617181234567891011121314151617187.[探究点二·2024南京鼓楼校级月考]使用数学归纳法证明等式:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N+).证明

(1)当n=1时,左边=1,右边=12=1,∴等式成立;(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,1+3+5+…+(2k-1)=k2成立,那么当n=k+1时,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2成立;由(1),(2)可知1+3+5+…+(2n-1)=n2对于任意正整数n都成立.1234567891011121314151617188.[探究点四·2024上海松江期中]设Sn为数列{an}的前n项和,满足(1)求a1,a2,a3,a4的值,并由此猜想数列{an}的通项公式an;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.123456789101112131415161718123456789101112131415161718(2)证明

①当n=1时,a1=3,猜想成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,猜想成立,即ak=3k.即ak+1=3ak=3k+1.所以当n=k+1时,猜想成立.由①②可知,猜想an=3n对任意正整数n都成立.123456789101112131415161718(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;(2)用数学归纳法证明f(n)≤g(n).123456789101112131415161718(2)证明

①当n=1时,由(1)知不等式成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立,12345678910111213141516171810.(多选题)在数学上,斐波那契数列{an}可以用递推的方法来定义a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N+),则(

)A.a1+a3+a5+…+a2021=a2022B.a1+a2+a3+…+a2020=a2022ACDB级关键能力提升练123456789101112131415161718B123456789101112131415161718则下列说法错误的是(

)A.过程全部正确 B.n=1的验证不正确C.n=k的归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确ABC解析

当n=k+1时,没有应用当n=k时的假设,即从n=k到n=k+1的推理不正确.故选ABC.12345678910111213141516171812345678910111213141516171813.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.下列命题总成立的是(

)A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立AD解析

若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,A正确.B,C显然错误.若f(4)≥5成立,由题意,得当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确.所以选AD.12345678910111213141516171814.在用数学归纳法证明“f(n)=<1(n∈N+,n≥3)”的过程中,假设当n=k(k∈N+,k≥3)时,不等式f(k)<1成立,当证明n=k+1,f(k+1)<1也成立时,若f(k+1)=f(k)+g(k),则g(k)=

.

12345678910111213141516171815.[2024浦东新区期末]用数学归纳法证明“当n∈N+时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时,f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3k+1=f(k)+A,则A的表达式为

.

A=4(5k+3k-1)解析

因为f(k)=5k+2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+2×3k+1=5k+2×3k-1+1+4×5k+4×3k-1=f(k)+4(5k+3k-1),故A=4(5k+3k-1).16171812345678910111213141516.试比较2n+2与n2的大小(n∈N+),并用数学归纳法证明你的结论.解

当n=1时,21+2=4>n2=1,当n=2时,22+2=6>n2=4,当n=3时,23+2=10>n2=9,当n=4时,24+2=18>n2=16,由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N+)成立.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,21+2>12,所以原不等式成立.当n=2时,22+2>22,所以原不等式成立.当n=3时,23+2>32,所以原不等式成立.(2)假设当n=k时(k≥3且k∈N+)时,不等式成立,即2k+2>k2.当n=k+1时,2k+1+2=2×2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.又2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.根据(1)和(2),原不等式对于任意n∈N+都成立.161718123456789101112131415161718123456789101112131