【北师】期末模拟卷01【九年级上下全册】

2023-2024学年上学期期末模拟考试01九年级数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：九年级上下册（北师大版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（）A． B． C． D．2．已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．43．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC＝16，BD＝8，则菱形ABCD的边长为（）A．4 B． C．8 D．104．二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）5．如图，△DEF和△ABC位似，点O是它们的位似中心，且它们的边长之比为3：2，则它们的面积比为（）A．3：2 B．6：4 C．4：6 D．9：46．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A． B． C． D．7．点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y38．下列命题是真命题的是（）A．平行四边形的对角线平分每一组对角 B．两条对角线垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的菱形是正方形 D．三个角相等的四边形是矩形9．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（）A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝1810．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝11．如图，边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（）A．2 B．3 C． D．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个．①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③函数的最大值为a+b+c；④当﹣3≤x≤1时，y≥0；⑤x＜﹣1时，y随x增大而减少．A．4 B．3 C．2 D．1第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，共12分）13．已知，则的值是．14．如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿图中标示的DE折叠，点A恰好落在边BC的点G处，若∠CDG＝54°，则∠DEG的度数为°．15．某数学兴趣小组选择“利用镜子的反射”测量旗杆高度．如图，小华将镜子放在离旗杆30m的点E处，然后站在点C处，恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合．若小华的眼睛离地面的高度CD＝1.5m，CE＝2m，则旗杆AB的高度．16．如图，一次函数y1＝﹣2x+3和反比例函数的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣2），若y1＜y2，则x的取值范围是．17．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于F，则AF＝．18．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为．三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：19-20每题6分，21-26题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．解方程：x2+6x+3＝0．20．学校门口在学生上学、放学期间，经常出现拥堵现象．某数学学习小组为了解本校门口拥堵情况以及拥堵原因，随机抽取了部分家长（一名家长对应一名学生）进行问卷调查，并根据家长接送学生采用的交通工具调查结果绘制扇形统计图，如图所示：交通工具人数步行24自行车6电动车a公交、地铁等公共交通工具6私家车b请你根据以上信息解决下列问题：（1）表格中a＝，b＝；（2）在扇形统计图中，选择自行车接送学生的家长占%；选择私家车接送学生的家长的圆心角是度；（3）若该校初中部一共有4000名学生，试估计选择私家车接送学生的家长大约有多少名？并针对此情况，对家长和学校各提一个合理的建议，以改善学校门口拥堵情况．21．如图，在一条马路l上有路灯AB（灯泡在点A处）和小树CD，某天早上9：00，路灯AB的影子顶部刚好落在点C处．（1）画出小树CD在这天早上9：00太阳光下的影子CE和晚上在路灯AB下的影子CF；（2）若以上点E恰为CF的中点，小树CD高2m，求路灯AB的高度．22．如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径．23．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形．（2）若DC＝2，BD＝，求四边形AEBD的面积．24．某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表：组装的时间x（天）304560每天组装的数量y（台/天）300200150（1）求y关于x的关系式；（2）某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？25．四边形ABCD为正方形，AB＝8，点E为直线BC上一点，射线AE交对角线BD于点F，交直线CD于点G．（1）如图，点E在BC延长线上．求证：FC2＝FG•FE；（2）是否存在点E，使得△CFG是等腰三角形？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由．26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣3）2+4过原点，与x轴的正半轴交于点A，已知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求a的值，并直接写出A、B两点的坐标；（2）若P点是该抛物线对称轴上一点，且∠BOP＝45°，求点P的坐标；（3）如图2，若C点为线段BD上一点，求3BC+5AC的最小值．

2023-2024学年上学期期末模拟考试01九年级数学（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：九年级上下册（北师大版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，故选：B．2．已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4【答案】B【解析】解：把x＝1代入方程得1+k+3＝0，解得k＝﹣4．故选：B．3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC＝16，BD＝8，则菱形ABCD的边长为（）A．4 B． C．8 D．10【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝8，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝8，OD＝OB＝BD＝4，∴∠AOD＝90°，∴AD＝＝＝4，∴菱形ABCD的边长为4，故选：A．4．二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）【答案】D【解析】解：抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．故选：D．5．如图，△DEF和△ABC位似，点O是它们的位似中心，且它们的边长之比为3：2，则它们的面积比为（）A．3：2 B．6：4 C．4：6 D．9：4【答案】D【解析】解：∵△DEF和△ABC位似，点O是它们的位似中心，且它们的边长之比为3：2，∴相似比为：3：2，∴△DEF和△ABC的面积比是：9：4，故选：D．6．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是＝，故选：D．7．点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【答案】C【解析】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝2，y2＝＝6，y3＝＝﹣3，∵﹣3＜2＜6，∴y3＜y1＜y2，故选：C．8．下列命题是真命题的是（）A．平行四边形的对角线平分每一组对角 B．两条对角线垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的菱形是正方形 D．三个角相等的四边形是矩形【答案】C【解析】解：菱形的对角线平分每一组对角，故A是假命题，不符合题意；两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故B是假命题，不符合题意；两条对角线相等的菱形是正方形，故C是真命题，符合题意；四个角相等的四边形是矩形，故D是假命题，不符合题意；故选：C．9．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（）A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18【答案】D【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．故选：D．10．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝【答案】D【解析】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，若，∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；若∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；若∠C＝∠AED，∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；∵，∠DAE＝∠BAC，∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意；故选：D．11．如图，边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】解：延长FD到G，使FG＝FE，连接AG，如图：∵AF平分∠DFE，∴∠GFA＝∠EFA，∵AF＝AF，FG＝FE，∴△GFA≌△EFA（SAS），∴AG＝AE，GF＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADC＝∠ADG＝90°＝∠B，∴Rt△ADG≌Rt△ABE（HL），∴DG＝BE＝2，设DF＝x，则FG＝x+2＝EF，CF＝CD﹣DF＝6﹣x，∵∠C＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴（6﹣2）2+（6﹣x）2＝（x+2）2，解得x＝3，∴DF＝3，故选：B．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个．①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③函数的最大值为a+b+c；④当﹣3≤x≤1时，y≥0；⑤x＜﹣1时，y随x增大而减少．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解：∵图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝﹣1，∴a＜0，c＞0，﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正确；∵图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，∴函数有最大值a﹣b+c，故③错误；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点坐标是（1，0），∴另一个交点坐标是（﹣3，0），∴当﹣3≤x≤1时，y≥0，故④正确；∵图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，∴x＜﹣1时，y随x增大而增大，故⑤错误．即正确的有3个，故选：B．第Ⅱ卷二、填空题（本题共6小题，共12分）13．已知，则的值是．【答案】．【解析】解：∵，∴设a＝2t，b＝3t，∴，故答案为：．14．如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿图中标示的DE折叠，点A恰好落在边BC的点G处，若∠CDG＝54°，则∠DEG的度数为72°．【答案】72．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∵∠CDG＝54°，∴∠CGD＝90°﹣∠CDG＝90°﹣54°＝36°，∴∠ADG＝∠CGD＝36°，∵将长方形ABCD沿DE折叠，点A落在边BC的点G处，∴∠DGE＝∠A＝90°，∠GDE＝∠ADE＝∠ADG＝×36°＝18°，∴∠DEG＝90°﹣∠GDE＝90°﹣18°＝72°，故答案为：72．15．某数学兴趣小组选择“利用镜子的反射”测量旗杆高度．如图，小华将镜子放在离旗杆30m的点E处，然后站在点C处，恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合．若小华的眼睛离地面的高度CD＝1.5m，CE＝2m，则旗杆AB的高度是22.5m．【答案】22.5m．【解析】解：如图，过点E作EF⊥AC，∵EF⊥AC，∠DEF＝∠BEF，∴∠DEC＝∠BEA，又∵∠ECD＝∠BAC＝90°，∴△ECD∽△EAB，∴，∵CD＝1.5m，CE＝2m，AE＝30m，∴，解得：AB＝22.5，故答案为：22.5m．16．如图，一次函数y1＝﹣2x+3和反比例函数的图象交于点A（﹣1，m），B（n，﹣2），若y1＜y2，则x的取值范围是x＞2.5或﹣1＜x＜0．【答案】x＞2.5或﹣1＜x＜0．【解析】解：把A（﹣1，m）、B（n，﹣2）两点的坐标分别代入y1＝﹣2x+3，得m＝﹣2×1+3＝5，﹣2n+3＝﹣2，解得n＝2.5，根据函数图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方．根据函数图象可知：当x＞2.5或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方．故答案为：x＞2.5或﹣1＜x＜0．17．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于F，则AF＝2．【答案】2．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴BC＝CD＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°，∵E是BC中点，∴BE＝CE＝BC＝3，设CN＝x，则DN＝6﹣x，∵MN是线段DE的垂直平分线，∴EN＝DN＝6﹣x，在Rt△CEN中，CE2+CN2＝EN2，∴32+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，∴CN＝，∵EF⊥EN，∴∠FEN＝90°，∴∠BEF+∠CEN＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠CEN，∴△BFE∽△CEN，∴＝，∴BF＝＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4＝2．故答案为：2．18．如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为﹣3．【答案】﹣3．【解析】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABO′，连接DO′、CO′，则∠O′BC＝∠O′BA+∠ABC＝45°+45°＝90°，∵以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC＝＝＝，∵，∴∠APD＝∠ACB＝45°，∵AD⊥AP，∴∠DAP＝90°，∴∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，∴点D在点O′为圆心，AO′为半径的上运动，在等腰直角△ABO′中，O′B＝＝＝3，在Rt△BO′C中，CO′＝＝＝，∴O′D＝O′B＝3，∵CD≥CO′﹣O′D∴当C、D、O′三点共线时，CD取的最小值，最小值为CO′﹣O′D＝﹣3．故答案为：﹣3．三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：19-20每题6分，21-26题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．解方程：x2+6x+3＝0．【答案】x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．【解析】解：x2+6x+3＝0，x2+6x＝﹣3，x2+6x+9＝9﹣3，（x+3）2＝6，x+3＝±，∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．20．学校门口在学生上学、放学期间，经常出现拥堵现象．某数学学习小组为了解本校门口拥堵情况以及拥堵原因，随机抽取了部分家长（一名家长对应一名学生）进行问卷调查，并根据家长接送学生采用的交通工具调查结果绘制扇形统计图，如图所示：交通工具人数步行24自行车6电动车a公交、地铁等公共交通工具6私家车b请你根据以上信息解决下列问题：（1）表格中a＝84，b＝80；（2）在扇形统计图中，选择自行车接送学生的家长占3%；选择私家车接送学生的家长的圆心角是144度；（3）若该校初中部一共有4000名学生，试估计选择私家车接送学生的家长大约有多少名？并针对此情况，对家长和学校各提一个合理的建议，以改善学校门口拥堵情况．【答案】（1）84，80；（2）3，144；（3）1600，建议见解析．【解析】解：（1）24÷12%＝200（人）；200×42%＝84（人），200﹣24﹣84﹣6﹣6＝80（人），∴a＝84，b＝80；故答案为：84，80；（2）；；答：在扇形统计图中，选择自行车接送学生的家长占3%；选择私家车接送学生的家长的圆心角是144度；故答案为：3，144；（3）（名）；答：估计选择私家车接送学生的家长大约有1600名．给学校的建议：错峰放学；给家长的建议：减少私家车接送，尽量选择公交，地铁等交通工具接送学生．21．如图，在一条马路l上有路灯AB（灯泡在点A处）和小树CD，某天早上9：00，路灯AB的影子顶部刚好落在点C处．（1）画出小树CD在这天早上9：00太阳光下的影子CE和晚上在路灯AB下的影子CF；（2）若以上点E恰为CF的中点，小树CD高2m，求路灯AB的高度．【答案】（1）作图及理由见解答；（2）路灯AB的高度为4m．【解析】解：（1）如图，连接AC，作∠CDE＝∠BAC，DE交直线l于点E，连接AD并延长AD交直线l于点F，∵∠DCE＝∠ABC＝90°，∴△DCE∽△ABC，∴∠DEC＝∠ACB，∴DE∥AC，∴CE、CF分别为CD在这天早上9：00太阳光下的影子和晚上在路灯AB下的影子．（2）∵点E为CF的中点，CD＝2m，∴CE＝EF＝CF，∵DE∥AC，∴＝＝，∵∠DCF＝∠ABF，∠DFC＝∠AFB，∴△DCF∽△ABF，∴＝＝，∴BA＝2CD＝4m，即AB＝4m，答：路灯AB的高度为4m．22．如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）连接OE．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C；∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C，∴∠A＝∠OEC，∴OE∥AB，∵BA⊥GE，∴OE⊥EG，且OE为半径；∴EG是⊙O的切线；（2）∵BF⊥GE，∴∠BFG＝90°，∵，GB＝4，∴，∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，∴，∴，∴OE＝4，即⊙O的半径为4．23．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形．（2）若DC＝2，BD＝，求四边形AEBD的面积．【答案】（1）见解答；（2）6．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF＝∠EBF，∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，∴△AFD≌△BFE（ASA），∴AD＝EB，∵AD∥EB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵BD＝AD，∴四边形AEBD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，∵四边形AEBD是菱形，∴AE＝BD＝，AB⊥DE，AF＝FB＝1，EF＝DF，∴EF＝＝3，∴DE＝6，∴S菱形AEBD＝•AB•DE＝×2×6＝6．24．某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表：组装的时间x（天）304560每天组装的数量y（台/天）300200150（1）求y关于x的关系式；（2）某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？【答案】（1）y关于x的关系式为；（2）每台空调的定价为2750元．【解析】解：（1）∵30×300＝45×200＝60×150＝9000，∴y关于x的函数关系为反比例函数关系，设y关于x的函数解析式为，把x＝30，y＝300代入得，，解得k＝9000，∴y关于x的关系式为；（2）设销售单价降低x元，则每台的销售利润为（2900﹣x﹣2500）元，平均每天的销售量为台，依题意得：，整理得：x2﹣200x+7500＝0，解得：x1＝150，x2＝50，让顾客得到最大优惠，销售单价应降低150元，∴每台空调的定价为2900﹣150＝2750（元）．答：每台空调的定价为2750元．25．四边形ABCD为正方形，AB＝8，点E为直线BC上一点，射线AE交对角线BD于点F，交直线CD于点G．（1）如图，点E在BC延长线上．求证：FC2＝FG•FE；（2）是否存在点E，使得△CFG是等腰三角形？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析过程；（2）BE的长为8或．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDF＝45°，AD∥BC，∵DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠E＝∠DAF，∴∠E＝∠DCF，∵∠CFG＝∠EFC，∴△CFG∽△EFC，∴